第05讲 二次函数的应用(2个知识点+8个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第05讲 二次函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数求实际问题. 3.能应用二次函数的性质解决实际问题. 4.能应用二次函数的性质解决实际问题. 5.能正确分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 知识点一 利用二次函数解实际问题的步骤 1. 二次函数与一元二次方程的关系 （1）阅读并理解题意; （2）找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析; （3）设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式; （4）根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解; （5）检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍. 温馨提示： 在实际问题中，自变量的取值范围必须要结合实际意义和已知条件的限定。 例1．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两间饲养室的宽度为，总占地面积为． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)求饲养室的宽度为多少时，饲养室最大面积多少？ (3)若要使两间饲养室合计占地总而积不低于，求饲养室的宽度的范围． 【答案】(1) (2)当时，饲养室的宽度为时，饲养室最大面积 (3) 【分析】（1）设两间饲养室的宽度为，则长为，然后根据可得x的取值范围，最后根据矩形的面积公式即可解答； （2）先将配方，然后根据二次函数的性质和x的取值范围即可求出函数的最值； （3）令求得x的值，然后根据二次函数的性质即可解答 【详解】（1）解：设两间饲养室的宽度为，则长为 ∵ ∴ 由矩形的面积可得： ∴ （2）解：∵， ∴函数图像开口向下 ∴当时，饲养室的宽度为时，饲养室最大面积 （3）解：令可得：，解得：或 ∴要使两间饲养室合计占地总而积不低于，x的取值范围为 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、矩形的性质等知识点，理解题意、灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【变式1-1】（2024·安徽合肥·二模）如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地，该基地一边靠墙（墙长米），另三边用总长40米的栅栏围成． （1）当时，劳动教育基地的最大面积为 ； （2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，的值为 ． 【答案】 30或10 【分析】本题考查二次函数的实际应用，实际问题往往是有限制条件的，列出的表达式需考虑自变量的取值范围，运用函数性质解题时更要注意这点． （1）已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，根据墙宽得的取值范围； （2）求当时的值，根据自变量的取值范围回答问题； 【详解】解：（1）当时，另三边总长40米， 设，则，劳动教育基地的面积为y， 根据题意得：， ∴； ∴当时，有最大值，最大值． （2）当最大值时，即， ∴， 解得：， ∵， ∴或． 故答案为：200；30或10． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/21 13:11:52；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 知识点二 利用二次函数解实际问题的常见类型 （1）几何图形的最大面积 （2）商品利润最大问题 （3）抛物线形实物及运动轨迹问题 例2. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量不低于25套，每套产品的售价不低于90万元，每月利润（万元）．已知这种设备的月产量（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系．    (1)求月产量的范围； (2)如果想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为多少套？ (3)求每月利润的范围． 【答案】(1)； (2)想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为25套； (3)每月利润的范围为． 【分析】（1）先求得函数关系式，根据题中条件“每套产品的售价不低于90万元”列出不等式，即可求解月产量x的范围； （2）根据利润=售价-成本列出关系式，进而解答即可； （3）得出函数关系式，然后根据二次函数的最大值及最小值可确定答案． 【详解】（1）解：设函数关系式为，把坐标，代入， 得，解得：， ∴函数关系式， 由题意得，解得， ∴月产量的范围为：； （2）解：∵每月利润为1750万元， ∴，即， ∴． ∵， ∴． 答：想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为25套； （3）解：设利润为万元，由题意得， ， ∵，， ∴当时，有最大值为1950（万元）， 当时，（万元）， 当时，（万元）， 答：每月利润的范围为． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答此类题目的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的顶点式求函数的最值，注意自变量的取值范围． 【变式2-1】2．（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点E的横坐标是，求点M的坐标． (3)若，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的确定、一次函数解析式的确定、中点坐标公式，三角形面积的计算．解题的关键是求出两个函数图像的交点坐标． （1）利用交点式求抛物线解析式即可． （2）先将代入抛物线解析式得出点E坐标，将点E得出直线解析式，联立抛物线解析式与直线解析式得出点F坐标，根据点M是线段的中点即可求出． （3）用题（2）的方法求出点的坐标（用含的式子表示），然后把四边形分割成几个三角形来求面积，再根据来求这个面积的最小值． 【详解】（1）解：把点，代入， 得 解方程组，得 抛物线的解析式为． （2）把代入，得， 点E的坐标是． 把点代入，得，， 直线的解析式是． 联立方程组得，， ，， 点M的坐标是． （3）把代入，得， 点C的坐标是，． ，点D的坐标是． 把与联立方程组，得， ，． 如图，连接． 四边形的面积为： ． ， 当时，四边形的面积有最小值，最小值为． 考点一：图形问题（实际问题与二次函数） 例1． （23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线的对称轴，点是顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． （ⅰ）如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标； （ⅱ）如图3，连接，与交于点，连接，，，求的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)（ⅰ）点的坐标为；（ⅱ）的最大值为3 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线和点，得点．由点，，得点．再运用待定系数法即可求得答案； （2）（ⅰ）由点，，得直线的解析式, 过点作轴交于点．设点，则点，得关于m的方程，解出即可；（ⅱ）由抛物线求出顶点的坐标为．由（ⅰ）知直线的解析式为，则点．设直线交于点，设点．由直线经过点，可设直线的解析式为，把点代入，得关于m的方程，解出即可． 【详解】（1）解：由抛物线的对称轴为直线和点，得点． 由点，，得点． 由抛物线经过点A，，得． 把点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：（ⅰ）由点，，得直线的解析式为． 如图1，过点作轴交于点． 设点，则点， ． 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）或， 则， 点的坐标为．                                    （ⅱ）由抛物线知，顶点的坐标为． 由（ⅰ）知直线的解析式为，则点． 如图2，设直线交于点，设点． 由直线经过点， 设直线的解析式为， 把点代入， 得， 解得（舍去）或， 即， 直线的解析式为． 当时，，即， ， 即的最大值为3．                              【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，三角形的面积问题等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 【变式1-1】（2024·安徽合肥·一模）如图（1）是一个高脚杯截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围； (3)将放在水平桌面l上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处（），如图（3）． ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；② 【分析】（1）根据题意，得到,，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可． （3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为M，计算的长即可得到坐标． ②设点N是抛物线上的一点，且，；过点N作轴，交于点G，过点G作轴于点E，确定，计算得最大值，且最大值为，过点N作于点H，则， 故的最大值为． 【详解】（1）∵，杯子的高度（即，之间的距离）为． ∴,， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线的解析式为， ∴平移后的解析式为． ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴的对称点为, ∵， ∴平移后， 设直线的解析式为， ∴， 解得； ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得； ∴， 根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点， ∴． （3）①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为M，直线与轴的交点为S， ∵，杯子的高度（即，之间的距离）为． ∴，， ∵水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵抛物线的解析式为， 设点N是抛物线上的一点，且，； 过点N作轴，交于点G， ∵水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ∴， ∵， ∴， 过点G作轴于点E， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴时，取得最大值，且最大值为， 过点N作于点H， 则， 故的最大值为， 故液体的最大深度为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）一段长为的墙前有一块矩形空地，用长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设． (1)若矩形的面积为，求的长； (2)当的长为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当的长时，矩形的面积最大，最大面积是． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据题意求得，根据“矩形的面积为”列式得，解方程即可求解； （2）根据得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， 当时，， 即当的长时，矩形的面积最大，最大面积是． 考点二：图形运动问题（实际问题与二次函数） 例2. （2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是动态问题的函数图象，二次函数的图象与性质，先分两种情况求解S与t之间的函数关系式，再判断即可． 【详解】解：如图，作直线， ∴，解得：， ∴， ∴， 当时， 当向右平移个单位长度可得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，且函数过， ∴A，B，D不符合题意； 当时，如图， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴C符合题意； 故选C 【变式2-1】（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 【答案】B 【分析】先证明，再证明四边形为正方形和四边形为矩形，利用已知条件从而可推出的长度，最后利用面积法列二次函数从而求出的最大面积，即可求出四边形面积的最大值． 【详解】解：过点H作于点，过点作于点，过点作于点，连接和，如图所示， ∵为的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 设 ∴， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，最大值为， 所以，四边形面积的最大值为 故选：B 【点睛】本题考查的有矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质等知识，解题的关键在于寻找正确的三角形全等证明线段之间的数量关系以及学会利用参数构建二次函数解决最值问题． 【变式2-2】（2024·安徽合肥·一模）如图所示，直角边为2的等腰直角三角形和长为4宽为2的矩形在同一水平线上，等腰直角三角形沿该水平线从左向右匀速穿过矩形．设穿过的时间为x，等腰直角三角形与矩形重叠部分的面积为y，则y与x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系．此题可分为三段求解，当或或时，列出面积随动点变化的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为， ∴， 当时，如图， ∴， ； 当时，如图， ； 当时，如图， ， ， ∴与之间的函数关系， 由函数关系式可看出D中的函数图象与所求的分段函数对应． 故选：D． 【变式2-3】（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，在中，，，，点D为的中点，点P为上一动点，点P从点B出发运动到点A处停止，设点P经过的路程为x，，令，则w的最小值为（    ）    A． B．7 C．5 D． 【答案】A 【分析】作于H，由直角三角形的性质得到，，得到，由勾股定理得到，因此，即可求出w的最小值． 【详解】解：作于H， ，， ∴， ，由勾股定理得： ， ， ，， 是中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故选：A．    【点睛】本题考查含角的直角三角形，勾股定理，二次函数的应用，关键是由直角三角形的性质得到． 【变式2-4】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 考点三：反比例函数图象的对称性 例3. （23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽为30米，当水位上升7米时，水面宽为（    ） A．5米 B．米 C．10米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，依据题意，根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升7米时，代入解析式求出x即可． 【详解】∵米， ∴当时，． 当水位上升7米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米． 故选：D． 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式； (2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）本题考查矩形的性质，用待定系数法求二次函数解析式，设抛物线的表达式为，根据题意得到C点坐标为，P点坐标为，将点代入中求解，即可解题． （2）本题考查二次函数的对称性，将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题易知，四边形为矩形， ， 点距离桥面为，， ， 平面直角坐标系以中点为原点，所在直线为轴， ， C点坐标为，P点坐标为， 将，代入中， 得 ，解得． 主索抛物线的表达式为； （2）解：当时，，此时吊索的长度为（）， 由抛物线的对称性可得，时，此时吊索的长度也为． 同理，时，，此时吊索的长度为（）， 时，此时吊索的长度也为． 四根吊索的总长度为． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为轴，点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该拱桥所在抛物线的解析式； (2)当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度． 【答案】(1)拱桥所在抛物线的解析式为：； (2)此时拱桥内水面的宽度为米． 【分析】（1）根据水面宽度，求出抛物线的对称轴，进而通过水面离桥洞最大距离，确定抛物线顶点坐标，设顶点式抛物线方程，将点坐标代入即可求解， （2）根据题意，得出水面所在的直线解析式，与抛物线方程联立，求出两交点间的距离，即为所求答案， 本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，以及求一元二次方程与直线交点，解题的关键是：实际问题到数学问题的转化． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，． ∵水面离桥洞最大距离为1米， ∴该抛物线顶点坐标为． 设该抛物线解析式为，把代入， 得，解得， 故该拱桥所在抛物线的解析式为：； （2）由题意，得． 把代入， 得，解得：，， （米）， 故此时拱桥内水面的宽度为米． 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）一个抛物线形拱桥，桥底水平面宽度（跨度）是12米，拱桥最顶端到水平面的距离（拱高）是4米，如图，以水平直线为x轴，以过桥的顶点且垂直于水平线的直线为y轴，坐标原点为O建立直角坐标系．一艘货船宽度为5.8米，装载集装箱后高出水面2米．一场大雨后，水面比下雨前上升了1米，此时这艘货船还可以安全通过拱桥吗？请通过计算进行说明． 【答案】这艘货船能安全通过拱桥，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，根据题意可求出二次函数解析式，在根据水位上升后算出水面的宽度，水面离拱桥顶的距离，由此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：能安全通过拱桥，理由如下： 根据题意，作图如下， 设二次函数解析式为，已知抛物线过， ∴二次函数解析式为， 一场大雨后，水面比下雨前上升米， ∴即令时，则， 解得，， ∴下雨后水面的宽度为：，此时水面离桥顶的距离为， ∴这艘货船能安全通过拱桥． 【变式3-4】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）某地有一座桥，桥下水面宽米，拱顶高出水面米，当水面又上升7米，此时水面宽为EF． (1)如图①，把该拱桥看作是圆弧形时， Ⅰ.求该拱桥所在圆半径； Ⅱ.求此时的长． (2)如图②，把该拱桥看作是拋物线时，直接写出________． 【答案】(1)Ⅰ. 拱桥所在圆半径为；Ⅱ.米； (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，垂径定理的应用． （1）Ⅰ.根据题意得： 米，，，设圆的半径是r米，则米，米，在中，由勾股定理即可求解； Ⅱ.在中，由勾股定理，即可求解； （2）根据题意得：米，则米，拱高米．则A，D的坐标分别是，，可设抛物线的表达式为，将这两点的坐标代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：Ⅰ.根据题意得：米，，， 设圆的半径是r米，则米，米， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， 该拱桥所在圆半径为； Ⅱ.当水面上升7米至时， 在中，米，（米）， ∴ ， ∴（米）； （2）解：根据题意得：米，则米，拱高米． ∴A，D的坐标分别是，， 设抛物线的表达式为， 把这两点的坐标代入解析式得到：， 解得：， ∴解析式是， 把代入解析式，得： 解得：， ∴米； 故答案为：． 考点四：销售问题（实际问题与二次函数） 例4. （2024·安徽合肥·三模）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好，它的成本C（元）与生产量x（个）的关系式为： (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销量单价（元/个）之间的对应关系如下图所示：    ①销量与销量单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少? 【答案】(1)固定成本为元，可变成本为元 (2)①；②售价为20或21元时，最大利润是26340元． 【分析】本题考查了二次函数的最大利润问题，一次函数的解析式等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用”，即可作答． （2）①运用待定系数法求解销量与销量单价之间的函数关系式； ②经分析列式得，结合二次函数的性质，得出开口向下，在有最大值，考虑为整数，得出或时，有最大值，再代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∵它的成本C（元）与生产量x（个）的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关， ∴该工艺品的固定成本为元，可变成本为元 （2）解：①设销量与销量单价之间的函数关系式 把代入 得 解得 ∴ 设利润为 依题意，得出 整理得出 ∵ ∴开口向下，在有最大值， ∵为整数， ∴或时，有最大值 ∴ 则当售价为20或21元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是26340元． 【变式4-1】（2024·安徽蚌埠·三模）在“乡村振兴”行动中，某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场．经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，乙种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，其中均为自然数．根据农委的指示及市场监督部门的要求，该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋26元，乙种有机产品的成本为每袋35元． (1)当甲种有机产品的销售单价为30元时，甲乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？ (2)当乙种有机产品的销售单价为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲乙两种有机产品每天的销量分别为112袋和118袋 (2)当乙种有机产品的销售单价为60时，这两种有机产品每天销售的总利润最大，最大利润是3125元 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的关系式是解此题的关键． （1）由题意得出，分别代入函数解析式计算即可得出答案； （2）由题意得，设两种产品每天总利润为元，求出关于的关系式，结合二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：甲销售单价为30时，乙销售单价为元 ． 答：甲乙两种有机产品每天的销量分别为112袋和118袋． （2）解：由得， 设两种产品每天总利润为元， 则 整理得 当乙种有机产品的销售单价为60时，这两种有机产品每天销售的总利润最大，最大利润是3125元． 【变式4-2】（2024·安徽合肥·二模）“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和信息都相对不便．清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160元/千克的价格将附近茶农的明前新茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售．根据往年的销售经验，这种明前新茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克．设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，且销售单价高于收购价，且不超过收购价的2倍． (1)试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)销售单价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？ (3)由于明前新茶产量较少，李明仅收购了320千克，在（2）的条件下全部销售完之后，明后春茶上市．李明提高了的收购量收购了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上销售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春茶，并将收购量再提高，每千克的利润不变，所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后春茶共获利80000元，求m的值． 【答案】(1)， (2)元，5000元 (3)50 【分析】此题主要考查求一次函数表达式、一元二次方程及二次函数的的应用，解题关键在理解题意，列出函数关系式求解， （1）根据“以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克”列出一次函数表达式即可； （2）根据题意列出二次函数表达式，并求出最大值即可； （3）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：由题意知： 又， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围是． （2）设日利润为w元，则根据题意可知： ∵，且， ∴当时，w有最大值为5000元． （3）由题意可知： 解得：，（舍去） ∴m的值为50． 【变式4-3】（2024·安徽合肥·二模）如图，在1～12月份期间，某种农产品销售单价y（元/件）与月份x 之间的函数图象是抛物线（部分），7月份该产品的销售单价最高为10元/件；它的生产成本（元/件）与月份x之间函数图象是折线， (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)从1月份到8月份，问几月份这种产品每件的销售利润最大，最大时多少元? 【答案】(1)， (2)5月份这种产品每件的销售利润最大，最大利润是4元 【分析】本题考查了待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数最大值的求解，由函数图象读取信息，正确利用函数图象求出解析式是解答本题的关键． （1）分别设出函数解析式，利用待定系数法进行求解即可； （2）设每件的销售利润为y元，根据，根据二次函数性质即可求出最大值． 【详解】（1）解：7月份该产品的销售单价最高，为10元/件， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ； 设的解析式为， 将点，代入解析式， 得：，解得：， 则的解析式为； 设的解析式为， 将点，代入解析式， 得：，解得：， 则的解析式为； （2）设每件的销售利润为y元， 当时， ， 且x取整数， ∴当时，y的值最大，最大利润为， 答：5月份这种产品每件的销售利润最大，最大利润4元． 考点五：投球问题（实际问题与二次函数） 例5.（2024·安徽阜阳·三模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、D． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选D． 【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，计算见解析 (3)能，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得点，点，令，求出，，再根据判断即可； （3）令，则，求出抛物线L与x正半轴交于点，设抛物线M的解析式为，再将代入抛物线M的解析式，进而求出抛物线M的解析式，令，计算出y值与0.5进行比较即可． 【详解】（1）解：∵小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为 ∴， 即 ∵小球从点P处抛出， ∴将点代入抛物线解析式，得 解得： ∴ （2）∵，， ∴点，点 令，则 解得， ∵ ∴该同学抛出的小球能投入箱内． （3）该小球能弹出箱子，理由如下： 令，则 解得， ∴抛物线L与x正半轴交于点 设抛物线M的解析式为： ∴将代入抛物线M的解析式，得 解得， ∵该小球投入箱内后立即向右上方弹起 ∴ ∴抛物线M的解析式为： 令，则 ∵ ∴该小球能弹出箱子． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象的平移等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题． 【变式5-2】（2024·安徽安庆·三模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 【答案】(1) (2)能，见解析 (3)乒乓球不能弹出箱子，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； （3）依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为，利用待定系数法求得值，并求得当时，的值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴王同学抛出的乒乓球能投入箱子； （3）解：乒乓球不能弹出箱子．理由如下： 依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为， ∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴弹出后抛物线解析式为， 当时，， ∴乒乓球不能弹出箱子． 【变式5-3】（2024·河北邯郸·一模）中国女排五次蝉联世界冠军为国争光．团结协作，顽强拼搏的女排精神激发了中国人的自豪、自尊和自信，为了储备青少年人才，某中学开展排球训练．嘉嘉站在原点O处发球，发现排球从出手到落地的过程中，排球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．嘉嘉利用先进的鹰眼系统记录了排球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表：      水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 竖直高度y/m 2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，嘉嘉发现其图象是二次函数的一部分（为球网）． (1)在嘉嘉发球过程中，出手时排球的竖直高度是______米，排球在空中的最大高度是______米； (2)求此抛物线的解析式； (3)若球场的边界为点K，通过计算判断发出后的排球是否会出界？ 【答案】(1)2， (2) (3)不会出界 【分析】本题考查二次函数实际应用，待定系数法求二次函数解析式，利用函数值求自变量值． （1）通过观察图表可知本题答案； （2）设函数解析式为，通过图表知顶点坐标为，则函数解析式为，把代入中即可求出； （3）通过（2）中求出的解析式令求出，再与值比较即可． 【详解】（1）解：通过观察图表可知： 当水平距离为0时，出手的竖直高度为米， 排球最大值为， 故答案为：2，； （2）解：设抛物线的解析式， ∵通过图表知顶点坐标为， ∴函数解析式为， 把代入中，得：， ∴； （3）解：∵， ∴令，得： ，解得：， ∵，， ∴发出后的排球不会出界． 考点六 喷水问题（实际问题与二次函数） 例6. （23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为，将代入，得：， ∴， 当时，， ∴高度为； 故选D． 【变式6-1】（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数的性质，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，解题的关键是求抛物线解析式． 【变式6-2】（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略） (1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长； (2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点． （ⅰ）求的长； （ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】 （1）根据抛物线过点，可得a的值，令，解方程从而解决问题； （2）（ⅰ）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得的长度； （ⅱ）根据，，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案； 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 令，则， 解得或（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程为； （2）（ⅰ）对称轴为直线， ∴点对称点为， ∵平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点C是由点B向左平移得到的， ∴点C的坐标为，即， ； （ⅱ）， ∴点F的纵坐标为1， ， 解得或（舍去） ， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为 ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， 的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 【变式6-3】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）九年级某班级同学进行项目式学习，《项目式学习报告》如下： 绿化带灌溉车的操作探究 项目内容 项目素材 项目任务 项目一、 明确灌溉方式 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），灌溉车到的距离长度为（单位：）． “博学小组”经过实际测量，建立如下数学模型：如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度喷水口离开地面高米，上边缘拋物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 任务一、结合图象和数据，请你求出灌溉车的最大射程的长度． 项目二、 提倡有效灌溉 “笃志小组”实地调查发现： 为了节约用水，进行有效灌溉，灌溉车在进行作业时，要保证喷出的水能浇灌到整个绿化带（上边缘抛物线不低于点F）； 任务二、请你求出灌溉车有效灌溉时，灌溉车到绿化带底部边缘的距离的取值范围． 【答案】任务一：喷出水的最大射程为；任务二：灌溉车到绿化带底部边缘的距离的取值范围是 【分析】任务一：设上边缘抛物线的函数解析式为，把点代入即可求得上边缘抛物线的函数解析式，令，解方程即可求得喷出水的最大射程的值； 任务二：根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】解：任务一：由题意得点是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线的函数解析式为， 又∵抛物线经过点， ∴． 解得． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 把代入中，得， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 任务二：， 点的纵坐标为0.5， ， 解得， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则， 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，灌溉车到绿化带底部边缘的距离的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识． 考点七：增长率问题（实际问题与二次函数） 例7. （23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以每次降价的百分率，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式7-1】 据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2 【答案】C 【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x， 则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 【变式7-2】据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据2023年安徽省生产总值=2021年安徽省生产总值×列函数表达式即可． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数表达式是， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 【变式7-3】 据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均每个月增长的百分率为，可得第三月的总值为，第四月的总值为，即可解答． 【详解】解：设平均每个月增长的百分率为， ∵第二个月总值约为亿元人民币， ∴第三月的总值为， ∴第四月的总值为， ∴y关于x的函数表达式是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题的数量关系是解题的关键． 【变式7-4】 2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 考点八： 其他问题（实际问题与二次函数） 例8. （2024·安徽六安·模拟预测）如图1是某文艺舞台背景装饰架的示意图，它是以支架为对称轴的轴对称图形（支架粗细忽略不计），垂直舞台于点O，米，米，曲线均为抛物线的一部分．数学活动小组测得曲线的最低点到舞台的距离是5米，与支架的水平距离是4米．以O为原点建立平面直角坐标系如图． (1)求曲线的函数表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)数学活动小组又测得曲线的最低点到舞台的距离是米，与支架的水平距离是5米．若按图2的方式布置装饰灯带，布置好后成轴对称分布，其中垂直于舞台． ① 若与之间的距离比与之间的距离少2米，当米时，求的长度； ② 若，求装饰灯带总长度的最小值． 【答案】(1)曲线的函数表达式为 (2)①的长度为米，②灯带总长度的最小值为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数，正确理解题意，将实际模型转换为熟悉的图形，是解题的关键． （1）由题意可得抛物线的顶点，再利用待定系数法，即可解答； （2）①求得点的横坐标，代入抛物线即可解答； ②求出抛物线的函数表达式，设灯带总长度为, , 则, 求得与之间的关系，即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 代入得： 解得： ∴ 抛物线的函数表达式为 ； （2）解：①, 与之间的距离比与之间的距离少2米, ， 则即的长度为米； ②设抛物线的函数表达式为：， 代入得: ， 解得： ， ∴ 抛物线的函数表达式为， 设灯带总长度为, , 则, 则 ， ∴ 当时，w有最小值，最小值为 ∴ 灯带总长度的最小值为米． 【变式8-1】（2024·安徽·模拟预测）在水平的地面上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆以点B为坐标原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，得到图①．已知电线杆之间电线的形状可近似地看成抛物线． (1)求电线最低点离地面的距离； (2)因实际需要，电力公司需要在之间增设一根电线杆： ①如图②，若将电线杆增设在距离为3米处，且使左侧抛物线的最低点与的距离为1米，离地面1.8米，求的长； ②如图③，若将一根长为3米的电线杆增设在线段之间的位置上，使右边抛物线的二次项系数始终是0.25，设电线杆离的距离为m米，抛物线的最低点离地面的距离为k米，当时，求k的取值范围． 【答案】(1)1.4米 (2)①2.1米② 【分析】（1）根据抛物线的坐标公式求出顶点坐标，即可达成答案， （2）①可得左边抛物线的最低点的坐标为且过点可求出函数关系式，在根据的横坐标为3，求出纵坐标即可， ②由于米，右侧抛物线的顶点一定在的垂直平分线上，可用的代数式表示，右侧抛物线的顶点的横坐标，设出顶点坐标，用顶点式表示抛物线的关系式，这样就建立一个关于与顶点纵坐标的关系式，当时，可求的取值范围． 本题考查二次函数的图象和性质，特别是抛物线的关系式的三种形式应熟练掌握，灵活应用，善于将点的坐标与线段长的转化以及二次函数的对称性是解决问题的关键． 【详解】（1）解：由顶点坐标公式得：当，时， ， 抛物线的顶点坐标为． 电线最低点离地面的距离为1.4米； 答：电线最低点离地面的距离为1.4米． （2）解：①由图（1）的抛物线可得：点，点， 由题意得左侧抛物线的顶点为，且过点， 设左侧抛物线的关系式为，将点代入求得， 左侧抛物线的关系式为， 当时，米，即的长为2.1米． 答：的长为2.1米． ②米， 右边抛物线的顶点一定在的垂直平分线上， 因此右边抛物线的顶点的横坐标为，设顶点坐标为， 右边抛物线的关系式为，把点代入得，， 即： 当时，， 当，， 所以，当时，的取值范围是． 故答案为：． 【变式8-2】（2024·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．     (1)求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围； (2)已知途中阶段龙舟速度为，当时，求该龙舟划行的总路程； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键． （1）把代入 得出的值，则可得出答案； （2）设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案； （3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 启航阶段总路程关于时间的函数表达式为； （2）解：设，把代入，得，解得， ． 当时，． 当时，该龙舟划行的总路程为； （3）解：由（1）可知，把代入，得． 函数表达式为， 把代入，解得． ， ． 答：该龙舟队完成训练总程所需时间为． 【变式8-3】（2024·安徽阜阳·三模）太子山旅游景区风景怡人，吸引了大批游客前来观光游览，在景区入口游客可乘坐观光车直接到达景点游览，观光车每天到开放．某天欲乘坐观光车总人数y（人）与开放时间x（小时）之间满足：．若景区每小时有12趟观光车，每趟载客20人，设等待坐观光车的游客为p（人）． (1)求p关于x的函数关系式； (2)求等待观光车的游客最多时有多少人？ 【答案】(1) (2)等待观光车的游客最多时有多少人620人 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出正确的函数关系式，以及熟练掌握一次函数和二次函数的性质． （1）根据等待坐观光车的游客=欲乘坐观光车总人数观光车乘坐人数，即可解答； （2）根据（1）中得出的函数关系式，结合一次函数和二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， ∴p关于x的函数关系式为； （2）解：当时，， ∵， ∴当时，p有最大值620； 当时，， 把代入得， ∵， ∴p最大值小于600， 综上： 等待观光车的游客最多时有多少人620人． 【例1】如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一直线上，开始时点与点重合，让向右平移，直到点与点重合时为止，设与正方形的重叠部分（图中阴影部分）的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先确定每段与的函数关系类型，根据函数的性质确定选项． 【解答】解：当时，重合部分是边长是的等腰直角三角形，面积，是一个开口向上的二次函数； 当时，重合部分是直角梯形，面积，即，是一个开口向下的二次函数． 故选：． 【点评】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系． 易错攻克 当时，重叠部分的面积仍然存在，不能仅看到某选项中的图象与时的图象一致,就马上下结论. 【例2】如图，五边形为一块土地的示意图．四边形为矩形，米，米，截交、分别于点、，且米． （1）现要在此土地上划出一块矩形土地作为安置区，且点在线段上，若设的长为米，矩形的面积为平方米，求与的函数关系式，并求当为何值时，安置区的面积最大，最大面积为多少？ （2）因三峡库区移民的需要，现要在此最大面积的安置区内安置30户移民农户，每户建房占地100平方米，政府给予每户4万元补助，安置区内除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作为基础建设费，在五边形这块土地上，除安置区外的部分每平方米政府投入200元作为设施施工费．为减轻政府的财政压力，决定鼓励一批非安置户到此安置区内建房，每户建房占地120平方米，但每户非安置户应向政府交纳土地使用费3万元．为保护环境，建房总面积不得超过安置区面积的．若除非安置户交纳的土地使用费外，政府另外投入资金150万元，请问能否将这30户移民农户全部安置？并说明理由． 【分析】（1）要求矩形的面积就应该知道矩形的长和宽，可以延长交于点，用表示出和，然后根据矩形的面积长宽，得出函数关系式，然后根据的取值范围和函数的性质，得出面积最大值． （2）本题的不等式关系为：非安置户的建房占地面积安置户的建房占地面积安置区面积；安置户的补助费安置户的基础建设费安置户的设施施工费万元非安置户缴纳的土地使用费．以此来列出不等式，求出自变量的取值范围． 【解答】解：（1）延长交于点，则为等腰直角三角形． 则 由 得因为抛物线的对称轴为直线，开口向下． 所以，在内， 当时，取得最大值． 其最大值为 （2）设有户非安置户到安置区内建房，政府才能将30户移民农户全部安置． 由题意，得 解得 因为为整数． 所以，到安置区建房的非安置户至少有19户且最多有25户时，政府才能将30户移民农户全部安置；否则，政府就不能将30户移民农户全部安置． 【点评】本题考查了二次函数和一元一次不等式的综合应用，读清题意，找准等量关系是解题的关键． 易错攻克 考虑实际意义是解答含有隐含条件的问题的关键. 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 2．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）把一个小球以的速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：．当时，小球的运动时间为（   ） A．1s B．s C．2 s D．s 【答案】D 【分析】本题涉及二次函数的实际应用．熟练掌握函数与方程的关系，是解决问题的关键． 把h的值代入函数关系式，列方程解方程即可． 【详解】将代入， 得，， 解得： ． 故选：D． 3．（2024·安徽·一模）如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分当时，点在上和当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于，当时，点在上，    ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 当时，点在上，过点作于点，    ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 综上所述，当时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球距点水平距离超过4米呈下降趋势 B．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．当小球拋出高度达到8m时，小球距点水平距离为4m 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像及性质，一次函数图像及性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，即：， ∴对称轴为：， ∴当时，小球呈下降趋势， 故A选项正确； ∵当小球水平运动2米时，， ∵斜坡可以用一次函数刻画，当时，， ∴当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为米， 故B选项不正确； ∵，解得：或， ∴小球落地点距点水平距离为7米， 故C选项正确； ∵当小球拋出高度达到8m时，即：，解得：， ∴小球距点水平距离为4m， 故D选项正确． 故选：B． 5．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是:，这个函数图象如图所示，则小球从第到第下降的高度为 m. 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的应用，读懂题目是解题的关键．根据第时小球达到最高点，然后小球竖直下落，分别求出第和第对应的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，第时小球达到最高点，此时小球距离地面，然后小球开始竖直下落， 当时，， 故则小球从第到第下降的高度为， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，某养殖户用长的篱笆围成一个长方形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形，则围成养殖园的最大面积是 ． 【答案】72 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，会求二次函数的最值．根据题意设养殖园的面积为，平行于隔离栏的边长为，根据题意列出函数关系，根据二次函数的性质结合已知条件求的最大值即可． 【详解】解：设养殖园的面积为，平行于隔离栏的边长为，则垂直于隔离栏的边长为， 根据题意，得 ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，S最大，最大值为72． 即围成养殖园的最大面积． 故答案为：72． 7．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在菱形中，对角线，的和是，则这个菱形的面积的最大值是 cm2． 【答案】50 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积=两条对角线长乘积的一半得到面积关于对角线的函数解析式，进而求出二次函数的最值即可． 【详解】解：如图所示：    ∵菱形中，对角线，的和是， ∴菱形的面积 当菱形的两条对角线长都为10时，面积； 故答案为：50． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【答案】(1) (2)（i）最大距离为  （ii） 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）(i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数求实际问题. 3.能应用二次函数的性质解决实际问题. 4.能应用二次函数的性质解决实际问题. 5.能正确分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 知识点一 利用二次函数解实际问题的步骤 1. 二次函数与一元二次方程的关系 （1）阅读并理解题意; （2）找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析; （3）设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式; （4）根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解; （5）检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍. 温馨提示： 在实际问题中，自变量的取值范围必须要结合实际意义和已知条件的限定。 例1．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两间饲养室的宽度为，总占地面积为． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)求饲养室的宽度为多少时，饲养室最大面积多少？ (3)若要使两间饲养室合计占地总而积不低于，求饲养室的宽度的范围． 【答案】(1) (2)当时，饲养室的宽度为时，饲养室最大面积 (3) 【分析】（1）设两间饲养室的宽度为，则长为，然后根据可得x的取值范围，最后根据矩形的面积公式即可解答； （2）先将配方，然后根据二次函数的性质和x的取值范围即可求出函数的最值； （3）令求得x的值，然后根据二次函数的性质即可解答 【详解】（1）解：设两间饲养室的宽度为，则长为 ∵ ∴ 由矩形的面积可得： ∴ （2）解：∵， ∴函数图像开口向下 ∴当时，饲养室的宽度为时，饲养室最大面积 （3）解：令可得：，解得：或 ∴要使两间饲养室合计占地总而积不低于，x的取值范围为 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、矩形的性质等知识点，理解题意、灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【变式1-1】（2024·安徽合肥·二模）如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地，该基地一边靠墙（墙长米），另三边用总长40米的栅栏围成． （1）当时，劳动教育基地的最大面积为________； （2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，的值为_______． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/21 13:11:52；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 知识点二 利用二次函数解实际问题的常见类型 （1）几何图形的最大面积 （2）商品利润最大问题 （3）抛物线形实物及运动轨迹问题 例2. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量不低于25套，每套产品的售价不低于90万元，每月利润（万元）．已知这种设备的月产量（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系．    (1)求月产量的范围； (2)如果想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为多少套？ (3)求每月利润的范围． 【答案】(1)； (2)想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为25套； (3)每月利润的范围为． 【分析】（1）先求得函数关系式，根据题中条件“每套产品的售价不低于90万元”列出不等式，即可求解月产量x的范围； （2）根据利润=售价-成本列出关系式，进而解答即可； （3）得出函数关系式，然后根据二次函数的最大值及最小值可确定答案． 【详解】（1）解：设函数关系式为，把坐标，代入， 得，解得：， ∴函数关系式， 由题意得，解得， ∴月产量的范围为：； （2）解：∵每月利润为1750万元， ∴，即， ∴． ∵， ∴． 答：想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为25套； （3）解：设利润为万元，由题意得， ， ∵，， ∴当时，有最大值为1950（万元）， 当时，（万元）， 当时，（万元）， 答：每月利润的范围为． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答此类题目的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的顶点式求函数的最值，注意自变量的取值范围． 【变式2-1】2．（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点E的横坐标是，求点M的坐标． (3)若，求四边形的面积的最小值． 考点一：图形问题（实际问题与二次函数） 例1． （23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线的对称轴，点是顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． （ⅰ）如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标； （ⅱ）如图3，连接，与交于点，连接，，，求的最大值． 【变式1-1】（2024·安徽合肥·一模）如图（1）是一个高脚杯截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围； (3)将放在水平桌面l上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处（），如图（3）． ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）一段长为的墙前有一块矩形空地，用长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设． (1)若矩形的面积为，求的长； (2)当的长为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 考点二：图形运动问题（实际问题与二次函数） 例2. （2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 二次函数解决最值问题． 【变式2-2】（2024·安徽合肥·一模）如图所示，直角边为2的等腰直角三角形和长为4宽为2的矩形在同一水平线上，等腰直角三角形沿该水平线从左向右匀速穿过矩形．设穿过的时间为x，等腰直角三角形与矩形重叠部分的面积为y，则y与x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，在中，，，，点D为的中点，点P为上一动点，点P从点B出发运动到点A处停止，设点P经过的路程为x，，令，则w的最小值为（    ）    A． B．7 C．5 D． 【变式2-4】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 考点三：反比例函数图象的对称性 例3. （23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽为30米，当水位上升7米时，水面宽为（    ） A．5米 B．米 C．10米 D．米 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式； (2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为轴，点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该拱桥所在抛物线的解析式； (2)当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度． 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）一个抛物线形拱桥，桥底水平面宽度（跨度）是12米，拱桥最顶端到水平面的距离（拱高）是4米，如图，以水平直线为x轴，以过桥的顶点且垂直于水平线的直线为y轴，坐标原点为O建立直角坐标系．一艘货船宽度为5.8米，装载集装箱后高出水面2米．一场大雨后，水面比下雨前上升了1米，此时这艘货船还可以安全通过拱桥吗？请通过计算进行说明． 【变式3-4】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）某地有一座桥，桥下水面宽米，拱顶高出水面米，当水面又上升7米，此时水面宽为EF． (1)如图①，把该拱桥看作是圆弧形时， Ⅰ.求该拱桥所在圆半径； Ⅱ.求此时的长． (2)如图②，把该拱桥看作是拋物线时，直接写出________． 考点四：销售问题（实际问题与二次函数） 例4. （2024·安徽合肥·三模）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好，它的成本C（元）与生产量x（个）的关系式为： (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销量单价（元/个）之间的对应关系如下图所示：    ①销量与销量单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少? 【变式4-1】（2024·安徽蚌埠·三模）在“乡村振兴”行动中，某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场．经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，乙种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，其中均为自然数．根据农委的指示及市场监督部门的要求，该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋26元，乙种有机产品的成本为每袋35元． (1)当甲种有机产品的销售单价为30元时，甲乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？ (2)当乙种有机产品的销售单价为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？ 【变式4-2】（2024·安徽合肥·二模）“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和信息都相对不便．清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160元/千克的价格将附近茶农的明前新茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售．根据往年的销售经验，这种明前新茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克．设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，且销售单价高于收购价，且不超过收购价的2倍． (1)试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)销售单价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？ (3)由于明前新茶产量较少，李明仅收购了320千克，在（2）的条件下全部销售完之后，明后春茶上市．李明提高了的收购量收购了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上销售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春茶，并将收购量再提高，每千克的利润不变，所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后春茶共获利80000元，求m的值． 【变式4-3】（2024·安徽合肥·二模）如图，在1～12月份期间，某种农产品销售单价y（元/件）与月份x 之间的函数图象是抛物线（部分），7月份该产品的销售单价最高为10元/件；它的生产成本（元/件）与月份x之间函数图象是折线， (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)从1月份到8月份，问几月份这种产品每件的销售利润最大，最大时多少元? 考点五：投球问题（实际问题与二次函数） 例5.（2024·安徽阜阳·三模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 【变式5-2】（2024·安徽安庆·三模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 【变式5-3】（2024·河北邯郸·一模）中国女排五次蝉联世界冠军为国争光．团结协作，顽强拼搏的女排精神激发了中国人的自豪、自尊和自信，为了储备青少年人才，某中学开展排球训练．嘉嘉站在原点O处发球，发现排球从出手到落地的过程中，排球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．嘉嘉利用先进的鹰眼系统记录了排球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表：      水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 竖直高度y/m 2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，嘉嘉发现其图象是二次函数的一部分（为球网）． (1)在嘉嘉发球过程中，出手时排球的竖直高度是______米，排球在空中的最大高度是______米； (2)求此抛物线的解析式； (3)若球场的边界为点K，通过计算判断发出后的排球是否会出界？ 考点六 喷水问题（实际问题与二次函数） 例6. （23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-1】（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【变式6-2】（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略） (1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长； (2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点． （ⅰ）求的长； （ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围． 【变式6-3】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）九年级某班级同学进行项目式学习，《项目式学习报告》如下： 绿化带灌溉车的操作探究 项目内容 项目素材 项目任务 项目一、 明确灌溉方式 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），灌溉车到的距离长度为（单位：）． “博学小组”经过实际测量，建立如下数学模型：如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度喷水口离开地面高米，上边缘拋物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 任务一、结合图象和数据，请你求出灌溉车的最大射程的长度． 项目二、 提倡有效灌溉 “笃志小组”实地调查发现： 为了节约用水，进行有效灌溉，灌溉车在进行作业时，要保证喷出的水能浇灌到整个绿化带（上边缘抛物线不低于点F）； 任务二、请你求出灌溉车有效灌溉时，灌溉车到绿化带底部边缘的距离的取值范围． 考点七：增长率问题（实际问题与二次函数） 例7. （23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】 据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2 【变式7-2】据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】 据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A． B． C． D． 【变式7-4】 2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 考点八： 其他问题（实际问题与二次函数） 例8. （2024·安徽六安·模拟预测）如图1是某文艺舞台背景装饰架的示意图，它是以支架为对称轴的轴对称图形（支架粗细忽略不计），垂直舞台于点O，米，米，曲线均为抛物线的一部分．数学活动小组测得曲线的最低点到舞台的距离是5米，与支架的水平距离是4米．以O为原点建立平面直角坐标系如图． (1)求曲线的函数表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)数学活动小组又测得曲线的最低点到舞台的距离是米，与支架的水平距离是5米．若按图2的方式布置装饰灯带，布置好后成轴对称分布，其中垂直于舞台． ① 若与之间的距离比与之间的距离少2米，当米时，求的长度； ② 若，求装饰灯带总长度的最小值． 【变式8-1】（2024·安徽·模拟预测）在水平的地面上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆以点B为坐标原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，得到图①．已知电线杆之间电线的形状可近似地看成抛物线． (1)求电线最低点离地面的距离； (2)因实际需要，电力公司需要在之间增设一根电线杆： ①如图②，若将电线杆增设在距离为3米处，且使左侧抛物线的最低点与的距离为1米，离地面1.8米，求的长； ②如图③，若将一根长为3米的电线杆增设在线段之间的位置上，使右边抛物线的二次项系数始终是0.25，设电线杆离的距离为m米，抛物线的最低点离地面的距离为k米，当时，求k的取值范围． 【变式8-2】（2024·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．     (1)求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围； (2)已知途中阶段龙舟速度为，当时，求该龙舟划行的总路程； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间． 【变式8-3】（2024·安徽阜阳·三模）太子山旅游景区风景怡人，吸引了大批游客前来观光游览，在景区入口游客可乘坐观光车直接到达景点游览，观光车每天到开放．某天欲乘坐观光车总人数y（人）与开放时间x（小时）之间满足：．若景区每小时有12趟观光车，每趟载客20人，设等待坐观光车的游客为p（人）． (1)求p关于x的函数关系式； (2)求等待观光车的游客最多时有多少人？ 【例1】如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一直线上，开始时点与点重合，让向右平移，直到点与点重合时为止，设与正方形的重叠部分（图中阴影部分）的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致为　　 A． B． C． D． 易错攻克 当时，重叠部分的面积仍然存在，不能仅看到某选项中的图象与时的图象一致,就马上下结论. 【例2】如图，五边形为一块土地的示意图．四边形为矩形，米，米，截交、分别于点、，且米． （1）现要在此土地上划出一块矩形土地作为安置区，且点在线段上，若设的长为米，矩形的面积为平方米，求与的函数关系式，并求当为何值时，安置区的面积最大，最大面积为多少？ （2）因三峡库区移民的需要，现要在此最大面积的安置区内安置30户移民农户，每户建房占地100平方米，政府给予每户4万元补助，安置区内除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作为基础建设费，在五边形这块土地上，除安置区外的部分每平方米政府投入200元作为设施施工费．为减轻政府的财政压力，决定鼓励一批非安置户到此安置区内建房，每户建房占地120平方米，但每户非安置户应向政府交纳土地使用费3万元．为保护环境，建房总面积不得超过安置区面积的．若除非安置户交纳的土地使用费外，政府另外投入资金150万元，请问能否将这30户移民农户全部安置？并说明理由． 易错攻克 考虑实际意义是解答含有隐含条件的问题的关键. 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）把一个小球以的速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：．当时，小球的运动时间为（   ） A．1s B．s C．2 s D．s 3．（2024·安徽·一模）如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（    ）    A．  B．  C．  D．   4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球距点水平距离超过4米呈下降趋势 B．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．当小球拋出高度达到8m时，小球距点水平距离为4m 5．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是:，这个函数图象如图所示，则小球从第到第下降的高度为 m. 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，某养殖户用长的篱笆围成一个长方形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形，则围成养殖园的最大面积是 ． 7．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在菱形中，对角线，的和是，则这个菱形的面积的最大值是 cm2． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$