第一章 一元二次方程（单元检测卷，提优）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第一章 一元二次方程章节检测卷（提优） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．一元二次方程x2﹣20x+100＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 2．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2+x1•x2的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣2 D．0 3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．2 4．若关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+1＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1 5．判断方程|x﹣2|的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 6．对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程7⊗x＝19的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A．5+5x+52＝20 B．5（1+x）2＝20 C．5（1+x）3＝20 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝20 8．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9．已知方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根为a，b，则（a+1）（b+1）的值为 　 　． 10．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为 　 　． 11．某商品原价为1000元，连续两次降价后为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，请列出方程 　 　． 12．若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　 　． 13．若a和b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为 　 　． 14．已知x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则另一个解为x＝　 　． 15．已知方程ax2+2ax+a﹣9＝0至少有一个整数根，则整数a的值为　 　． 16．已知有且只有一个数大于﹣2小于0，且满足关于x的方程ax2+x+a﹣3＝0，则a的取值范围是　 　． 三．解答题（共9小题，满分68分） 17．（6分）解方程： （1）x（x﹣6）＝5（6﹣x）； （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0． （1）求证方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根． 19．（8分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度51米的橱栏（图中实线部分）围成两个大小相同的长方形围栏，设BC长为x米． （1）DC＝　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若长方形围栏ABCD面积为210平方米，求BC的长； （3）长方形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由． 20．（8分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题： （1）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝　 　； 探究问题： （2）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝　 　； （3）已知s＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y都是整数，k是常数），要使s的最小值为2，试求出k的值． 拓展结论： （4）已知实数x、y满足，求5x﹣3y的最值． 21．（8分）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形． （1）验证：矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH的长为4、宽为3． （2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 22．（8分）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ （3）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且（x1﹣3）（x2﹣3）＝5m，求m的值． 23．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多销售2件． （1）商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）问在这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降多少元；若不能，请说明理由． 24．（8分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值； （2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长； （3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值． 25．（8分）阅读下列材料： （1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，， （2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． 根据以上材料，解答下列问题： （1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则　 　，　 　，　 　； （2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 一元二次方程章节检测卷（提优） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．一元二次方程x2﹣20x+100＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【分析】利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣4×1×100＝0， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据判别式的结果来判断根的情况． 2．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2+x1•x2的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣2 D．0 【分析】若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到x1+x2和x1•x2的值，整体代入即可． 【解答】解：根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣1， 所以x1+x2+x1•x2＝﹣2+（﹣1）＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是关键． 3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．2 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于 m 的方程，即可求解． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0， 解得m＝4． 故选：A． 【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 4．若关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+1＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1 【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取值范围． 【解答】解：∵方程x2+2mx+m2﹣m+1＝0没有实数根， ∴Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣m+1）＜0， 解得：m＜1． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 5．判断方程|x﹣2|的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【分析】根据|x﹣2|，可得x﹣2＞0，方程可以变形为（x﹣2）2＝3，可得方程x﹣2，依此即可求解． 【解答】解：∵|x﹣2|， ∴x﹣2＞0， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x﹣2， 解得x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解． 故方程|x﹣2|的根的情况是有一个实数根． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，绝对值，分式方程的解，关键是根据题意得到方程可以变形为x﹣2． 6．对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程7⊗x＝19的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】先根据新定义得到关于x的方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【解答】解：∵a⊗b＝b2﹣ab， ∴7⊗x＝19可化为x2﹣7x﹣19＝0， ∵Δ＝（﹣7）2﹣4×（﹣19）＝≥0， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A．5+5x+52＝20 B．5（1+x）2＝20 C．5（1+x）3＝20 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝20 【分析】根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约5（1+x）亿元、第三周票房约5（1+x）2亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为x， ∴第二周票房约5（1+x）亿元，第三周票房约5（1+x）2亿元． 依题意得：5+5（1+x）+5（1+x）2＝20． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 【分析】根据x2≥0，2[x]＝x2可得x≥0，分4种情况讨论：①0≤x＜1时，解得x＝0；②1≤x＜2时，解得x或x（舍）；③2≤x＜3时，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；④x≥3时，方程无解． 【解答】解：∵x2≥0，2[x]＝x2， ∴x≥0， ①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0； ②1≤x＜2时，x2＝2，解得x或x（舍）； ③2≤x＜3时，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）； ④x≥3时，方程无解； 综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x， 故选：D． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9．已知方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根为a，b，则（a+1）（b+1）的值为 　0　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出a+b及ab的值即可解决问题． 【解答】解：因为a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根， 所以a+b＝3，ab＝﹣4， 所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣4+3+1＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 10．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为 　﹣1　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，用k表示出x1+x2和x1x2，再根据（x1﹣1）（x2﹣1）＝5建立关于k的方程即可解决问题． 【解答】解：因为x1和x2是关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根， 所以x1+x2＝2k﹣1，，Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k2≥0， 解得k． 因为（x1﹣1）（x2﹣1）＝5， 所以x1x2﹣（x1+x2）+1＝5， 则k2﹣（2k﹣1）+1＝5， 解得k1＝﹣1，k2＝3． 因为k， 所以k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11．某商品原价为1000元，连续两次降价后为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，请列出方程 　1000（1﹣x）2＝810　． 【分析】根据某商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【解答】解：依题意，得：1000（1﹣x）2＝810， 故答案为：1000（1﹣x）2＝810． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　c＞1　． 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，然后解不等式，从而可确定c的取值范围． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0， ∴c＞1， 故答案为：c＞1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 13．若a和b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为 　﹣1　． 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出a+b和ab的值，然后把所求分式进行通分化简，再把所求的a+b和ab的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：∵a和b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根， ∴a+b＝1，ab＝﹣1， ∴ ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和分式的通分． 14．已知x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则另一个解为x＝　3　． 【分析】先把x＝1代入方程x2﹣mx+3＝0得关于m的方程，解方程求出m，再把m的值代入方程x2﹣mx+3＝0得关于x的方程，解方程求出x即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣mx+3＝0得：1﹣m+3＝0， 解方程得：m＝4， 再把m＝4代入方程x2﹣mx+3＝0得： x2﹣4x+3＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， x﹣1＝0或x﹣3＝0， x1＝1，x2＝3， ∴方程的另一个根是x＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义和解一元二次方程的一般步骤． 15．已知方程ax2+2ax+a﹣9＝0至少有一个整数根，则整数a的值为　1或9　． 【分析】“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．把它的两个根解出来，判断a的值即可． 【解答】解：用求根公式解得x1±1±， ∵能被3整除的正数为1，3， ∴a＝1或9． 故答案为：1或9． 【点评】本题考查了一元二次方程的整数解；利用求根公式判断相应的整数解是解决本题的突破点． 16．已知有且只有一个数大于﹣2小于0，且满足关于x的方程ax2+x+a﹣3＝0，则a的取值范围是　1＜a≤3　． 【分析】根据字母系数与方程的关系分情况讨论方程的解是否符合题意即可求出答案． 【解答】解：当a＝0时，x﹣3＝0， ∴x＝3，∵方程的解大于﹣2小于0， ∴x＝3不符合题意； 当a≠0时，原方程为一元二次方程， ①当x＝﹣2时，4a﹣2+a﹣3＝0，解得a＝1， ∴x2+x﹣2＝0 解得x1＝﹣2，x2＝1， 不符合题意； ②当x＝0时，a＝3 ∴3x2+x＝0 解得x1＝0，x2，符合题意． 当a2•[（﹣2）2a﹣2+2﹣3]（a﹣3）＜0， 化简，得a2（a2﹣4a+3）＜0， ∵a2＞0， ∴a2﹣4a+3＜0， ∴1＜a≤3． 故答案为1＜a≤3． 【点评】本题考查了字母系数与方程的关系，解决本题的关键是分情况讨论． 三．解答题（共9小题，满分68分） 17．（6分）解方程： （1）x（x﹣6）＝5（6﹣x）； （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 【分析】（1）先移项得到5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程． 【解答】解：（1）x（x﹣6）＝5（6﹣x）， x（x﹣6）+5（x﹣6）＝0， （x﹣6）（x+5）＝0， x﹣6＝0或x+5＝0， 所以x1＝6，x2＝﹣5； （2）2x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣2x， （x﹣1）2， x﹣1＝±， 所以x1＝1，x2＝1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0． （1）求证方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根． 【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证； （2）把x＝4代入方程求出k的值，确定出方程，即可求出另一根． 【解答】（1）证明：这里a＝1，b＝﹣（k+3），c＝2k+1， ∵Δ＝（k+3）2﹣4（2k+1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4≥4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：把x＝4代入方程得：16﹣4（k+3）+2k+1＝0， 解得：k＝2.5，即方程为x2﹣5.5x+6＝0， 设另一根为m，根据题意得：4m＝6， 解得：m＝1.5． 【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．（8分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度51米的橱栏（图中实线部分）围成两个大小相同的长方形围栏，设BC长为x米． （1）DC＝　51﹣3x　米（用含x的代数式表示）； （2）若长方形围栏ABCD面积为210平方米，求BC的长； （3）长方形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由． 【分析】（1）由题意知，3BC+CD＝51，代入求解即可； （2）由题意知DC≤25，即51﹣3x≤25，且3x≤51，求解可得，由题意知，BC×DC＝210，即x•（51﹣3x）＝210，整理得，x2﹣17x+70＝0，计算求解满足要求的x的值即可； （3）根据题意，令x•（51﹣3x）＝240，由Δ＝﹣31＜0，可知该方程没有实数根，进而可判断长方形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米． 【解答】解：（1）由题意知，3BC+DC＝51， ∵BC＝x， ∴DC＝51﹣3x， 故答案为：51﹣3x； （2）由题意知DC≤25，即51﹣3x≤25， 解得，， ∵3x≤51， 解得，x≤17， ∴， 由题意知，BC×DC＝210，即x•（51﹣3x）＝210， 整理得，x2﹣17x+70＝0， （x﹣7）（x﹣10）＝0， 解得，x1＝7（不合题意，舍去），x2＝10， ∴长方形围栏ABCD面积为210平方米，BC的长为10； （3）不可能，理由如下： 令x•（51﹣3x）＝240，整理得x2﹣17x+80＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝172﹣4×1×80＝﹣31＜0， ∴该方程没有实数根， ∴长方形围栏ABCD面积不可能达到240平方米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式以及根的判别式．解题的关键在于根据题意列一元二次方程并正确求解． 20．（8分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题： （1）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝　﹣2　； 探究问题： （2）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝　﹣2　； （3）已知s＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y都是整数，k是常数），要使s的最小值为2，试求出k的值． 拓展结论： （4）已知实数x、y满足，求5x﹣3y的最值． 【分析】（1）利用配方法进行转化，然后求得对应系数m，n的值，从而可以解答； （2）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据s的最小值为2可以解答； （4）根据完全平方式的非负性可计算5x﹣3y的最大值． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣m）2+n， ∴m＝2，n＝﹣1， ∴mn＝2×（﹣1）＝﹣2； 故答案为：﹣2； （2）∵x2+y2﹣2x+6y+10＝0， ∴x2﹣2x+1+y2+6y+9＝0， ∴（x﹣1）2+（y+3）2＝0， ∴x﹣1＝0，y+3＝0， ∴x＝1，y＝﹣3， ∴x+y＝1﹣3＝﹣2， 故答案为：﹣2； （3）∵s＝x2+9y2+4x﹣12y+k，要使s的最小值为2，x、y都是整数， ∴s＝x2+9y2+4x﹣12y+k＝（x+2）2+（3y﹣2）2+1， ∴k＝4+4+1＝9； （4）∵， ∴y＝x2x+2， ∴5x﹣3y ＝5x﹣3（x2x+2） ＝﹣3x2+12x﹣6 ＝﹣3（x2﹣4x+4﹣4）﹣6 ＝﹣3（x﹣2）2+6， ∴5x﹣3y的最大值是6． 【点评】本题考查的是配方法的应用，熟记完全平方公式是解题的关键． 21．（8分）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形． （1）验证：矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH的长为4、宽为3． （2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 【分析】（1）分别求出矩形EFGH的周长与面积，矩形ABCD的周长与面积，即可得出结论； （2）若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为m，n（m＞n），根据矩形的周长和面积得出，再由根的判别式即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵矩形EFGH的周长为：2×（4+3）＝14， 矩形ABCD的周长为：2×（12+2）＝28， ∴矩形EFGH的周长矩形ABCD的周长； ∵矩形EFGH的面积为：4×3＝12， 矩形ABCD的面积为：2×12＝24， ∴矩形EFGH的面积矩形ABCD的面积； ∴矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形． （2）解：该矩形不存在“减半”矩形，理由如下： 若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为m，n（m＞n）， ∵原矩形的长和宽分别为2，1， ∴，， 由①得：， 将 代入②得：， 即， ∵， ∴ 无实数根， ∴该矩形不存在“减半”矩形． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质以及根的判别式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（8分）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ （3）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且（x1﹣3）（x2﹣3）＝5m，求m的值． 【分析】（1）当AB＝AD时，四边形ABCD是菱形，即方程 x2﹣mx0的两个实数根相等，根据根的判别式为0可得关于m的方程，解之可得m的值，再还原方程，求解可得； （2）根据根与系数的关系可得，解之可得AD的长，继而得出周长； （3）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1x2，代入到（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝5m，解之可得． 【解答】解：（1）当AB＝AD时，四边形ABCD是菱形，即方程x2﹣mx0的两个实数根相等， ∴m2﹣4（）＝0， 解得：m＝1， 此时方程为x2﹣x0， 解得：x， ∴这时菱形的边长为； （2）根据题意知，， 解得：AD， ∴平行四边形ABCD的周长是2×（2）＝5； （3）∵方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝m，x1x2， 代入到（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝5m，可得3m+9＝5m， 解得：m． 【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，理解题意得出相应的方程是解题的关键． 23．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多销售2件． （1）商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）问在这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降多少元；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x），所以此时商场平均每天要盈利（40﹣x）（20+2x）元，根据商场平均每天要盈利＝1200元，为等量关系列出方程求解即可． （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利＝1500元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． 【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）， 由题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200， 即：（x﹣10）（x﹣20）＝0， 解得x1＝10，x2＝20， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利12O0元，每件衬衫应降价20元； （2）假设能达到，由题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1500， 整理，得x2﹣30x+350＝0， Δ＝302﹣2×1×350＝﹣500＜0， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到1500元． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点是“根的判别式”的应用． 24．（8分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值； （2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长； （3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可； （2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1＝0， ∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1＝0， ∴（a+3b）2+（b+1）2＝0， ∴a+3b＝0，b+1＝0， 解得b＝﹣1，a＝3， 则a﹣b＝4； （2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0， 则a﹣1＝0，b﹣3＝0， 解得，a＝1，b＝3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， ∴△ABC的周长为1+3+3＝7； （3）∵x+y＝2， ∴y＝2﹣x， 则x（2﹣x）﹣z2﹣4z＝5， ∴x2﹣2x+1+z2+4z+4＝0， ∴（x﹣1）2+（z+2）2＝0， 则x﹣1＝0，z+2＝0， 解得x＝1，y＝1，z＝﹣2， ∴xyz＝﹣2． 【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键． 25．（8分）阅读下列材料： （1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，， （2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． 根据以上材料，解答下列问题： （1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则　4　，　14　，　194　； （2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值． 【分析】（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决． （2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可． 【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0， ∴x4， ∴（x）2＝16， ∴x2+216， ∴x214， ∴（x2）2＝196， ∴x42＝196， ∴x4194． 故答案为4，14，194． （2）∵2x2﹣7x+2＝0， ∴x，x2， ∴（x）（x2﹣1）（1）． 【点评】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解决问题的关键是灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方），属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$