第02讲 矩形的性质与判定（4大考点9题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第02讲 矩形的性质与判定 课程标准 学习目标 ①探索并证明矩形的性质定理； ②探索并证明矩形的判定定理； ③理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系． 1. 矩形的定义； 2. 矩形的性质； 3. 矩形的判定； 4. 斜边的中线等于斜边的一半． 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 知识点二： 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 结论： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 结论：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 题型01 用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数． 2．如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则 ．    3．如图，矩形的对角线交于点O，点E在线段上，若，，则的度数为 ． 4．如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接．若，则 度．    题型02 用矩形的性质求线段长 5．如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，矩形的对角线，交于点O，，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，为中点，连接，过作于，则的长度为 ． 8．如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是 ． 题型03 用矩形的性质求面积 9．已知矩形的一边是其对角线的一半，对角线长为6cm，则此矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，矩形和矩形，点A在上，设矩形的面积为，矩形的面积为，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 11．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（   ） ①；②；③；④ A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 12．如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是32，那么图中阴影部分的面积为 ． 题型04 用矩形的性质证明 13．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．求证：． 14．如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 15．如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． (1)试判断四边形的形状，并说明你的理由； (2)求证：． 16．如图，在矩形中，，，、是对角线上两个动点，分别从A、同时出发相向而行，速度均为秒，运动时间为秒，． (1)若、分别是、的中点，当时，求证：四边形是平行四边形； (2)若、分别是、的中点，当_________时；四边形是矩形； (3)若、分别是折线，上的动点，以与、相同的速度分别从A、和、同时出发，当_________时；四边形是菱形； 题型05 平面直角坐标系中的矩形 17．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 18．如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 20．如图，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合．    (1)请直接写出点C的坐标． (2)求线段CF的长度． 题型06 矩形的折叠 21．将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点C落在点．已知，，则折痕的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．1 22．如图，在矩形中，对角线，交于点，是上一点，沿折叠，点恰好落在点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（    ）    A． B． C． D． 24．如图，已知是矩形的对角线，，，点E，F分别在边，上，连接，．将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线上的点G，H处，连接．则 ． 题型07 直角三角形斜边上的中线 25．如图，在中，是边的中点，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 26．如图，一根长米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，点为的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿向右移动时，的长（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，后减小 27．如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 ． 28．如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 题型08 矩形的判定与证明 29．如图，在中，，是两条对角线，如果添如一个条件，可推出是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 30．在平行四边形中，添加下列条件，不能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 31．如图，已知，延长到，使得，若，连接、，交于点． 求证：四边形是矩形； 32．如图，将的边延长到点，使，连接，交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 题型09 矩形的性质与判定的综合应用 33．如图，是内部一点，，且，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．48 34．在中，，，点在内，且，， 分别是的中点，则四边形的面积为 ． 35．如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：． 36．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 37．如图，矩形中，，，E为边的中点，F为线段上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 38．在矩形中，E，F，G，H分别是边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形．①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是矩形；③有且仅有一个四边形是菱形．结论中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 39．如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（   ） A． B． C． D． 40．如图，矩形中，，，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，连接交于点E；②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于点Q，作射线交于点H，则线段的长为（    ） A． B． C． D．4 41．在矩形中，对角线相交于点，平分交于点，，连接，则下面的结论中正确的有（　　） 是等边三角形；是等腰三角形；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 42．如图，在矩形中，，点E在上，．若平分，则的长为 ． 43．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为 ． 44．如图，矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交的延长线于点E，若点F是弧的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 45．如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    46．如图，在矩形中，点E在边上，且，过点D作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 47．如图，，平分交于点E (1)用无刻度的直尺作图：在上找点F使平分（保留作图痕迹，不写作法），并证明平分 (2)在（1）的条件下，给添加一个条件，使四边形是矩形，你添加的条件是_____________ 48．如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②．    (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 49．在中，，为上的两点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． 50．阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：_______________________；      利用此数量关系解决以下问题： （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为_____________________； （3）如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 51．【定义新知】 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图1，在四边形中，对角线与垂直且相等，点E，F，G，H分别为边的中点，则四边形为“中方四边形”． 【概念理解】 （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 【问题解决】 （2）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．连接，试探索与的数量关系，并说明理由． 52．在矩形中，，，E，F是对角线上的两个动点，点E，F分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，G，H分别是，的中点，连接，，，． (1)四边形的形状一定是______（点E，F相遇时除外）． (2)当四边形为矩形时，请求出t的值． (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，请直接写出t的值． 试卷第18页，共19页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 矩形的性质与判定 课程标准 学习目标 ①探索并证明矩形的性质定理； ②探索并证明矩形的判定定理； ③理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系． 1. 矩形的定义； 2. 矩形的性质； 3. 矩形的判定； 4. 斜边的中线等于斜边的一半． 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 知识点二： 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 结论： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 结论：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 题型01 用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形和等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据矩形和等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：在矩形中，, ∴, ∵， ∴， ∴， 2．如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则 ．    【答案】/30度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角与内角关系，解题关键是添加辅助线构造等腰三角形，掌握矩形对角线互相平分且相等，对边平行等性质．如图，连接，根据矩形对角线互相平分且相等，对边分别平行，得，，，根据“等边对等角”及平行线的性质得，已知，根据等量代换得，然后根据“等边对等角”，即可得，再根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”，得，求解即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点，   四边形是矩形， ，，， ，则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，矩形的对角线交于点O，点E在线段上，若，，则的度数为 ． 【答案】/103度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，利用这三个性质是解题的关键；由矩形的性质得的度数，由等腰三角形的性质可求得的度数，由三角形外角的性质即可求得结果． 【详解】解：在矩形中，， ； ， ， ； ， ， ； 故答案为：． 4．如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接．若，则 度．    【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质．利用矩形的性质可得：，，再根据等边对等角即可求出的度数，最后通过平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 用矩形的性质求线段长 5．如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，正确掌握性质推理证明是解题的关键．根据矩形的性质推出，结合已知，证明为等边三角形，得出，根据得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，矩形的对角线，交于点O，，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形性质是解答此题的关键． 根据勾股定理求出，进而得到， 依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，即可得到的值． 【详解】解：∵，， ∴矩形的面积为， ∴， ， ∵对角线交于点， ∴的面积为， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，在矩形中，，，为中点，连接，过作于，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，三角形的面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质得，结合为中点，所以，然后由勾股定理列式，因为，再根据三角形的面积公式得出，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴在中，， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 8．如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质，勾股定理的运用．连接，根据矩形的性质，得，点是对角线的中点，则，再根据，，即可求出的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型03 用矩形的性质求面积 9．已知矩形的一边是其对角线的一半，对角线长为6cm，则此矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；由勾股定理求得矩形另一边的长，由矩形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，在矩形中，，，且， 则， 由勾股定理得， 则矩形面积为：； 故选：D． 10．如图，矩形和矩形，点A在上，设矩形的面积为，矩形的面积为，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积等于2个的面积，而的面积又等于矩形的一半，所以可得两个矩形的面积关系． 【详解】解：∵ ∴，， ， 故选：A． 11．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（   ） ①；②；③；④ A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据矩形的性质及材料，即可判断， 此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知矩形的性质定理． 【详解】解：根据题意可知，故③正确， 根据矩形的性质得，，故①，②正确， ，， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故④错误， 综上所述，①②③一定成立， 故选：C． 12．如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是32，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．首先根据矩形的性质可得，，进而可得，证明，由全等三角形的性质可得，然后结合矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 题型04 用矩形的性质证明 13．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质，先根据矩形的性质得到， ，根据平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形得到，进而可得结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 14．如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的对应边相等及对角线相等，找出等量关系求解即可． 主要考查了矩形的性质．要掌握矩形的性质：对角线相等，对应边平行且相等． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， 又∵， 四边形是平行四边形， ， ． 15．如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． (1)试判断四边形的形状，并说明你的理由； (2)求证：． 【答案】(1)矩形，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定； （1）先证明四边形为平行四边形，再由由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到． 【详解】（1）解：四边形是矩形，证明如下： ∵， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2）证明：四边形是矩形 ， 在菱形中，． ． 16．如图，在矩形中，，，、是对角线上两个动点，分别从A、同时出发相向而行，速度均为秒，运动时间为秒，． (1)若、分别是、的中点，当时，求证：四边形是平行四边形； (2)若、分别是、的中点，当_________时；四边形是矩形； (3)若、分别是折线，上的动点，以与、相同的速度分别从A、和、同时出发，当_________时；四边形是菱形； 【答案】(1)见解析； (2)或； (3)． 【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，解题的关键是掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理，灵活运用分情况讨论思想． （1）根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，利用内错角相等得，根据平行四边形的判定可得结论； （2）如图1，连接，分、两种情况，列方程计算即可； （3）连接、，判定四边形是菱形，得到，根据勾股定理求出，得到的长，根据题意解答． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ， 、分别是、的中点， ，， ， 、是对角线上的两个动点，分别从A、同时出发，相向而行，速度均为， ， ， ， ，， ， 以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形； （2）如图1，连接，由（1）可知四边形是平行四边形， 、分别是、的中点， ， 当时，四边形是矩形，分两种情况： ①∵，则， 解得：， ② ∵，则， 解得：， 即当为秒或秒时，四边形是矩形； （3）如图2，连接、， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是菱形， ， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ， 即为秒时，四边形是菱形． 题型05 平面直角坐标系中的矩形 17．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 18．如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，根据矩形的性质得到点C的坐标，求出∠COE=45°，OC=4，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，由旋转得∠COC1=75°，求出∠C1OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案． 【详解】解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，ADBC，∠CDA=∠DAB=90°， ∴∠HCD=∠ADO=∠BAG， ∵∠CHD=∠BGA=90°， ∴△CHD≌△AGB（AAS）， ∵，，， ∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2， ∴OH=2+2=4， ∴C（4，4）， ∴OE=CE=4， ∴∠COE=45°，OC=4， 如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F， 由旋转得∠COC1=75°， ∴∠C1OF=30°， ∴C1F=OC1=OC=2， ∴OF=， ∴点C1的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 20．如图，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合．    (1)请直接写出点C的坐标． (2)求线段CF的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，即可求解； （2）设把沿着折叠，设点刚好与线段上一点重合，由折叠的性质的可得，，，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，，， 点的坐标； （2），， ， 把沿着折叠，设点刚好与线段上一点重合，    ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理得出方程是解题的关键． 题型06 矩形的折叠 21．将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点C落在点．已知，，则折痕的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠以及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 折叠， 故选C． 22．如图，在矩形中，对角线，交于点，是上一点，沿折叠，点恰好落在点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形与折叠，根据矩形的性质，折叠的性质，推出为等边三角形，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ， ∵沿折叠，点恰好落在点处， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选C． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以得到、的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标． 【详解】解：由题意，， 设，则， 由折叠可得，， ∵， ∴， 解得，， 设， ∴， ∴， ∵， ， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：A． 24．如图，已知是矩形的对角线，，，点E，F分别在边，上，连接，．将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线上的点G，H处，连接．则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质， 根据矩形的性质以及勾股定理求解，根据折叠的性质即可求得，进而可得答案． 【详解】解：是矩形的对角线，，， 将沿翻折，将沿翻折， ， ， 故答案为： 题型07 直角三角形斜边上的中线 25．如图，在中，是边的中点，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是边的中点，， ∴， 故选：B． 26．如图，一根长米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，点为的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿向右移动时，的长（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，后减小 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选． 27．如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，计算即可． 【详解】解：在中，为的中点，， ， 为的中位线，， ， ， 故答案为：1． 28．如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长． 【详解】解：∵D、E分别为的中点， ∴， ∴， ∵在中，，F为的中点， ∴， 故答案为：3． 题型08 矩形的判定与证明 29．如图，在中，，是两条对角线，如果添如一个条件，可推出是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形”解答即可． 【详解】解；四边形是平行四边形， 添加， 是矩形， 故选：B． 30．在平行四边形中，添加下列条件，不能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，根据以上两个矩形的判定方法可以判断选项A、B、C，D，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：A．∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故选项不符合题意； B．∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故选项不符合题意； C．∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故选项不符合题意； D．∵四边形是平行四边形， ∴， 故选项不符合题意． 故选：D． 31．如图，已知，延长到，使得，若，连接、，交于点． 求证：四边形是矩形； 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 先求出四边形是平行四边形，根据等腰三角形性质求出，根据矩形的判定得出即可； 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， 在中，，， ， ， 四边形是矩形； 32．如图，将的边延长到点，使，连接，交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，，求出，，根据平行四边形的判定得出即可； （2）根据平行四边形的性质得出，求出，根据矩形的判定得出即可． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 由（1）知：四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 题型09 矩形的性质与判定的综合应用 33．如图，是内部一点，，且，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．48 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ∴四边形的面积是， 故选：A． 34．在中，，，点在内，且，， 分别是的中点，则四边形的面积为 ． 【答案】70 【分析】连接并延长交于点P，得到是线段的垂直平分线，根据勾股定理得到是的中位线，四边形为平行四边形，即可得到四边形为矩形，即可得到结果． 【详解】解：连接并延长交于点P， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∴四边形的面积， 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了四边形综合．掌握矩形的判定定理和性质定理、勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 35．如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）根据四边形是矩形，，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 36．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，，然后由面积法求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ，即， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， ，， ，，， ， 为直角三角形，， ， ，即，解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 37．如图，矩形中，，，E为边的中点，F为线段上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，延长交的延长线于点G，连接．求出,得到，证明，得到，则，求出，证明设，由勾股定理解得，即可得到答案. 【详解】延长交的延长线于点G，连接． ∵矩形中，， ∴， ∵E为边的中点， ∴, ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 设，由得方程 解得   即 故选：B 38．在矩形中，E，F，G，H分别是边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形．①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是矩形；③有且仅有一个四边形是菱形．结论中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．根据直线和的位置关系和特殊四边形的判定即可． 【详解】解：连接，交于O，如图， 过点O直线和，分别交，，，于E，F，G，H， ∵四边形是矩形， ∴, ∴, 则， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵直线和存在无数条 ∴存在无数个四边形是平行四边形；故①正确； 当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故②正确； 存在无数条直线和，使得，故存在无数个四边形是菱形；故③错误； 则只有①和②正确， 故选：A． 39．如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．先证四边形是平行四边形，得出，推出，由勾股定理求出，设，则，再由折叠的性质得，，，，，，得出，，，求出，然后由勾股定理求出，最后由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， ， 由折叠性质得：，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 即， 在中，， 设，则， 由折叠的性质得：，，，，，， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， 故选：B． 40．如图，矩形中，，，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，连接交于点E；②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于点Q，作射线交于点H，则线段的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；由勾股定理得 ，由等腰三角形的性质得，由勾股定理得 ，即可求解；掌握性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 由①作法得：， ， ， ， ， ， ， ； 故选：A． 41．在矩形中，对角线相交于点，平分交于点，，连接，则下面的结论中正确的有（　　） 是等边三角形；是等腰三角形；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】判断出是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再判断出，是等边三角形，可判断；根据等边三角形的性质求出，再求出，可判断，由直角三角形的性质可得，可判断，由等腰三角形性质求出，再根据，可判断；由面积公式可得可，但不一定是中点，则判断；即可求解． 【详解】∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中：， ∴是等边三角形，是等边三角形，故正确； ∴， 又∵ ， ∴， ∴是等腰三角形，故正确； 在中， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵不一定是中点， ∴， ∴，即有，故错误； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 42．如图，在矩形中，，点E在上，．若平分，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：5． 43．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质，由勾股定理求得，再根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：连接、， ∵点B的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 44．如图，矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交的延长线于点E，若点F是弧的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】结合矩形的性质、圆的有关性质求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出再根据，，列式计算即可得解， 本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图， 连接， 在矩形中， ∵点是弧的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 则图中阴影部分的面积为 故答案为：． 45．如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的求解等知识，连接，过点B作，根据已知可证明四边形为矩形，得到，当时最短，最短，此时最短，利用三角形等面积法求出即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点B作，   ，， ， 为矩形，， ，， 四边形为矩形， ， 当时最短，最短，此时最短， 时最短， ， ， 故答案为：． 46．如图，在矩形中，点E在边上，且，过点D作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理，得：． 47．如图，，平分交于点E (1)用无刻度的直尺作图：在上找点F使平分（保留作图痕迹，不写作法），并证明平分 (2)在（1）的条件下，给添加一个条件，使四边形是矩形，你添加的条件是_____________ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键. （1）连接交于点O，连接并延长交于点F，连接，根据平行四边形的性质得到，，再证明，则，又由即可证明四边形是平行四边形，则，得到，则，即可得到，结论得证； （2）添加，则是等腰三角形，根据平分交于点E得到，即可证明四边形是矩形. 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 证明：设、相交于点O， ∵中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交于点E ∴， ∵， ∴， 即平分 （2）添加条件为， ∵， ∴是等腰三角形， ∵平分交于点E ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形. 48．如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②．    (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可； （2）利用勾股定理得到长，然后利用矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）选择①， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∴矩形的面积为． 49．在中，，为上的两点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）首先根据平行四边形的性质得到，然后结合已知条件利用判定两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得到，从而判定矩形； （3）根据矩形的性质和角平分线的定义以及矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在平行四边形中，， ， ， 四边形是矩形； （3）解：四边形是矩形， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积． 50．阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：_______________________；      利用此数量关系解决以下问题： （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为_____________________； （3）如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）3 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形与折叠问题： （1）根据勾股定理解答即可； （2）设绳索的长为x尺，则的长为尺，根据勾股定理得，据此列出方程即可； （3）设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）在中，，，，， 由勾股定理得，， 故答案为：； （2）设绳索的长为x尺，则的长为尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （3）设，则， 由折叠的性质可知，， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，， 则的长为3． 51．【定义新知】 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图1，在四边形中，对角线与垂直且相等，点E，F，G，H分别为边的中点，则四边形为“中方四边形”． 【概念理解】 （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 【问题解决】 （2）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．连接，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“中点四边形”的定义分别判断出各选项的“中点四边形”即可求解；（2）设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接，连接交于P，连接交于K，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，最后证四边形是正方形即可；（3）记的中点分别为E、F，连接，根据题意可得，，据此即可求解； 【详解】（1）解：平行四边形的“中点四边形”为平行四边形； 矩形的“中点四边形”为菱形； 菱形的“中点四边形”为矩形； 正方形的“中点四边形”为正方形； 故选：D． （2）证明：如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴四边形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （3）解：（其他形式正确均可）．理由如下： 如图，记的中点分别为E、F，连接， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形及特殊的平行四边形的判定与性质、中位线定理等知识点，熟记相关判定定理及性质定理的内容是解题关键． 52．在矩形中，，，E，F是对角线上的两个动点，点E，F分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，G，H分别是，的中点，连接，，，． (1)四边形的形状一定是______（点E，F相遇时除外）． (2)当四边形为矩形时，请求出t的值． (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，请直接写出t的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)或 (3) 【分析】（1）证明，可得，，可得，证明，从而可得结论； （2）连接，证明四边形是矩形，可得，求解，①如图，当点E，F相遇前，②如图，当点E，F相遇后，再进一步解答即可； （3）如图，设M，N分别为和的中点，连接，，，令与相交于点O．证明四边形为菱形，可得，设，则，再利用勾股定理进一步求解即可． 【详解】（1）解：四边形的形状一定是平行四边形；理由： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ①如图1，当点E，F相遇前， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， 解得； ②如图2，当点E，F相遇后， ∵四边形是矩形， 又∵，， ∴， 解得．         综上所述，四边形为矩形时，或． （3）解：如图，设M，N分别为和的中点，连接，，，令与相交于点O． ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则 由勾股定理，可得， 即， 解得． ∵=，即， 当四边形为菱形时，t的值为． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键． 试卷第56页，共56页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$