专题19 函数的应用（一）（五大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题19 函数的应用（一） 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：一次函数模型的应用 1、一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R． 知识点二：二次函数模型的应用 1、二次函数的一般形式是其定义域为R． 2、若，则二次函数在时有最小值； 若，则二次函数在时有最大值． 3、建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答． 知识点三：解决实际应用问题 1、解决实际应用问题的过程 2、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息． 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答． 3、函数模型的综合应用 函数的应用题是利用函数模型解决实际问题． 在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段： 第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的． 第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素． 第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述． 第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果． 第五阶段，解释数学模型的结果． 根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等． 【典例例题】 题型一：一次函数模型 【典例1-1】（2024·高一·云南曲靖·期末）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． (1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； (2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【典例1-2】（2024·高一·湖北咸宁·自主招生）某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销． 经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 明天销售量（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想 是 的什么函数，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价） (3)为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，求 的取值范围． 【变式1-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点，当时，图象是线段BC，其中点．    (1)当时，求注意力指数y与听课时间x的函数关系式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心内容的时间段（结果用区间表示）． 【变式1-2】（2024·高一·四川眉山·开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【变式1-3】（2024·高一·安徽合肥·期中）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元． (1)若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式 (2)若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围． 题型二：二次函数模型 【典例2-1】（2024·高一·全国·假期作业）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【典例2-2】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值. 【变式2-1】（2024·高一·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少? (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元? 题型三：分段函数模型 【典例3-1】（2024·高一·吉林长春·期中）某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表： t/天 5 10 20 30 Q/件 35 30 20 10 (1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式； (2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式； (3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量). 【典例3-2】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的规律：每生产百台产品，其总成本为（万元），其中固定成本为万元，生产成本为万元（总成本固定成本生产成本）.销售收入（万元）满足：假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，请完成下列问题： (1)写出利润函数的解析式（利润=销售收入-总成本）； (2)该工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【变式3-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【变式3-2】（2024·高一·浙江杭州·期中）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（且）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效. (1)若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？ (2)若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值. 【变式3-3】（2024·高一·四川泸州·阶段练习）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 题型四：幂函数模型 【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在（    ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【典例4-2】（2024·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【变式4-1】（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【变式4-3】（2024·高三·重庆渝中·阶段练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2024·高一·全国·专题练习）一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本（    ） A．18% B．20% C．24% D．36% 题型五：耐克函数模型 【典例5-1】（2024·高二·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【典例5-2】（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 【变式5-1】（2024·高一·湖北·开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用年所需的总维护费用为万元． (1)该甜品店第几年开始盈利？ (2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案： ①当年平均盈利最大时卖出； ②当盈利总额达到最大时卖出； 试问哪一方案较为划算？说明理由． 【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）某公司每年需要某种计算机元件8000个，每次购买元件需手续费500元，每个元件的库存费是每年2元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，8000个元件的库存费也不少．若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？ 【变式5-3】（2024·高二·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【过关测试】 1．（2024·高二·上海·阶段练习）某企业欲实现在今后10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到0.001) 2．（2024·高一·福建福州·期中）某医院开展某种病毒的检测工作，第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时），（为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为 小时．（精确到1小时） 3．（2024·高一·全国·专题练习）众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为 元. 4．（2024·高一·浙江杭州·开学考试）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone6手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. (1)一月Iphone6手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案? (3)该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值? 5．（2024·高一·浙江·阶段练习）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式． (2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润． 6．（2024·高一·全国·课后作业）要建造一段5000m的高速公路，工程队需要把600人分成两组，一组完成一段2000m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的3000m的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是50人天和30人天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？ 7．（2024·高一·江西宜春·期末）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 8．（2024·高一·浙江丽水·期末）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）． (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 9．（2024·高一·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 10．（2024·高一·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 11．（2024·高一·安徽马鞍山·期末）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米. (1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值. 12．（2024·高一·青海西宁·期末）某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为1800元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为2元，且每件产品平均仓储时间为天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元． (1)写出关于的函数解析式； (2)当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 13．（2024·高一·广西河池·期末）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农业，为提升特色农产品的知名度，让广告公司设计一个长米，宽米，面积为平方米的长方形广告牌，其中. (1)求关于的函数，并写出的取值范围； (2)如何设计才能使广告牌的周长最小. 14．（2024·高一·重庆九龙坡·期末）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且资金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的． (1)若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？ (2)若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定最小正整数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 函数的应用（一） 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：一次函数模型的应用 1、一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R． 知识点二：二次函数模型的应用 1、二次函数的一般形式是其定义域为R． 2、若，则二次函数在时有最小值； 若，则二次函数在时有最大值． 3、建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答． 知识点三：解决实际应用问题 1、解决实际应用问题的过程 2、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息． 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答． 3、函数模型的综合应用 函数的应用题是利用函数模型解决实际问题． 在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段： 第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的． 第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素． 第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述． 第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果． 第五阶段，解释数学模型的结果． 根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等． 【典例例题】 题型一：一次函数模型 【典例1-1】（2024·高一·云南曲靖·期末）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． (1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； (2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【解析】（1）由题意可设，， 由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，， 所以， . （2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元， 年收益为万元， 则，， 有， 则当，即万元时，的最大值为， 所以当投资稳健型产品的资金为6万元， 风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元． 【典例1-2】（2024·高一·湖北咸宁·自主招生）某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销． 经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 明天销售量（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想 是 的什么函数，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价） (3)为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，求 的取值范围． 【解析】（1）如下图，由图猜想与是一次函数，设这个函数为， 又这个函数图象过两点，， 所以，解得， 所以函数关系式为. （2）由（1）知总销售额为，设利润为， 所以总利润为， 当时，有最大值元. （3）由题意可得设扣除捐赠后的利润为， 因为，所以抛物线开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大。 所以时，有最大值， 又因为当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大， 所以，解得，又因为， 所以的取值范围为. 【变式1-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点，当时，图象是线段BC，其中点．    (1)当时，求注意力指数y与听课时间x的函数关系式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心内容的时间段（结果用区间表示）． 【解析】（1）当时，设，而点在该二次函数图象上， 则，解得， 所以所求函数关系为. （2）当时，设，由线段过点、， 得，解得，则， 依题意，，则由（1）得，当时，或当时，， 解得或，因此， 所以老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 【变式1-2】（2024·高一·四川眉山·开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【解析】（1）设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元． 得，解得， 所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元． （2）设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元， 则， 因为，所以w随a增大而增大， 又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍， 即，解得， 所有当时，w最大，此时，， 答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元． 【变式1-3】（2024·高一·安徽合肥·期中）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元． (1)若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式 (2)若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围． 【解析】（1）由题意得， 且. （2）若电动车的辆次数不小于，但不大于， 则，即且， ∴且 ∵ ， ∴在上单调递减， 当时，函数取得最大值为1330，当时，函数取得最小值为1225， ∴的值域是，即收入在元至元之间. 题型二：二次函数模型 【典例2-1】（2024·高一·全国·假期作业）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【解析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元， 所以 两边同乘得：， 解得：， 经检验：为该分式方程的解，且符合题意． 所以甲种灯笼元，乙种灯笼元； （2）①由题意， 故与的函数解析式为 ②由①知，函数开口向下 函数在对称轴处有最大值． 因为销售部门规定其销售单价不高于每对元 所以， 所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大． 【典例2-2】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值. 【解析】由题意表格中的数据可知，当售价为4元时，日销售量为400件， 售价每增加1元，日销售量就减少40件. 设定价为元，日均销售利润为元， 则， 故当时，有最大值. 所以定价为8.5元时，日均销售利润最大，且最大值为1210元. 【变式2-1】（2024·高一·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少? (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元? 【解析】（1）设平均每套的成本为元， 由题有， 当且仅当，即时，取等号， 所以企业每月产量万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为万元. （2）设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得到，解得， 所以，该企业每月生产不小于万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元. 题型三：分段函数模型 【典例3-1】（2024·高一·吉林长春·期中）某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表： t/天 5 10 20 30 Q/件 35 30 20 10 (1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式； (2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式； (3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量). 【解析】（1）根据图象，设， 当时，代入点，求得； 当时，代入点，求得， 所以每件的销售价格P与时间t的函数关系式为. （2）描出实数对的对应点(如图)， . 从图中可以发现，点(5,35)，(10,30)，(20,20)，(30,10)基本上分布在一条直线上， 设这条直线为l：，代入点(5,35)，(30,10)，求得， 所以直线l为， 通过检验可知：点(10,30)，(20,20)也在直线l上， 所以日销售量Q与时间t的函数关系式为． （3）设日销售金额为(元)，则， 若当时，则当时，； 若时，则当时，； 由于，所以， 故这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大． 【典例3-2】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的规律：每生产百台产品，其总成本为（万元），其中固定成本为万元，生产成本为万元（总成本固定成本生产成本）.销售收入（万元）满足：假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，请完成下列问题： (1)写出利润函数的解析式（利润=销售收入-总成本）； (2)该工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【解析】（1）由题意得，. （2）当时，函数单调递减，（万元）； 当时，函数， 当时，有最大值为（万元）. 该工厂生产4百台产品时，可使利润最大为万元. 【变式3-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【解析】（1）依题意，，又， 所以. （2）当时，，其图象开口向上，对称轴为， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上的最大值为； 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 而，则当时，， 所以当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元. 【变式3-2】（2024·高一·浙江杭州·期中）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（且）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效. (1)若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？ (2)若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值. 【解析】（1）因为一次投放4个单位的净化剂， 所以水中释放的浓度为， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，所以一次投放4个单位的净化剂，则有效时间可持续7天. （2）设从第一次投放起，经过天后浓度为． 因为，则，， 所以，即，令，， 所以， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 故为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2. 【变式3-3】（2024·高一·四川泸州·阶段练习）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）当时，， 当时，， 故； （2）当时，开口向上，其对称轴为， 所以其最大值为， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，施肥量为时，单株年利润最大为元. 题型四：幂函数模型 【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在（    ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【解析】令，，， ∵， ∴他在考试前半小时复习即可， ∴他复习背诵时间需大约在14：30， 故选：A. 【典例4-2】（2024·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【解析】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 【变式4-1】（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 【变式4-2】（2024·高一·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 【变式4-3】（2024·高三·重庆渝中·阶段练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为该公司年总收入为亿元，预计每年总收入比前一年增加 亿元，所以年的总收入为亿元， 因为要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍， 所以年通过理财业务的收入为亿元，所以，解得.故的值至少为， 故选：A. 【变式4-4】（2024·高一·全国·专题练习）一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本（    ） A．18% B．20% C．24% D．36% 【答案】B 【解析】设平均每年降低成本x， 解得或（舍去）， 故选：B 题型五：耐克函数模型 【典例5-1】（2024·高二·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【解析】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， ∴. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值， ∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元. 【典例5-2】（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 【解析】（1）依题意，当时，，则，解得，即， 又每件产品的销售价格为元， 因此， 所以，. （2）由（1）知，， 由，得，当且仅当，即时取等号， 因此当时，， 所以该厂家2023年的促销费用投入为3万元时获得利润最大，且最大值为21万元. 【变式5-1】（2024·高一·湖北·开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用年所需的总维护费用为万元． (1)该甜品店第几年开始盈利？ (2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案： ①当年平均盈利最大时卖出； ②当盈利总额达到最大时卖出； 试问哪一方案较为划算？说明理由． 【解析】（1）设该甜品店年后所得总利润为万元， 则， 若开始盈利即， ∴，解得， ∴第四年开始盈利． （2）方案①：设年平均利润为， 则， 由对勾函数性质可得在上单调递增，上为单调递减． 又，， 时，，4年总利润为3万元， 时，，5年总利润为4万元，故选择第5年卖出， 方案②：，， 即时总利润最大为4万元， 故选择方案一或方案二是一样的，最终都是在即第5年总利润达到最大值4万元， 加上卖设备的2万元，一共6万元利润． 【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）某公司每年需要某种计算机元件8000个，每次购买元件需手续费500元，每个元件的库存费是每年2元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，8000个元件的库存费也不少．若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？ 【解析】将8000个元件所需的总费用记为F元，一年总库存费记为E元，购买元件总手续费记为H元，其他费用记为C元（C为常数），则． 若每年平均进货n次（），则每次的进货量为个， 假设用完q个元件的时间为，在内，t时刻的库存量为， 满足，，， 解得． 如图所示，阴影部分的面积是第一个时间段内需支付库存费的库存量的综合， 相当于在年内每一时刻需支付库存费均为（个）． 在年内，每个元件的库存费为，则个元件的库存费为（元）， 一年总库存费为（元）． 另外，元，所以． 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，上面的不等式取等号，此时总费用最少， 故每年进货4次最经济． 【变式5-3】（2024·高二·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【解析】（1）设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【过关测试】 1．（2024·高二·上海·阶段练习）某企业欲实现在今后10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到0.001) 【答案】/ 【解析】设该企业的年平均增长率为，则依题意得：， 则， 即， 所以， 即， 故答案为：. 2．（2024·高一·福建福州·期中）某医院开展某种病毒的检测工作，第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时），（为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为 小时．（精确到1小时） 【答案】9 【解析】根据函数的解析式可知，当时，单调递减；当时，为常数. 且第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时， 所以有， 所以，. 又，所以. 所以，. 所以. 故答案为：9. 3．（2024·高一·全国·专题练习）众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为 元. 【答案】9.6 【解析】设饼干的质量为克，则其售价（单位：元）与之间的函数解析式为. 由题意得， 即①， ， 即②. 由①②解得，. ∴. 当时，. 故这种饼干900克装的售价为9.6元. 故答案为：9.6 4．（2024·高一·浙江杭州·开学考试）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone6手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. (1)一月Iphone6手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案? (3)该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值? 【解析】（1）设一月Iphone6手机的每台售价为元，则二月Iphone6手机的售价为元， 根据题意，可得，解得（元）， 即一月Iphone6手机每台售价为元. （2）设购进Iphone6手机为台，则购进的Iphone6手机为台， 根据题意，可得，解得， 因为，所以的取值为，共有种进货方案. （3）二月Iphone6手机每台售价为（元）， 设总获利元，则， 令，可得， 即当时，（2）中所有的方案获利相同. 5．（2024·高一·浙江·阶段练习）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式． (2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润． 【解析】（1）当时，， 当时，， 所以 （2）当时，，当时， 取得最大值2925万元； 当时，． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取得最大值2830万元． 因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元． 6．（2024·高一·全国·课后作业）要建造一段5000m的高速公路，工程队需要把600人分成两组，一组完成一段2000m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的3000m的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是50人天和30人天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？ 【解析】设在软土地带工作的人数为x人，则在硬土地带工作的人数为人， 根据题意，在软土地带筑路时间为， 在硬土地带筑路时间为，其中， 因为函数在区间上时减函数，函数在区间上是增函数， 所以全队筑路工期为， 由，即，可得， 从而且． 因为函数在区间上递减，在区间上递增， 所以是函数的最小值点．但不是整数， 于是计算和，其中较小者即为所求， 经计算，，， 所以，当安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短． 7．（2024·高一·江西宜春·期末）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）由题意可得：当时，， 当时，， 所以． （2）当时，， 所以当时（万元）； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时万元. 综上可知，该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元. 8．（2024·高一·浙江丽水·期末）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）． (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）当时，， 当时，， 故； （2）当时，的对称轴为，最大值为， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 综上施肥量为时，单株年利润最大为390元. 9．（2024·高一·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【解析】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 10．（2024·高一·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【解析】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 . 所以年利润. （2）由（1）当时， （百辆）时（万元）， 当时， 当且仅当（百辆）时，等号成立， 因为2820万元万元, 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 11．（2024·高一·安徽马鞍山·期末）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米. (1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值. 【解析】（1）由宽为米、长为米的长方形展牌, 得, 整理得， 由，得，即，解得， 所以关于的函数解析式是，. （2）展牌的周长， 当且仅当 ，即时取等号，此时， 所以设计展牌的长为9米和宽为3米，才能使展牌的周长最小，最小值为24米. 12．（2024·高一·青海西宁·期末）某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为1800元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为2元，且每件产品平均仓储时间为天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元． (1)写出关于的函数解析式； (2)当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 【解析】（1）根据题意可得 . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，有最小值，最小值为60． 13．（2024·高一·广西河池·期末）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农业，为提升特色农产品的知名度，让广告公司设计一个长米，宽米，面积为平方米的长方形广告牌，其中. (1)求关于的函数，并写出的取值范围； (2)如何设计才能使广告牌的周长最小. 【解析】（1）依题意，，整理得，由，得，解得， 所以关于的函数. （2）由（1）知，，， 因此广告牌的周长， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以广告牌的长、宽分别为米、米时，广告牌的周长最小. 14．（2024·高一·重庆九龙坡·期末）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且资金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的． (1)若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？ (2)若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定最小正整数的值． 【解析】（1）当时，， 由，，符合要求， 故该企业可获得万元奖金； （2）， 由为正整数，故在上单调递增， 则有，解得，又， 即在上恒成立， 即，即. 故最小正整数的值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$