第07讲 不等式及其性质（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第一册）

第07讲 不等式及其性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握不等式的基本性质，凸显数学抽象、数学运算的核心素养. 2.掌握作差法、综合法，会应用不等式的性质证明简单不等式，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.了解作商法、分析法、反证法，能证明一些简单不等式，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识点 1 不等式的基本性质 性质1：a>b⇔a＋c>b＋c 性质2：a>b，c>0⇒ac>bc 性质3：a>b，c<0⇒ac<bc 性质4：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a（不等式的传递性） 性质5：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 推论1：a+b>c⇔a>c-b（移项法则） 推论2：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d（同向可加，不等号方向不变.可推广） 推论3：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 推论4：a>b>0，n∈N*⇒an>bn（n∈N,n>1） 推论5:a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 知识点 2 证明不等式的方法 1.作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． 2.综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，逐步推导最后得到结论的方法. 3.反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立. 4.分析法：推理形式是“要证（结论）p,只需证明q”，可以表示为p˂=q 5.作商法：当明确比较内容均为正时，可利用作商法，一般步骤：①作商；②变形；③与1比较；④结论． 知识点 3 几条常用结论 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．两个重要不等式 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 考点一：判断不等式是否正确 例1.（2024高二下·湖南娄底·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（多选）（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知是实数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【规律方法】 判断不等式的真假． (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例． 考点二：由不等式性质比较数（式）的大小 例2．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：，其中为正整数. 【变式2-1】.（23-24高一上·云南曲靖·期中）若且，则 0．（填“”、“”或“”） 【变式2-2】（2023秋·高一单元测试），和同时成立的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可） 【变式2-3】（2023秋·高一单元测试），和同时成立的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可） 考点三：作差法比较大小 例3.（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【变式3-1】（22-23高一上·天津·期末）如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（21-22高一上·黑龙江鸡西·期末）已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 考点四：作商法比较大小 例4.（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【变式4-1】（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）若正实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【变式4-3】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 考点五：综合法、分析法证明不等式 例5.（19-20高一上·辽宁辽阳·期中）（1）已知a＜b＜c，且a+b+c=0，证明：． （2）用分析法证明：． 【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【变式5-2】（19-20高一·全国·课后作业）已知用分析法证明：. 【变式5-3】（22-23高一上·全国·课后作业）用综合法证明:如果，那么 考点六：反证法证明不等式 例6.（23-24高一上·上海闵行·期中）（1）已知实数，满足，求证：. （2）若实数，为正数，且满足，用反证法证明：和中至少有一个成立. 【变式6-1】（22-23高一·全国·随堂练习）用反证法证明． 【变式6-2】（19-20高二下·安徽蚌埠·期末）用分析法证明：当时，； 【变式6-3】（21-22高一上·上海嘉定·期中）（1）已知实数满足，求证：. （2）已知实数满足，用反证法证明：. 1．（多选）（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·山东青岛·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·假期作业）是互异的四个正数，，，中最大的数，且  ，则与的大小关系是 . 5．（24-25高一上·上海·假期作业），则从小到大的排列是 . 6．（24-25高一上·上海·假期作业）求证. 7．（24-25高一上·上海·假期作业）设是实数，比较与的值的大小. 8．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 9．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 10．（23-24高一上·上海奉贤·期中）（1）设，用反证法证明：若，则或． （2）设，比较与的值的大小． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 不等式及其性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握不等式的基本性质，凸显数学抽象、数学运算的核心素养. 2.掌握作差法、综合法，会应用不等式的性质证明简单不等式，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.了解作商法、分析法、反证法，能证明一些简单不等式，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识点 1 不等式的基本性质 性质1：a>b⇔a＋c>b＋c 性质2：a>b，c>0⇒ac>bc 性质3：a>b，c<0⇒ac<bc 性质4：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a（不等式的传递性） 性质5：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 推论1：a+b>c⇔a>c-b（移项法则） 推论2：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d（同向可加，不等号方向不变.可推广） 推论3：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 推论4：a>b>0，n∈N*⇒an>bn（n∈N,n>1） 推论5:a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 知识点 2 证明不等式的方法 1.作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． 2.综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，逐步推导最后得到结论的方法. 3.反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立. 4.分析法：推理形式是“要证（结论）p,只需证明q”，可以表示为p˂=q 5.作商法：当明确比较内容均为正时，可利用作商法，一般步骤：①作商；②变形；③与1比较；④结论． 知识点 3 几条常用结论 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．两个重要不等式 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 考点一：判断不等式是否正确 例1.（2024高二下·湖南娄底·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及反例即可求解. 【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变， 所以，故A正确； 对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于的整式，不等号方向改变， 所以，故B错误； 对于C，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变， 所以，故C错误； 对于D，若，，此时，故D错误. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高二下·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：B. 【变式1-2】（多选）（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论. 【详解】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确； 同理：，故BC正确. 如，，但不成立，故D错误. 故选：ABC 【变式1-3】（多选）（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知是实数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质以及特殊值检验求解. 【详解】对于选项，当时，，故A错误； 对于选项B，当时，两边同乘得，则B正确； 对于选项，当，则，显然成立，则C正确； 对于选项，若，当，所以，则D错误． 故选：. 【规律方法】 判断不等式的真假． (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例． 考点二：由不等式性质比较数（式）的大小 例2．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：，其中为正整数. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）首先由不等式的同向同正可乘得到，，利用不等式的传递性，得. （2）上文下用，反复利用（1）的结论即可证明不等式. 【详解】（1），，由不等式的传递性，得. （2）将（1）结论中的换成，换成，就得到 结合，再次利用（1）的结论，可得，反复运用（1）的结论，最终就得到 【变式2-1】.（23-24高一上·云南曲靖·期中）若且，则 0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据条件判断的符号，再结合，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：. 【变式2-2】（2023秋·高一单元测试），和同时成立的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的基本性质得出结果. 【详解】， 因为，即， 所以，所以或， 故所写答案只要满足上述两个不等条件其中一即可，如等. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式2-3】（2023秋·高一单元测试），和同时成立的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的基本性质得出结果. 【详解】， 因为，即， 所以，所以或， 故所写答案只要满足上述两个不等条件其中一即可，如等. 故答案为：（答案不唯一）. 考点三：作差法比较大小 例3.（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【变式3-1】（22-23高一上·天津·期末）如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可判断AC；利用作差法即可判断BD. 【详解】因为，所以，，故AC错误； 对于B，， 因为，所以，所以， 所以，故B错误； 对于D，， 因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 【变式3-2】（21-22高一上·黑龙江鸡西·期末）已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 【答案】答案见解析 【分析】结合不等式的性质即可证明. 【详解】方案一：条件：①②  结论：③ 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明： ∵a，b，x均为正数， ∴， ∴，即 方案二：条件①③  结论：② 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明：∵即化简得 又∵a，b，x均为正数 ∴ ∴即 方案三：条件②③  结论：① 若，且，则a，b，x均为正数，假命题 例如：，，，满足且，但a，b，x并不全为正数. 三种方案选一种作答即可. 【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 考点四：作商法比较大小 例4.（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 【变式4-1】（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）若正实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作商法，根据指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】解：是正实数，且，， 由，得， ，， ，，， ，即， 综上可知，， 故选：C. 【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【答案】aabb>abba 【详解】∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又abba>0，∴aabb>abba. 【变式4-3】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 考点五：综合法、分析法证明不等式 例5.（19-20高一上·辽宁辽阳·期中）（1）已知a＜b＜c，且a+b+c=0，证明：． （2）用分析法证明：． 【答案】（1）证明见解析  （2）证明见解析 【分析】（1）由题意得出a＜0，且a-c＜b-c＜0，再证明＜，即可得出＜； （2）利用分析法证明命题成立的基本步骤是：要证…，只需证…，即证…，显然成立． 【详解】证明：（1）由a＜b＜c，且a+b+c=0，所以a＜0，且a-c＜b-c＜0， 所以（a-c）（b-c）＞0，所以＜， 即＜；所以＞，即＜． （2）要证， 只需证+＜+， 即证a+（a-3）+2＜（a-1）+（a-2）+2； 即证＜， 即证a（a-3）＜（a-1）（a-2）；即证0＜2，显然成立； 所以-＜-． 【点睛】本题考查了不等式的证明问题，也考查了综合法与分析法的应用问题，是基础题． 【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【变式5-2】（19-20高一·全国·课后作业）已知用分析法证明：. 【答案】证明见解析 【解析】由分析法证明，从待证的结论出发，逐步寻求使得结论成立的条件即可. 【详解】证明：要证， 只需证，只需证，即. 因为，且成立，所以. 【变式5-3】（22-23高一上·全国·课后作业）用综合法证明:如果，那么 【答案】证明见解析 【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可. 【详解】证明: ，即 显然 ，即. 考点六：反证法证明不等式 例6.（23-24高一上·上海闵行·期中）（1）已知实数，满足，求证：. （2）若实数，为正数，且满足，用反证法证明：和中至少有一个成立. 【答案】证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小即可证明；（2）利用反证法结合不等式性质证明即可. 【详解】（1） ，因为，所以，所以； （2）假设结论不成立，即有且，由已知，实数，为正数， 所以有且，故，所以， 与已知矛盾，假设不成立， 所以有和中至少有一个成立. 【变式6-1】（22-23高一·全国·随堂练习）用反证法证明． 【答案】见解析 【分析】由反证法证明，假设结论不成立，再由结论不成立推出矛盾即可. 【详解】证明：假设，即， 两边平方得， 即，即，这与矛盾， 因此假设不成立， 故． 【变式6-2】（19-20高二下·安徽蚌埠·期末）用分析法证明：当时，； 【答案】证明见解析. 【解析】用分析法证明，执果索因. 【详解】要证 只要证， 只要证， 只要证，由于， 只要证， 最后一个不等式成立，所以 【变式6-3】（21-22高一上·上海嘉定·期中）（1）已知实数满足，求证：. （2）已知实数满足，用反证法证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）通过立方差公式得出，根据已知条件得出，再判断，即可证明； （2）假设，则，即可得到，判断其范围再与已知对比，即可证明. 【详解】（1）证明：， ， 又，且， ， ； （2）假设，则， 故 与已知矛盾， 故. 1．（多选）（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过举反例判断选项AC错误；利用作差法判断B选项，利用不等式的性质判断D选项即可. 【详解】对于A，当时，，故选项A错误； 对于B，因为,所以，所以，故选项B正确； 对于C，当时，，故选项C错误； 对于D，因为，所以，又，所以，故选项D正确； 故选：BD. 2．（多选）（23-24高一上·山东青岛·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，判断各选项的结论是否正确. 【详解】由已知得， A选项，不知道的符号，不能比较与的大小，A选项错误； B选项，由，有，B选项正确； C选项，由，有，C选项错误； D选项，由，则，D选项正确. 故选：BD 3．（多选）（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A符合题意； 对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意； 对于C，因为，所以，即，故C符合题意； 对于D，取，但有，故D不符合题意. 故选：ABC. 4．（24-25高一上·上海·假期作业）是互异的四个正数，，，中最大的数，且  ，则与的大小关系是 . 【答案】 【分析】利用作差法，结合所给条件计算可得. 【详解】因为是互异的四个正数，，，中最大的数， 所以，，又，则， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·假期作业），则从小到大的排列是 . 【答案】 【分析】利用两两作差即可比较． 【详解】， ，故， ，故 又，，故 ， 故答案为：． 6．（24-25高一上·上海·假期作业）求证. 【答案】证明见解析 【分析】利用作差法即可求证. 【详解】因为， 所以； 7．（24-25高一上·上海·假期作业）设是实数，比较与的值的大小. 【答案】答案见解析 【分析】两式作差，通过的正负，得到两式子大小关系. 【详解】 ①当，即时， ②当，即时， ③当，即时， 8．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 9．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 10．（23-24高一上·上海奉贤·期中）（1）设，用反证法证明：若，则或． （2）设，比较与的值的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【分析】（1）利用反证法证明即可； （2）用作差法判断即可 【详解】（1）假设且，则，与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即或． （2）， 当时，， 当时，， 当时，． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$