1.1.2空间向量的数量积运算（2课时）（教学设计）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2《 空间向量的数量积运算 》教学设计 一.教学目标 1.认识与理解空间两向量的夹角、数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象） 2.理解与掌握空间向量数量积的性质及其运算律，能利用空间向量的数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理） 二.教学过程 (一)复习导入——空间向量的加减运算（导学） 1.空间向量加法的三角形法则 如图，已知非零向量 , ，在空间中任取一点，作 ,，则向量叫做 与 的和，记作 ， 即 （语言表达）：两个向量的求和，等于先把第一个向量的尾端和第二个向量的首端连接，那么连接第一个向量的首端与第二个向量的尾端得到的向量即为这两个向量的和. 注:空间向量加法的三角形法则简称为“首尾相连接”. 2.空间向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点为起点的两个已知向量 , ，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量 (是平行四边形的对角线)就是向量 与 的和. 即 温馨提示 : 应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”.向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义. 3.空间向量减法的三角形法则 （1）作法 如图，已知非零向量 与 , 在空间内任取一点，作 ， ， ∵据向量加法的三角形法则有 ∴ （2）几何意义 对于具有公共起点的非零向量 与 可以表示为从向量的终点指向向量 的终点的向量. 注：向量减法的运算法则可以简称为具有公共起点的两向量“尾尾倒相连”. 4.问题 各位同学，上一节课我们类比平面向量的加减运算，定义了空间向量的加减运算，那么空间中两个向量的数量积是否也能类似于平面向量的数量积来定义呢？ 相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题. 【设计意图】通过复习空间向量的加减运算，类比平面向量的线性运算，自然引申出本节课的教学重点——空间向量的数量积运算. （二）探究新知1——空间向量的数量积（互学） 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 1.空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量 , ，在空间中任取一点，作向量 ， ， 则 叫做向量 与 的夹角, 记作 注：特别地， （1）当时， 与 同向； （2）当时， 与 反向； （3）当时，我们说 与 垂直，记作 . 温馨提示　①两向量的夹角的范围是 ，这样两个向量的夹角是唯一确定的，且； ②两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 2.空间向量的数量积 如图，已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为，我们把数量叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ， 即 规定：零向量与任一向量的数量积为，即; 温馨提示　 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写. (2)向量的数量积是一个实数(数量)，不是向量，它的值可正、可负、可为0. 3.空间向量数量积的性质 设两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，由向量数量积定义 可得如下的性质 （1） ; 注：当 时， 则 （2） ,则有; 注：∵ 则 4.空间向量数量积的运算律 由空间向量数量积的定义可得如下的运算律 对于空间向量, , 和实数 ，有 （1） 交换律： ; （2） 结合律： ; （3） 分配律： ； （4）完全平方公式：; （5）平方差公式：. 注：等式不成立，因为表示与共线的向量，表示与共线的向量，而与 不一定共线，所以不一定成立. 【设计意图】通过类比平面向量的数量积运算，学习与认识空间向量的数量积运算，让学生更加深刻、形象地掌握空间向量数量积的定义、性质与运算律，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. (三)小组合作、讨论交流1(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1 如图，在平行六面体中， 求:(1); (2)的长(精确到 0.1) 【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了空间向量数量积的定义、性质与运算律. （4） 成果展示1(迁移变通、检测实践) 例1解: 解：（1）∵ ∴ （2）∵ ∴ 注：据加法的平行四边形法则可知——“平行六面体（包括正方体与长方体）相邻三条棱表示的向量之和总等于它们所夹对角线表示的向量.” 【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握空间向量数量积的定义、性质与运算律，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生直观想象、数学抽象的核心素养. （五）探究新知2——空间向量的投影向量（互学） 1.思考 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影，类似地，在空间中，向量 向向量的投影有什么意义? 向量向直线的投影呢?向量向平面的投影呢? 2.向量 向向量的投影 如图 ，在空间，向量 向向量的投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 α 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量 ,且 （注： ，为向量的单位向量） 向量称为向量 在向量上的投影向量. 3.向量向直线的投影 类似地，如图 ，在空间，向量向直线的投影，由于向量是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 α 内，进而利用平面上向量的投影，得到与直线共线的向量 ,且 （注： ，为直线的共线向量，且） 向量 称为向量向直线的投影. 4.向量向平面的投影 如图，向量向平面的投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量. 这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. 【设计意图】通过图形的辅助讲解空间向量的投影向量，使抽象的数学知识变得形象生动、易于理解，同时也培养学生数形结合的数学思想. (六)小组合作、讨论交流2(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例2 如图，已知正方体的棱长为 1，则 在上的投影向量的模为 . 【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了空间向量的投影向量. （七）成果展示2(迁移变通、检测实践) 例2解： 解：∵正方体的棱长为 1 ∴ ,且 如图，过点作,垂足为 则向量即为在上的投影向量， ∴ 【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握空间向量的投影向量，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生直观想象、数学抽象的核心素养. （八）提升演练(检测实践) 例3 如图，是平面内的两条相交直线，如果 求证: 证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线上取非零向量，，，. ∵直线 与相交， ∴向量，不平行. 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使 将上式两边分别与向量作数量积运算，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即垂直于平面内的任意一条直线 ∴ 温馨提示： 由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来. 因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决. 【设计意图】通过提升演练，进一步让学生牢固掌握空间向量的数量积运算，检测学生掌握知识的能力同时，也充分地体现了“以学为重、以用为本”的教育教学理念，. 三、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 1.认识与理解了空间两向量的夹角、数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象） 2.理解与掌握了空间向量数量积的性质及其运算律，能利用空间向量的数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理） 四、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$