2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷（一）

2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷（一） 第Ⅰ卷 一、单选题 (本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．某校高一年级重点班有250人，普通班有1050人，按比例分配分层随机抽样，从高一年级抽取130人调查学生的数学平均成绩，则从重点班中抽取的人数为（    ） A．27人 B．26人 C．25人 D．24人 3．已知，，则x，y满足的概率为（   ） A． B． C． D． 4．在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（    ） A． B． C． D．或 5．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 6．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） ①平面平面； ②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为； ④点的轨迹的长度为. A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 8．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 (本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．z的虚部为 B．复数z在复平面内对应的点位于第二象限 C．z的共轭复数 D． 10．某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 C．估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 11．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．当为中点时， C．三棱锥的体积为定值 D．直线到平面的距离为 第Ⅱ卷 三、填空题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，高为3，则其体积为 ． 13．已知事件A与事件B相互独立，如果，，则 . 14．在中， 角 A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且．当取最小值时， 则 ． 四、解答题 (本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若△ABC的周长为，且，求的面积． 16．在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 18．如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点.将，分别沿折起，使三点重合于点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正弦值. 19．将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率. (1)求 (2)当时，求的表达式. (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷（一） 第Ⅰ卷 一、单选题 (本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以，故的虚部为. 故选：A. 2．某校高一年级重点班有250人，普通班有1050人，按比例分配分层随机抽样，从高一年级抽取130人调查学生的数学平均成绩，则从重点班中抽取的人数为（    ） A．27人 B．26人 C．25人 D．24人 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合分层抽样定义，即可求解． 【详解】由题意可知，从重点班中抽取的人数为：人． 故选：C． 3．已知，，则x，y满足的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】所有的样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)， (3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12个． 满足的样本点有(2，3)，(3，2)，(4，1)，共3个， 所以所求事件的概率． 故选：B 4．在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，即， 由余弦定理， 又，所以. 故选：C 5．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中心，再求出三棱锥的高,利用勾股定理即可求解外接球半径. 【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为，所以底面正三角形的内切圆的半径为 ， 又因为球的半径为1， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点， 如图，过球心作的垂线交于，则， 又因为，所以， 又与相似，所以， 所以， 因为外接圆的半径为，正三棱锥外接球的球心在上，设半径为， 所以，即，解得. 故选：. 6．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 【详解】由题意可知，，所以， 又，即. 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 7．如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） ①平面平面； ②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为； ④点的轨迹的长度为. A． ①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①由题设结合线面垂直的判定证平面，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；③根据①②的分析，当平面时最大，求其最大值；④确定F的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度. 【详解】对于①：由，，为边的中点知且， 易知，，而，平面， 故平面，又平面，所以平面平面，故①正确； 对于②：若是的中点，又为的中点，则且， 而且，所以且，即为平行四边形， 故，所以与的夹角为或其补角， 若为中点，即，由①分析易知， 故与的夹角为，故②正确； 对于③：由上分析知：翻折过程中当平面时，最大， 此时，故③错误； 对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同， 由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点， 故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆， 所以的轨迹长度为，故④正确. 故选：C. 8．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出左至中间畅通的概率，再求出中间至右畅通的概率，再利用独立事件的概率求法求出电路通畅的概率. 【详解】当开关合上时，电路畅通即表示左至中间畅通且中间至右畅通, 左至中间畅通的概率， 中间至右畅通的概率， 所以电路畅通的概率. 故选：D. 二、多选题 (本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．z的虚部为 B．复数z在复平面内对应的点位于第二象限 C．z的共轭复数 D． 【答案】BD 【分析】先求出复数z的代数形式，然后再利用复数的概念和几何意义逐一判断即可. 【详解】， 则z的虚部为2，A错误； 复数z在复平面内对应的点为，在第二象限，B正确； z的共轭复数，C错误； ，D正确. 故选：BD． 10．某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 C．估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150、 【答案】ABD 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由频率分布直方图知，每组的频率依次为. 前三组的频率和为，因此这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80，B正确； 对于C，成绩在的频率最大，因此这200名学生竞赛成绩的众数为75，C错误； 对于D，总体中成绩落在内的学生人数为，D正确. 故选：ABD 11．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．当为中点时， C．三棱锥的体积为定值 D．直线到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】根据平行四边形，即可求解A，根据等腰三角形以及中点即可求证，即可求解B，根据体积公式即可求解C，根据面面平行，即可结合等体积公式即可求解D. 【详解】连接，正方体中，且，四边形为平行四边形，则， 因为分别是的中点，所以，故正确; 连接，正方体中，． 当为中点时，由于,所以，由于，所以，故正确; ，在三棱锥中，底面积为定值， 棱锥的高等于是定值，三棱锥的体积为定值，则三棱锥体积为定值，故正确; 连接由于平面，平面,所以平面， 同理可证平面，平面，故平面平面， 平面,所以直线平面平行， 故直线到平面的距离，即为点到平面的距离，设距离为， , 故D错误． 故选：ABC． 第Ⅱ卷 三、填空题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，高为3，则其体积为 ． 【答案】28 【分析】利用棱台的体积公式求解. 【详解】利用棱台体积公式：， 则， 故答案为：28. 13． 已知事件A与事件B相互独立，如果，，则 . 【答案】0.56/ 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案. 【详解】由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 又，， 则. 故答案为：． 14． 在中， 角 A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且．当取最小值时， 则 ． 【答案】/ 【分析】根据，结合余弦定理整理得到，然后，利用基本不等式得到，然后利用余弦定理求解. 【详解】因为，由余弦定理得： ，整理得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 此时， 又因为，所以． 故答案为： 四、解答题 (本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若△ABC的周长为，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合正弦的和差角公式代入计算，即可得结果； （2）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 又， ， 化简得：， 由得，又，故. （2）由题可知：，且，故， 由余弦定理得：， 即，解得：， . 16．在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据中点关系可证明四边形MECB是平行四边形，即可根据线线平行求证, （2）根据勾股定理可证明，根据线面垂直的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 由于，为中点，则且． ∵且， ∴且， ∴四边形MECB是平行四边形， ∴.又平面PAB，平面， ∴平面． （2）∵平面，平面， ∴， 又, 故， ∴． ∵，平面, ∴平面，又平面， ∴平面平面． 17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1)0.030 (2)84 (3)平均数为62；方差为23 【分析】（1）根据各组的频率和为1列方程可求出的值； （2）先判断第75百分位数，然后列方程可求得结果； （3）先根据频率分布直方图计算出成绩在和的人数，然后根据平均数的定义和方差公式可求得结果. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，解得. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数， 由，解得， 所以第75百分位数为84； （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以； 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 18．如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点.将，分别沿折起，使三点重合于点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合线面垂直的判定定理，即可得证； （2）根据题意，结合，利用棱锥的体积公式，即可求解； （3）取线段的中点，得到，得出即为二面角的平面角，在直角中，即可求解. 【详解】（1）证明：折叠前，因为在正方形中，， 则折叠后，可得， 又因为，且平面，所以平面. （2）解：由（1）得平面，所以， 由题意知且，故， 故. （3）解：取线段的中点，连接，因为， 所以有，且平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 又由（1）得平面，平面，可得， 因为，， 故，即二面角的正弦值为. 19．将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率. (1)求 (2)当时，求的表达式. (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率. （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案. 【详解】（1）当时，， 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为， 则恰好取到的概率为； （2）当时，这个数有位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成个四位数组成，； 综上所述：， （3）当时，， 当时，； 当时，， 即， 同理有， 由，可知， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由关于单调递增， 故当时，有的最大值为， 又， 所以当时，的最大值为． 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$