第08讲 一元二次方程章末十大题型总结（培优）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第08讲 一元二次方程章末十大题型总结（培优） 【热考题型】 【题型一】根据一元二次方程的定义求参数值 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【题型二】选择合适的方法解一元二次方程 5．（23-24九年级上·河南焦作·期中）利用合适的方法解方程． (1) (2) (3) 6．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）用合适的方法解方程: (1) (2) (3) (4) 7．（22-23九年级上·山东菏泽·阶段练习）解下列方程： (1)用配方法解一元二次方程：． (2)用因式分解法解方程． (3)用公式法解方程． (4)用合适的方法解方程． 【题型三】换元法解一元二次方程 8．（23-24七年级上·重庆·期中）提出问题： 为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程，得（不符合要求，舍去）． 当时，． 原方程的解为． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题：运用上述换元法解方程：． 9．（23-24九年级上·云南文山·期中）已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即， 解得：， ∵， ∴， 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数． 10．（23-24九年级上·广东汕头·期中）综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，，； 当时，， ， 所以原方程有四个根：， ， ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：． (2)若，求的值． 【题型四】一元二次方程解的估算 11．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 12．（2023八年级下·全国·专题练习）根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 13．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 14．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【题型五】配方法的应用 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）求证：不论为何实数，代数式的值均不小于2． 16．（2023九年级·全国·专题练习）阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 ∵， ∴， 因此，代数式有最小值 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为　 　； (2)试比较与的大小关系，并说明理由； (3)已知：，求代数式的值． 17．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 18．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ； 【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．    19．（22-23八年级下·浙江·阶段练习）阅读材料： ①用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：_____=______． (2)用配方法因式分解：． (3)若，求M的最大值． 【题型六】根据判别式判断一元二次方程根的情况 20．（2023·四川泸州·中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 21．（2020·广东广州·中考真题）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（  ）. A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 22．（2023·广东汕头·一模）若，则关于x的方程的实数根的个数为 ． 23．（18-19九年级上·福建福州·开学考试）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 24．（22-23九年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为任意实数，方程总有实数根． (2)若这个方程的根的判别式的值等于1，求的值． 【题型七】根据一元二次方程根的情况求参数 25．（17-18九年级上·福建漳州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 26．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（        ） A． B． C．且 D．且 27．（2023·上海·中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是 ． 28．（2023·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 29．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 30．（2022·广东广州·中考真题）已知T= (1)化简T； (2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值． 【题型八】根的判别式与根与系数关系的综合 31．（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 32．（2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 33．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 34．（2023九年级·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值． 【题型九】一元二次方程中的阅读理解类问题 35．（23-24九年级上·广东广州·期中）阅读下面的材料： 老师出了一道家庭作业题，题目是：已知关于x的方程的两根为，且，求正数m的值． 小玉的解法如下： 解：∵，，又∵，∴，解得，． 问题：小玉的解法对吗？如果不对，她错在哪里？应如何改正？ 36．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 37．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 38．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是：　　，　　； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长m，宽m，点P在上（），小华把一根长为m的绳子一段固定在点B，把长绳段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求的长．    【题型十】一元二次方程的实际应用 39．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 40．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 41．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 42．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3746换算成十进制数是_______； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 43．（2021·山东菏泽·中考真题）列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 44．（22-23八年级下·重庆渝北·期末）今年春季是甲流病毒的高发期．为了遏制甲流病毒的传播，建议市民朋友们在公共场合要佩戴口罩，现在，有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有个人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)某药房最近售出了盒口罩．已知售出的医用口罩的数量不超过普通医用口罩的4倍，每盒医用口罩的单价为元，每盒普通医用口罩的价格为元，则售出医用口罩和普通医用各多少盒时，总销售额最多？请说明理由． 45．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 一元二次方程章末十大题型总结（培优） 【热考题型】 【题型一】根据一元二次方程的定义求参数值 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义及其解法，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．根据方程解的定义，将代入求解，再结合一元二次方程定义确定即可得出结论． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ，解得， 关于x的一元二次方程有一个根是1， ， 化简得，解得， 综上所述：， 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2； 结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 【题型二】选择合适的方法解一元二次方程 5．（23-24九年级上·河南焦作·期中）利用合适的方法解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的不同解法；能根据一元二次方程的不同形式选择恰当的解法是解题的关键． （1）根据的形式，当时，直接开平方；当时，原方程无实根，据此即可求解； （2）将方程化成一般形式，对左边进行因式分解，化为的形式，即可求解； （3）将方程左边进行因式分解，化为的形式，即可求解； 【详解】（1）解：， 或， 解得：，； （2）解：原方程可化为： ， ， 或， 解得：，； （3）解：， 或， 解得：，． 6．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）用合适的方法解方程: (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用公式法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用因式分解法解方程； （4）利用直接开平方法解方程． 【详解】（1）解： ， ∴ ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ∴或 ∴． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法及根据每个方程的特点恰当选择解法是解题的关键． 7．（22-23九年级上·山东菏泽·阶段练习）解下列方程： (1)用配方法解一元二次方程：． (2)用因式分解法解方程． (3)用公式法解方程． (4)用合适的方法解方程． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用配方法解一元二次方程； （2）用因式分解法解方程； （3）用公式法解方程； （4）用公式法解方程． 【详解】（1）解： ∴x-1=或x-1=-， ∴； （2） （x+4）（x+4-5）=0 ∴x+4=0或x-1=0， ∴； （3） ∵a=3，b=6，c=-5， ∴96， ∴， ∴； （4）∵ ∴， ∵a=4，b=2，c=-1， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法及根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键． 【题型三】换元法解一元二次方程 8．（23-24七年级上·重庆·期中）提出问题： 为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程，得（不符合要求，舍去）． 当时，． 原方程的解为． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题：运用上述换元法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查换元法解高次方程，根据材料提示，令，利用换元法解方程即可求解． 【详解】解：令， 则原方程可转化为， 因式分解得， 解得，． 当时，解得，， 当时，解得，， 原方程的解为，，，． 9．（23-24九年级上·云南文山·期中）已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即， 解得：， ∵， ∴， 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数． 【答案】(1) (2)这四个正整数为，，， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程即可求解； （1）令，则原方程为：，结合可得答案； （2）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴化为：， 解得：或， ∵， ∴， ∴； （2）解：设最小的数为，则， ∴， 设，则， 解得：，， ∵是正整数， ∴， 解得：，(舍去)， ∴这四个正整数为，，，． 10．（23-24九年级上·广东汕头·期中）综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，，； 当时，， ， 所以原方程有四个根：， ， ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，代入原式，对一元二次方程求解即可； （2）设，代入原式，对一元二次方程整体求解即可； 本题主要考查一元二次方程的解法，理解题目中换元法的解题思想是解题的关键． 【详解】（1）解：设 原方程可变为： 解得：， 当时， ∴方程无解 当时， 解得： ∴原方程有2个根：． （2）解：设 原方程可变为： 整理得： 解得：（舍去）， 的值为1． 【题型四】一元二次方程解的估算 11．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 【答案】B 【分析】通过观察表格可得时，，即可求解． 【详解】解：由表格可知， 当时，， 当时，， ∴时，， ∴解的整数部分是，十分位是． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键． 12．（2023八年级下·全国·专题练习）根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 13．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 14．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 【题型五】配方法的应用 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）求证：不论为何实数，代数式的值均不小于2． 【答案】见解析 【分析】代数式重新组合，利用完全平方公式和平方式的非负性求解即可． 【详解】证明： ， ∵，， ∴， 即， ∴不论为何实数，代数式的值均不小于2． 【点睛】本题考查配方法的应用、平方式的非负性，熟记完全平方公式，重新组合利用公式求解是解答的关键． 16．（2023九年级·全国·专题练习）阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 ∵， ∴， 因此，代数式有最小值 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为　 　； (2)试比较与的大小关系，并说明理由； (3)已知：，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)，见解析 (3)2 【分析】（1）将代数式配方可得最值； （2）作差并配方，可进行大小比较； （3）变形后得：代入中，再利用配方法即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 即代数式的最小值为1； 故答案为：1； （2），理由如下： ， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题，属于中考常考题型． 17．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当，时，取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式； （2）首先根据配方法把变形为，再根据偶次方的非负性，得出，，解出、的值，然后将、的值代入代数式，计算即可得出结果； （3）首先根据配方法把代数式变形为，再根据偶次方的非负性，得出，进而得出当，时，取得最小值，再进行计算即可得出结果． 【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方， ； 第二种形式：选取二次项和常数项配方， ； 或 ； 第三种形式：选取一次项和常数项配方， ； （2）解：， 配方，得：， 即， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， 当，时，取得最小值， 即当，时，取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键． 18．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ； 【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．    【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用配方法把变形为，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值； （2）利用配方法得到，则可判断，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论取何实数，二次根式都有意义； （3）利用三角形面积公式得到四边形的面积，由于，则四边形的面积，利用配方法得到四边形的面积，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】解：（1） ， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为； 故答案为：； （2）， ， ， 无论取何实数，二次根式都有意义； （3）， 四边形的面积， ， ， 四边形的面积 ， 当，四边形的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值． 19．（22-23八年级下·浙江·阶段练习）阅读材料： ①用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：_____=______． (2)用配方法因式分解：． (3)若，求M的最大值． 【答案】(1)4； (2) (3)M的最大值3 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可求解； （2）将143化成，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴当时，M有最大值，最大值为3． 【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键． 【题型六】根据判别式判断一元二次方程根的情况 20．（2023·四川泸州·中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 21．（2020·广东广州·中考真题）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（  ）. A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 22．（2023·广东汕头·一模）若，则关于x的方程的实数根的个数为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．计算根的判别式，根据k的取值范围，得到判别式的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ ， 因为， 所以， 故方程有两个不相等的实数根， 故答案为：2． 23．（18-19九年级上·福建福州·开学考试）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程， ∴ ∵ ， ∴此方程总有两个实数根； （2）∵ ∵ ∴ 解得:， ∵方程有一个根小于1， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 24．（22-23九年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为任意实数，方程总有实数根． (2)若这个方程的根的判别式的值等于1，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系进行判断即可； （2）由判别式解方程即可，注意． 【详解】（1）解： ， ∴无论为任意实数，方程总有实数根． （2）解：∵这个方程的根的判别式的值等于1， ∴， 解得，， ∵即， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 【题型七】根据一元二次方程根的情况求参数 25．（17-18九年级上·福建漳州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有实数根可知道判别式大于等于零且，解不等式即可求解． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴，， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 26．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（        ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 27．（2023·上海·中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 28．（2023·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于的不等式，解不等式就可以求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 29．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得且； （2）解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 30．（2022·广东广州·中考真题）已知T= (1)化简T； (2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值． 【答案】(1)； (2)T= 【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可； (2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：T= =； （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 则T=． 【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 【题型八】根的判别式与根与系数关系的综合 31．（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． （2）解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 32．（2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 33．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 【详解】（1）解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 34．（2023九年级·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值． 【答案】(1)见解析； (2)3 【分析】（1）先根据判别式的值得到，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据勾股定理得到，接着利用完全平方公式变形得到，则，然后解方程后利用方程的两根为正数确定k的值． 【详解】（1）证明：， 所以无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，， ∵、是斜边长为5的直角三角形两直角边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得：，， ∵，， ∴k的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程；熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键，对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根；若、是一元二次方程的两根时，，． 【题型九】一元二次方程中的阅读理解类问题 35．（23-24九年级上·广东广州·期中）阅读下面的材料： 老师出了一道家庭作业题，题目是：已知关于x的方程的两根为，且，求正数m的值． 小玉的解法如下： 解：∵，，又∵，∴，解得，． 问题：小玉的解法对吗？如果不对，她错在哪里？应如何改正？ 【答案】小玉的解法不对，没有对m的值进行验证，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的意义； 对m进行验证，当时，求出，可得应舍去；根据m是正数可知也应舍去． 【详解】解：小玉的解法不对，没有对m的值进行验证； 解得， 当时，方程为， ， ∴应舍去； 当时， ∵m是正数， ∴也应舍去， 综上，m的值不存在． 36．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得：，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：3；． （2）解：一元二次方程的两根分别为m，n， ， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t是一元二次方程的两个实数根， ． ， ． 37．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 【答案】 【详解】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元二次方程的解是解题的关键． 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），． ∴原方程的根是． 38．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是：　　，　　； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长m，宽m，点P在上（），小华把一根长为m的绳子一段固定在点B，把长绳段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求的长．    【答案】(1)， (2) (3)9m 【分析】本题考查了无理方程、一元二次方程的解法，看懂题例理解转化的思想方法是解决本题的关键． （1）利用因式分解法，求解即可； （2）两边平方，把无理方程转化为一元二次方程，求解即可； （3）设的长为xm，通过勾股定理用含x的代数式表示出，根据绳长列出方程，利用转化的思想把无理方程转化为整式方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴或或． ∴， 故答案为：， （2）解：方程，两边平方得， ∴． ∴． ∴． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的解为 （3）解：设的长为xm，则的长为m． 由题意得： 整理得 两边平方得， 即． 整理得． ∴． ∴ 经检验是原方程的根． 由于， ∴m． 【题型十】一元二次方程的实际应用 39．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 40．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 41．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 42．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3746换算成十进制数是_______； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【答案】(1)2022 (2)9 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：2022； （2）根据题意有：， 整理得：， 解得n=9，（负值舍去）， 故n的值为9． 【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键． 43．（2021·山东菏泽·中考真题）列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【答案】29元． 【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价． 【详解】解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 44．（22-23八年级下·重庆渝北·期末）今年春季是甲流病毒的高发期．为了遏制甲流病毒的传播，建议市民朋友们在公共场合要佩戴口罩，现在，有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有个人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)某药房最近售出了盒口罩．已知售出的医用口罩的数量不超过普通医用口罩的4倍，每盒医用口罩的单价为元，每盒普通医用口罩的价格为元，则售出医用口罩和普通医用各多少盒时，总销售额最多？请说明理由． 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了8个人 (2)售出医用口罩盒，普通医用盒时，总销售额最多，理由见解析 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得，进行计算即可得； （2）设售出医用口罩a盒，则普通医用口罩盒，总销售额为W元， 则，进行计算得，， 根据一次函数的性质得W随a的增大而增大，即当时，W有最大值，算出普通口罩盒数即可得． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， ， ， ， ， ，（舍）， 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人； （2）售出医用口罩盒，普通医用盒时，总销售额最多，理由如下： 解：设售出医用口罩a盒，则普通医用口罩盒，总销售额为W元， 则， ， ， ， ， ∵， ∴W随a的增大而增大， 当时，W有最大值， 则普通医用口罩盒数为：（盒）， 即售出医用口罩盒，普通医用盒时，总销售额最多． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 45．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$