第01讲 菱形的性质与判定（3大考点6题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第01讲 菱形的性质与判定 课程标准 学习目标 1. 理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关系； 1. 探索并证明菱形的性质定理:菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 1. 探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 1. 菱形的定义 1. 菱形的性质 1. 会求菱形的面积 1. 菱形的判定． 知识点一： 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二： 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 常用结论： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三：菱形的判定 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 题型01 用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，连接、，若，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 2．如图，在中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，菱形中，交于，于，连接，若，则的度数为 °． 4．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 题型02 用菱形的性质求线段长 1．如图，在菱形中，点，分别是，的中点．若，则菱形的周长是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 2．如图，菱形的对角线于点，则的长是（　　） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线，相交于点O．若，则（   ） A． B．3 C． D． 4．在菱形中，对角线相交于O，若，，那么 ． 题型03 用菱形的性质求面积 1．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 2．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 3．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A，B的坐标分别为和，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积为 ． 4．菱形的周长为，一条对角线长为4，则菱形的面积是 ． 题型04 用菱形的性质证明 1．如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接、．求证：． 2．如图，是菱形的对角线，为边上的点，过点作，交于点，交边于点．求证：． 3．如图，在菱形中，P为对角线上一点，点E在边上，连接，，，且．求证：． 题型05 菱形的判定与证明 1．已知，如图：在四边形中，如果，“华益必胜”，那么四边形是菱形．在以上真命题中，“华益必胜”可以表示的条件是（　　）    A． B． C． D． 2．已知：在四边形中，，如图，求证，四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形， 又…………， 四边形是菱形 在以上证明过程中，“…………”可以表示的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，E、F是对角线AC上的两点，连接、，请你添加一个条件，使．（不再添加辅助线和字母） (1)你添加的条件是______； (2)添加条件后，请证明． 题型05 菱形的性质与判定的综合应用 1．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，作射线．以点为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点，与射线交于点，连接，．若，则四边形的面积为 ． 4．如图，在中，D，E分别是的中点．，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． （测试时间45分钟） 1．在中，、是对角线，补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A．， B． C．， D． 3．如图，在菱形中，作垂直平分，垂足为，交于点，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图是由5个边长为1，且一个内角为的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（  ）    A． B． C． D． 5．如图，的对角线相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（   ）    A． B． C．四边形为菱形 D． 6．如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的横坐标a的值为（    ）    A． B． C． D．3    7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 ．    8．如图，在菱形中，点E，F，G分别在，，上，，．若菱形的边长为6，则的长为 ． 9．如图，在边长为2的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为 ． 10．如图，四边形是边长为2的菱形，，将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，则 ，交于点E，则四边形的面积等于 ． 11．如图，点，分别在菱形的边，上，连接、．请从以下两个选项中①；②，选择一个合适的选项作为已知条件，使． (1)你添加的条件是________；（填序号，填一个即可） (2)根据你添加的条件进行证明． 12．如图，已知，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作的垂直平分线分别交于点M，N，O，连接和； (2)在（1）的条件下，若四边形的周长为16，求的长． 13．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 14．如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若交于点，且，，求菱形的边长． 15．如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，． (1)【基础巩固】 求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形； (2)【操作思考】 如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长； (3)【拓展探究】 如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数． 16．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，已知点M是线段上一点，且，则的长为_______． 17．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接．    (1)的长是_______，的长是_______． (2)在D、E的运动过程中，线段与的关系是否发生变化？若不变化，那么线段与是何关系，并给予证明．若变化，请说明理由． (3)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． (4)当t为何值，的面积是？ 试卷第2页，共13页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 菱形的性质与判定 课程标准 学习目标 1. 理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关系； 1. 探索并证明菱形的性质定理:菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 1. 探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 1. 菱形的定义 1. 菱形的性质 1. 会求菱形的面积 1. 菱形的判定． 知识点一： 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二： 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 常用结论： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三：菱形的判定 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 题型01 用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，连接、，若，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，以及求余角，设、相交于点O，由菱形的性质可得出，在利用余角的定义即可求出答案． 【详解】解：设、相交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C．    2．如图，在中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形中两个锐角互余，根据作图可得四边形是菱形，进而得出，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵中，， ∴． 故选：C． 3．如图，菱形中，交于，于，连接，若，则的度数为 °． 【答案】35 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：25． 4．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 题型02 用菱形的性质求线段长 1．如图，在菱形中，点，分别是，的中点．若，则菱形的周长是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为：， 故选：D． 2．如图，菱形的对角线于点，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理的运用，掌握菱形的性质，勾股定理的运算是解题的关键． 根据菱形的性质得出的长，在中求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，可得出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A 3．如图，菱形的对角线，相交于点O．若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴是等边三角形， ， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ， 故选：C． 4．在菱形中，对角线相交于O，若，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，其中菱形的性质是关键．根据题意画出图形，由菱形的性质，得，由勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，在菱形中，，， 由鑀得， 则； 故答案为：． 题型03 用菱形的性质求面积 1．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质“所对直角边等于斜边的一半”以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质“菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角”和勾股定理“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键． 由菱形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】如图，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为∶． 故选D． 2．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 根据菱形的性质可知，由，可得，从而即可求菱形的面积． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故选D 3．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A，B的坐标分别为和，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键． 根据菱形的对角线互相垂直且平分得到，再由菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点A，B的坐标分别为和， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．菱形的周长为，一条对角线长为4，则菱形的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，根据菱形的性质可知边长和另一条对角线的长，然后利用菱形的面积计算公式可解． 【详解】作菱形，，则， 一条对角线长为4， 令，则， 由勾股定理得， ， ， 故答案为：4． 题型04 用菱形的性质证明 1．如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接、．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，根据菱形的性质，证明，得出即可． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．如图，是菱形的对角线，为边上的点，过点作，交于点，交边于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质．首先判定四边形是平行四边形，得到，然后利用等角对等边得到，从而证得结论． 【详解】证明：四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 3．如图，在菱形中，P为对角线上一点，点E在边上，连接，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质， 利用菱形的性质可得，，再证明，问题随之得证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型05 菱形的判定与证明 1．已知，如图：在四边形中，如果，“华益必胜”，那么四边形是菱形．在以上真命题中，“华益必胜”可以表示的条件是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了真命题，菱形的判定等知识．熟练掌握真命题，菱形的判定是解题的关键． 由，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是菱形，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴“华益必胜”可以表示的条件是，故C符合要求； ∵，，，均无法证明四边形是菱形， ∴A、B、D均不符合要求； 故选：C． 2．已知：在四边形中，，如图，求证，四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形， 又…………， 四边形是菱形 在以上证明过程中，“…………”可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的定义判定即可，“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”， 熟练掌握菱形的定义是解题的关键． 【详解】根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是． 故选C． 3．如图，在菱形中，E、F是对角线AC上的两点，连接、，请你添加一个条件，使．（不再添加辅助线和字母） (1)你添加的条件是______； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记菱形的性质是解本题的关键； （1）根据菱形的性质可得，，再结合全等三角形的判定方法选择添加条件即可； （2）证明，，再结合添加的条件可得结论． 【详解】（1）解：添加的条件是：， 故答案为：； （2）∵菱形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． 题型05 菱形的性质与判定的综合应用 1．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，得到，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． 3．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，作射线．以点为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点，与射线交于点，连接，．若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接交于点，由作图易知是等边三角形，平分，先证明四边形是菱形，求出的长度，再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点． 由作图可知， 是等边三角形， ， 由作图可知平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ， 菱形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本尺规作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识解决问题． 4．如图，在中，D，E分别是的中点．，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形； （2），所以，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求． 【详解】（1）证明：∵D、E分别是的中点， ∴，且， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形． ∴， 过点E作于点G，如图： ∴． ∴， ∴． （测试时间45分钟） 1．在中，、是对角线，补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断． 【详解】解：添加一个条件为，理由如下： 四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形． 故选：B． 2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形为菱形．所以根据菱形的性质进行判断． 【详解】解四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形， ∴，， 四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）； 过点分别作，边上的高为，．则 （两纸条相同，纸条宽度相同）； 平行四边形中，，即， ，即．故B正确； 平行四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． ，（菱形的对角相等），故A正确； ，（平行四边形的对边相等），故C正确； 如果四边形是矩形时，该等式成立．故D不一定正确． 故选：D． 【点睛】 3．如图，在菱形中，作垂直平分，垂足为，交于点，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质和线段的垂直平分线的性质，根据菱形的性质求出；再根据垂直平分线的性质得出，利用三角形内角和定理可以求得，从而得到的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接，   ， ∵四边形是菱形， ， ， 垂直平分垂直平分， ， ， ， ，即， ， ，则， ， 故选：D． 4．如图是由5个边长为1，且一个内角为的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．根据中心对称的性质即可作出剪痕，由三角形全等的性质即可证得，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，连接最左侧菱形的对角线交于点O，作直线，交延长线于点A，交最左侧菱形对边分别于点，交最右侧上方菱形一边于点F，过点作，垂足为G，   菱形是中心对称图形， 经过P、O的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由中心对称图形可知， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 故选：B． 5．如图，的对角线相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（   ）    A． B． C．四边形为菱形 D． 【答案】D 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点E为边的中点， ， 又， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即，故选项A正确； 在中，，， ， 在和中， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形，故选项C正确； ， 在中，， ， ，故选项B正确； 在中，， 又点E为边的中点， ，故选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，三角形的中线性质，掌握菱形的判定是解题关键． 6．如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的横坐标a的值为（    ）    A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等，作点N关于的对称点，连接交于点P，连接，由菱形的性质可知，点N与点关于对称，根据两点之间线段最短可知，当M、P、三点共线时，的最小值为，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点N关于的对称点，连接交于点P，连接，    ∵四边形为菱形，，， ∴是等边三角形，，， ∵四边形为菱形， ∴点在上，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当M、P、三点共线时，的最小值为，此时点重合， 在中，， 即． 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 ．    【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F，则四边形是矩形，得到，勾股定理得到，则，得到，在中，由勾股定理得到，求出，则，即可得到点B的坐标． 【详解】解：过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F，    ∵点A的坐标是 ∴， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∵顶点B在第一象限的角平分线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（不合题意舍去） ∴， ∴， ∴点 B的坐标为， 故答案为： 8．如图，在菱形中，点E，F，G分别在，，上，，．若菱形的边长为6，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，由菱形的性质得出，由等边对等角得出，证明四边形为平行四边形，，得出，，从而推出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 9．如图，在边长为2的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点M作，交于点F，解直角三角形得出的长，再根据勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点M作，交于点F， ∵在边长为2的菱形中，， ，     ， ， ，点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 将菱形翻折，使点A的对应点落在上， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了含有角的直角三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，翻折的性质等知识，正确画出辅助线是解题的关键． 10．如图，四边形是边长为2的菱形，，将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，则 ，交于点E，则四边形的面积等于 ． 【答案】 30 / 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，根据菱形的对角线平分一组对角，即可得出的度数，利用的面积减去的面积求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是边长为2的菱形，， ∴， ∴， ∴，，，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积等于； 故答案为：；． 11．如图，点，分别在菱形的边，上，连接、．请从以下两个选项中①；②，选择一个合适的选项作为已知条件，使． (1)你添加的条件是________；（填序号，填一个即可） (2)根据你添加的条件进行证明． 【答案】(1)①或②(2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （）根据菱形的性质以及全等三角形的判定及性质选择即可； （）选择①，证明，可得．选择②，证明，可得． 【详解】（1）解：∵选①或②都可得， ∴可选①或②， 故答案为：①或②； （2）证明：选择①， 四边形是菱形， ，， 在和中，，，， ， ． 选择②， 四边形是菱形， ，， 在和中，，，， ， ． 12．如图，已知，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作的垂直平分线分别交于点M，N，O，连接和； (2)在（1）的条件下，若四边形的周长为16，求的长． 【答案】(1)详见解析2)4 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，线段垂直平分线的作图和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）按照垂直平分线的作图方法作图即可； （2）证明，则．又由即可证明四边形是平行四边形．由垂直平分线段得到，即可证明四边形是菱形，根据菱形的周长即可求出的长． 【详解】（1）如图所示： （2）∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵垂直平分线段， ∴． ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长． ∴． 13．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理等等： （1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得，可证得结论； （2）利用菱形的性质得到，，再由含30度角的直角三角形的性质得到，则，即可得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，且， ∴四边形为平行四边形； ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若交于点，且，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析(2)5 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质及角平分线的定义证出，得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理可得出结论； （2）由直角三角形的性质，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 同理，平分， ， 又， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：菱形中，，，， ，，， ． 15．如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，． (1)【基础巩固】 求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形； (2)【操作思考】 如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长； (3)【拓展探究】 如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）设，根据勾股定理，建立方程求解即可； （3）延长交于点，证明，得，所以是等腰直角三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 如图2，连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 整理得， 解得：或（舍去）， ． 当时，四边形能成为菱形； （3）解：如图3，连结，延长交于点， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形为菱形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 16．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，已知点M是线段上一点，且，则的长为_______． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)或 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理； （1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出，再结合图形即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ， 为的平分线， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图， 在（2）的条件下，， ∵， ∴， ∴或 故答案为：或． 17．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接．    (1)的长是_______，的长是_______． (2)在D、E的运动过程中，线段与的关系是否发生变化？若不变化，那么线段与是何关系，并给予证明．若变化，请说明理由． (3)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． (4)当t为何值，的面积是？ 【答案】(1)10，5 (2)不变化，与平行且相等； (3)能，当秒时，四边形为菱形； (4)当秒时，的面积是． 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得，再由勾股定理，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，再证明四边形为平行四边形，即可求解； （3）根据菱形的判定可得当时，平行四边形为菱形，得到关于t的方程，即可求解； （4）由，，求得，，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由勾股定理得：； 解得，， 故答案为：10，； （2）解：与平行且相等． 证明：由题意得：， 在中，， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与平行且相等； （3）解：四边形能够成为菱形．理由如下： 由（2）知：四边形为平行四边形， ∵， ∴． 当时，平行四边形为菱形， 即， 解得：． 即当秒时，四边形为菱形； （4）解：∵，， ∴，， 由题意得，即， 解得（舍去负值）， ∴当秒时，的面积是． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 试卷第2页，共39页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$