第03讲 数轴（4大知识点8题型，新教材）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第03讲 数轴 课程标准 学习目标 1 理解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数； 2 掌握数轴的基本性质，能利用数轴比较有理数的大小. 1. 掌握数轴的定义和构成； 2. 能够准确地在数轴上表示有理数； 3. 学会利用数轴比较有理数的大小. 知识点一、认识数轴、画数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 知识点二、有理数与数轴上的点的关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点三、利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 知识点四、有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 题型01 数轴的画法 1．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（　　） A．原点位置可以是数轴上任意一点 B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向 C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取 D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm 题型02 用数轴上的点表示数 1．如图，数轴上点M所表示的数可能是（　　） A．1.5 B．﹣1.6 C．﹣2.6 D．﹣3.4 2．如图，在数轴上点P的位置被一滴墨水遮挡了，那么请估计数轴上点P表示的数可能是（　　） A．﹣2.6 B．﹣1.4 C．2.6 D．1.4 3．如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则a+b的值可能是（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 4．在原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 题型03 由点在数轴上的位置判断正负 1．在数轴上，原点及原点左边的点表示的数是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．如图，数轴上的三个点中，表示负数的是点 　　． 3．数轴上表示负数的点在原点的　　，表示正数的点在原点的 　，原点表示的数是　　． 题型04 借助数轴比较有理数的大小 1．在数轴上与原点的距离不大于4的整数点有（　　） A．5个 B．6个 C．9个 D．8个 2．在数轴上，大于﹣2.5且小于3.2的整数有 　 　． 3．操作与探索： （1）如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数． （2）请你自己画出数轴并表示有理数：，3． （3）如图，观察数轴，回答下列问题： ①大于﹣3并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上表示到﹣1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？ 题型05 数轴上两点间距离 1．如图，数轴上表示﹣3的点A到原点的距离是（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 2．如图，数轴上与原点距离最近的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．数轴上点A表示的数是，若数轴上点P，在点A右侧，到点A的距离等于，则点P所表示的数是 　　． 4．数轴上的A点表示的是﹣2右边距离它5个单位长度的点，则A点表示的数为 　　． 题型06 分析点在数轴上的移动 1．数轴上的点M距原点5个单位长度，将点M向右移动3个单位长度至点N，则点N表示的数是（　　） A．8 B．2 C．﹣8或2 D．8或﹣2 2．小蚂蚁在数轴上爬，它从A点出发向右移动2个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为5，则点A表示的数是 　 　． 3．如图，在数轴上，点A表示的数为2，若将点A向左移动5个长度单位后，这时点A表示的数是 　　． 4．点A在数轴上距离原点3个单位长度，将点A向右移动4个单位，再向左移动7个单位长度，此时点A表示的数是 　 　． 题型07 整数点覆盖问题 1．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长15厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有（　　）个． A．13或14个 B．14或15个 C．15或16个 D．16或17个 2．在数轴上任取一条长度为2000的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点个数是（　　） A．1998 B．1999 C．2000 D．2001 3．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是 　　． 4．如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据，则被淹没的负整数的个数为 　　． 题型08 利用数轴解决实际问题 1．某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：+3，+10，﹣5，+6，﹣4，﹣3，+12，﹣8，﹣6，+7，﹣21． （1）最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ （2）若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？ （3）该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 2．如图，正三角形的边长为1，点C与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点B在数轴上对应的数字． 3．某日一辆交通巡逻车从甲地出发，在东西向的马路上巡逻，约定向东为正，向西为负，巡逻车从出发至收工所走的路线记录如下（单位：千米）： ﹣10，+3，﹣4，+2，﹣8，+12，﹣2，+10，﹣6，+1； （1）收工时距甲地多远？在甲地的什么位置？ （2）巡逻车在巡逻过程当中，离开甲地最远是多少千米？ （3）若每千米耗油0.2升，该车这一次巡逻共耗油多少升？ 1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 2．如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．数轴上点A表示a，将点A沿数轴向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度得到点B，设点B所表示的数为x，则x可以表示为（　　） A．a+1 B．a﹣1 C．a+7 D．a﹣7 4．已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数﹣2，又知点B和点A相距5个单位长度，则点B表示的数是（　　） A．3 B．﹣7 C．3或﹣7 D．7或﹣3 5．如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离小于3，则点C位于（　　） A．点O的左边 B．点O与点A之间 C．点B的右边 D．点A与点B之间 6．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（　　） A．a＜0 B．b＞0 C．a＞0 D．a＜b 7．如图，在数轴上点A表示的数是1，则点B表示的数是 　 　． 8．在数轴上表示﹣5.2和2.1两点之间的整数有 　 　个． 9．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是　 　． 10．如图，在数轴有A、B两点，点A表示的数是﹣2024，若OA＝OB，则点B表示的数是 　 　． 11．一只蚂蚁从数轴上一点A出发，爬了7个单位长度到了+1，则点A所表示的数是 　 　． 12．一滴墨水洒在一个数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值求出被墨迹盖住的整数共有多少个？ 13．画一条数轴，在数轴上表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来：﹣2.5，3，0，﹣2，+5，0.5． 14．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东跑回到自己家． （1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置； （2）求小彬家与学校之间的距离； （3）如果小明跑步的速度是250米/分钟，那么小明跑步一共用了多长时间？ 15．阅读材料，并回答问题 如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm） 由此可得，木棒长为　 　cm． 借助上述方法解决问题： 一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄，并说明解题思路． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 数轴 课程标准 学习目标 1 理解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数； 2 掌握数轴的基本性质，能利用数轴比较有理数的大小. 1. 掌握数轴的定义和构成； 2. 能够准确地在数轴上表示有理数； 3. 学会利用数轴比较有理数的大小. 知识点一、认识数轴、画数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 知识点二、有理数与数轴上的点的关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点三、利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 知识点四、有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 题型01 数轴的画法 1．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【解答】解：A选项，没有正方向，错误； B选项，单位长度不相等，错误； C选项，正确， D选项没有原点，错误． 故选：C． 【点评】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键． 2．有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（　　） A．原点位置可以是数轴上任意一点 B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向 C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取 D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm 【分析】根据数轴的意义和性质对每一个选项进行分析判断即可找出其中错误的说法． 【解答】解：原点位置可以是数轴上任意一点，故A正确； 一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向，故B正确； 数轴的单位长度可根据实际需要任意选取，故C正确； 数轴上每相邻两个刻度之间的长度是相等的，不一定都等于1cm，故D错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查数轴，深入理解数轴的意义是解决问题的关键． 题型02 用数轴上的点表示数 1．如图，数轴上点M所表示的数可能是（　　） A．1.5 B．﹣1.6 C．﹣2.6 D．﹣3.4 【分析】由数轴可知：M所表示的数在﹣3与﹣2之间． 【解答】解：设M表示的数为x， 由数轴可知：﹣3＜x＜﹣2， M可能是﹣2.6， 故选：C． 【点评】本题考查利用数轴表示数的大小，属于基础题型． 2．如图，在数轴上点P的位置被一滴墨水遮挡了，那么请估计数轴上点P表示的数可能是（　　） A．﹣2.6 B．﹣1.4 C．2.6 D．1.4 【分析】根据数轴得出P所表示的数在﹣2和﹣1之间，然后结合选择项逐一分析即可求解． 【解答】解：设P表示的数是x， 由数轴可知：P点表示的数大于﹣2，且小于﹣1，即﹣2＜x＜﹣1， A、﹣3＜﹣2.6＜﹣2，故本选项错误； B、﹣2＜﹣1.4＜﹣1，故本选项正确； C、﹣1＜2.6，故本选项错误； D、﹣1＜1.4，故本选项错误； 故选：B． 【点评】此题考查数轴，利用数轴比较数的大小是解决问题的关键． 3．如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则a+b的值可能是（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 【分析】由数轴可知，A点更靠近﹣2，B点更靠近1，因此﹣2.5＜a＜﹣2，1＜b＜1.5，即可求出a+b的取值范围，得出结果． 【解答】解：由数轴可知， ∵A点更靠近﹣2，B点更靠近1， ∴﹣2.5＜a＜﹣2，1＜b＜1.5， ∴﹣1.5＜a+b＜﹣0.5，故排除A，B，D， ∴a+b的值可能是﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上点的分布是解题的关键． 4．在原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【分析】根据数轴的特点即可求解． 【解答】解：在原点左侧的点表示负数，在原点右侧的点表示正数，所以，在原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是﹣3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特点是解题的关键． 题型03 由点在数轴上的位置判断正负 1．在数轴上，原点及原点左边的点表示的数是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【分析】根据数轴的特征，可得原点表示的数是0，原点左边的点表示的数是负数，据此判断即可． 【解答】解：∵原点表示的数是0，原点左边的点表示的数是负数， ∴原点及原点左边的点表示的数是非正数． 故选：C． 【点评】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：原点表示的数是0，原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是负数 2．如图，数轴上的三个点中，表示负数的是点 　　． 【分析】根据数轴的概念和数轴上各点的分布即可得出答案． 【解答】解：由数轴可知，取右方向为正方向，可得：在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数， ∵M点在原点的左侧，N点，P点在原点的右侧， ∴表示负数的是点M， 故答案为：M． 【点评】本题考查的是数轴，正数和负数，熟练掌握数轴的定义和数轴上各点的分布是解题的关键． 3．数轴上表示负数的点在原点的　　，表示正数的点在原点的 　，原点表示的数是　　． 【分析】根据数轴的定义即可得出答案，数轴是规定了原点，单位长度及正方向的直线． 【解答】解：根据数轴的定义，若数轴规定了向右为正方向， 则数轴上表示负数的点在原点的左方，表示正数的点在原点的右方，原点表示的数是0． 故答案为：左方，右方，0． 【点评】本题考查了数轴知识，属于基础题，难度不大，注意对数轴三要素的掌握． 题型04 借助数轴比较有理数的大小 1．在数轴上与原点的距离不大于4的整数点有（　　） A．5个 B．6个 C．9个 D．8个 【分析】此题要先画出数轴，根据数轴和绝对值的几何意义进行分析解答． 【解答】解：如图所示： 在数轴上与原点的距离不大于4的整数点有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．共9个． 故选：C． 【点评】此题应当明白不大于4即是小于或等于4． 用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 2．在数轴上，大于﹣2.5且小于3.2的整数有 　 　． 【分析】可借助数轴来确定符合要求的数． 【解答】解：在数轴上，大于﹣2.5且小于3.2的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2，3． 故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3． 【点评】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟记数轴的特征． 3．操作与探索： （1）如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数． （2）请你自己画出数轴并表示有理数：，3． （3）如图，观察数轴，回答下列问题： ①大于﹣3并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上表示到﹣1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？ 【分析】（1）根据数轴的知识，准确的读出数轴上的点A、B、C、D表示的数； （2）根据数轴上数的特点，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，准确的画出数值，3在数轴上的位置； （3）①根据数轴的知识，从数轴上找到大于﹣3并且小于3的整数； ②到表示﹣1的点的距离等于2个单位长度的点可能在﹣1的左边也可能在﹣1的右边，从而找到这些点表示的数． 【解答】解：（1）A、B、C、D表示的数分别是﹣3，﹣1.5，0，2； （2） （3）①由数轴得，大于﹣3并且小于3的整数有5个：﹣2，﹣1，0，1，2； ②在数轴上到表示﹣1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是﹣1﹣2＝﹣3；﹣1+2＝1． 【点评】本题考查数轴、有理数，关键是能利用数轴表示各数的大小． 题型05 数轴上两点间距离 1．如图，数轴上表示﹣3的点A到原点的距离是（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【分析】根据绝对值的定义即可得到结论 【解答】解：数轴上表示﹣3的点A到原点的距离是3， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 2．如图，数轴上与原点距离最近的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】从数轴上可知，离原点0距离最近的是点B，即可得出结果． 【解答】解：根据数轴可知，离原点0距离最近的是点B， 故选：B． 【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键． 3．数轴上点A表示的数是，若数轴上点P，在点A右侧，到点A的距离等于，则点P所表示的数是 　　． 【分析】根据数轴上两点间的距离的意义即可求解． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的计算，数轴上两点间的距离，熟练掌握基本知识点是解题的关键． 4．数轴上的A点表示的是﹣2右边距离它5个单位长度的点，则A点表示的数为 　　． 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【解答】解：由题意得，﹣2+5＝3， ∴A点表示的数为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟记公式是解题的关键． 题型06 分析点在数轴上的移动 1．数轴上的点M距原点5个单位长度，将点M向右移动3个单位长度至点N，则点N表示的数是（　　） A．8 B．2 C．﹣8或2 D．8或﹣2 【分析】根据数轴上的点表示的数解决此题． 【解答】解：由题意得，M表示的数可能为5或﹣5． ∴点N表示的数是5+3＝8或﹣5+3＝﹣2． ∴点N表示的数是8或﹣2． 故选：D． 【点评】本题主要考查数轴上的点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数是解决本题的关键． 2．小蚂蚁在数轴上爬，它从A点出发向右移动2个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为5，则点A表示的数是 　 　． 【分析】根据点B到原点的距离为5，可得点B为：﹣5或5，分为①当点B为﹣5时和②当点B为5时两种情况进行讨论即可． 【解答】解：∵点B到原点的距离为5， ∴点B为：﹣5或5， ①当点B为﹣5时， ∵从A点出发向右移动2个单位后到达点B， ∴点A表示的数是：﹣5﹣2＝﹣7； ②当点B为5时， ∵从A点出发向右移动2个单位后到达点B， ∴点A表示的数是：5﹣2＝3； 故答案为：﹣7或3． 【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 3．如图，在数轴上，点A表示的数为2，若将点A向左移动5个长度单位后，这时点A表示的数是 　　． 【分析】向左移动5个长度单位，即点A表示的数减去5，得移动后点A表示的数． 【解答】解：2﹣5＝﹣3， 此时点A表示的数是﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了数轴，关键是掌握向左移动的计算． 4．点A在数轴上距离原点3个单位长度，将点A向右移动4个单位，再向左移动7个单位长度，此时点A表示的数是 　 　． 【分析】先求点A在数轴上移动前表示的数，再求移动后点A表示的数． 【解答】解：∵点A在数轴上距离原点3个单位长度， ∴点A可能是3或﹣3， ①点A表示的数是3时， 将点A向右移动4个单位，再向左移动7个单位长度， 此时点A表示的数是0， ②点A表示的数是﹣3时， 将点A向右移动4个单位，再向左移动7个单位长度， 此时点A表示的数是﹣6， 故答案为：0或﹣6． 【点评】本题考查了数轴，关键是注意分类讨论． 题型07 整数点覆盖问题 1．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长15厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有（　　）个． A．13或14个 B．14或15个 C．15或16个 D．16或17个 【分析】某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为15厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数可能正好是16个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是15个． 【解答】解：依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖16个数； ②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖15个数． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴的实际应用，学生一时想不出来，可以动手亲自画一画，但要注意画时，找个短线段即可． 2．在数轴上任取一条长度为2000的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点个数是（　　） A．1998 B．1999 C．2000 D．2001 【分析】把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点记作0，再进行计算即可． 【解答】解：把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点若记作0，则覆盖的最后一个数是2000，因而共有从0到2000共有2001个数． 故选：D． 【点评】此题主要考查了数轴上的点与实数的对应关系，能够理解什么情况最多是解决本题的关键． 3．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是 　　． 【分析】根据实数在数轴上排列的特点判断出墨迹盖住的最左侧的整数和最右侧的整数，即可得到所有的被盖住的整数． 【解答】解：因为墨迹最左端的实数是﹣5.5，最右端的实数是10.5．根据实数在数轴上的排列特点，可得墨迹遮盖部分最左侧的整数是﹣5，最右侧的整数是10．所以遮盖住的整数共有16个． 故答案为：16． 【点评】本题考查了数轴的有关内容，要求掌握在数轴上的基本运算．解决此题的关键是数轴上实数排列的特点．另外容易疏忽的是整数0． 4．如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据，则被淹没的负整数的个数为 　　． 【分析】根据数轴表示数的特征，分两段分别进行计算即可． 【解答】解：由数轴表示数的特征可知，在第一段被淹没的负整数有﹣72，﹣71，…﹣43，﹣42，共31个， 在第二段被淹没的负整数有﹣21，﹣20，…﹣2，﹣1，共21个， 两段被淹没的负整数有52个， 故答案为：52． 【点评】本题考查数轴，理解数轴表示数的特征是解决问题的前提． 题型08 利用数轴解决实际问题 1．某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：+3，+10，﹣5，+6，﹣4，﹣3，+12，﹣8，﹣6，+7，﹣21． （1）最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ （2）若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？ （3）该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 【分析】（1）把所有行车里程相加，再根据正负数的意义解答； （2）用0.2乘行车里程的绝对值的和，计算即可得解； （3）分别计算前三次的每一次收入，再相加即可． 【解答】解：（1）+3+10﹣5+6﹣4﹣3+12﹣8﹣6+7﹣21＝﹣9， 答：最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地9km； （2）（3+10+5+6+4+3+12+8+6+7+21）×0.2＝17（升） （3）第一次3公里，不超过3公里，收费为9元； 第二次10公里，超过3公里，收费为9+（10﹣3）×2＝23元； 第三次5公里，超过3公里，收费为9+（5﹣3）×2＝13元， ∴总共收入为：9+23+13＝45元， 答：这天下午小王前三次营运收入45元． 【点评】此题考查了正数和负数，以及有理数加减法的应用，弄清题意是解本题的关键． 2．如图，正三角形的边长为1，点C与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点B在数轴上对应的数字． 【分析】由题意得，正三角形向右翻转的一个周期为3，且翻转一次后B落在1处，由此规律进行解答即可． 【解答】解：由题意得，翻转1次，B落在1，翻转2次，A落在2，翻转3次，C落在3，周期为3， ∵2023÷3＝674……1，且翻转一次后B落在1处， ∴正三角形向右翻转2023次，此时B落在数轴上，则其对应的数字为 1+674×3＝2023． 【点评】本题考查的是数轴，解题的关键是找出正三角形翻转的规律． 3．某日一辆交通巡逻车从甲地出发，在东西向的马路上巡逻，约定向东为正，向西为负，巡逻车从出发至收工所走的路线记录如下（单位：千米）： ﹣10，+3，﹣4，+2，﹣8，+12，﹣2，+10，﹣6，+1； （1）收工时距甲地多远？在甲地的什么位置？ （2）巡逻车在巡逻过程当中，离开甲地最远是多少千米？ （3）若每千米耗油0.2升，该车这一次巡逻共耗油多少升？ 【分析】（1）根据题意，可得﹣10+3﹣4+2﹣8+12﹣2+10﹣6+1，计算即可； （2）计算出10次巡逻过程中每一次的距离，再进行比较即可； （3）计算出10次巡逻的总距离，再乘0.2升即可． 【解答】解：（1）﹣10+3﹣4+2﹣8+12﹣2+10﹣6+1＝﹣2， 答：收工时距甲地2千米，在甲地的西面； （2）第一次：﹣10千米； 第二次：﹣10+3＝﹣7千米； 第三次：﹣7﹣4＝﹣11千米； 第四次：﹣11+2＝﹣9千米； 第五次：﹣9﹣8＝﹣17千米； 第六次：﹣17+12＝﹣5千米； 第七次：﹣5﹣2＝﹣7千米； 第八次：﹣7+10＝3千米； 第九次：3﹣6＝﹣3千米； 第十次：﹣3+1＝﹣2千米； ∴巡逻车在巡逻过程当中，离开甲地最远是17千米， 答：巡逻车在巡逻过程当中，离开甲地最远是17千米． （3）（10+3+4+2+8+12+2+10+6+1）×0.2 ＝58×0.2 ＝11.6（升）， 答：该车这一次巡逻共耗油11.6升． 【点评】本题考查的是数轴和正负数，明确理解题意并根据向东为正，向西为负的条件进行求解是解题的关键． 1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 【分析】根据|﹣3|＝3，|1|＝1，|2|＝2，|3|＝3，而3＜2＜1，可知1与原点距离最近． 【解答】解：∵|﹣3|＝3，|1|＝1，|2|＝2，|3|＝3， 而3＜2＜1， ∴1与原点距离最近， 故选：B． 【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上点的分布特点是解题的关键． 2．如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】根据图示得到点P所表示的数，然后求得的值即可． 【解答】解：如图所示，1＜p＜2，则1，所以﹣1．则数轴上与数对应的点是C． 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，根据图示得到点P所表示的数是解题的关键． 3．数轴上点A表示a，将点A沿数轴向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度得到点B，设点B所表示的数为x，则x可以表示为（　　） A．a+1 B．a﹣1 C．a+7 D．a﹣7 【分析】根据题意列出算式，计算即可求出终点表示的数． 【解答】解：由题意得，x＝a﹣3+4＝a+1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了数轴，点在数轴上移动的时候，对应的数的大小变化规律是：左减右加． 4．已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数﹣2，又知点B和点A相距5个单位长度，则点B表示的数是（　　） A．3 B．﹣7 C．3或﹣7 D．7或﹣3 【分析】根据点B和点A相距5个单位长度可分为两种情况进行分析． 【解答】解：∵B和点A相距5个单位长度，点A表示﹣2， ∴当点B在点A左侧时，﹣2﹣5＝﹣5，此时点B表示﹣7； 当点B在点A右侧时，﹣2+5＝3，此时点B表示3； 综上所述：点B表示﹣7或3． 故选C． 【点评】本题主要考查了数轴的知识、实数的知识，分情况讨论是解答的关键． 5．如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离小于3，则点C位于（　　） A．点O的左边 B．点O与点A之间 C．点B的右边 D．点A与点B之间 【分析】由数轴上点的位置，找出离A距离为1的点，再由到B的距离小于3判断即可确定出C的位置． 【解答】解：∵点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离小于3， ∴点C表示的数为2.5，位于点A与点B之间， 故选：D． 【点评】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上的点与实数之间的一一对应关系是解本题的关键． 6．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（　　） A．a＜0 B．b＞0 C．a＞0 D．a＜b 【分析】根据数轴上点的位置可得b＜0＜a，|b|＞|a|，据此分析判断即可． 【解答】解：由题意得：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a＞0，b＜0，a＞b． ∴四个选项只有选项C符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，正确得到b＜0＜a，|b|＞|a|是解题的关键． 7．如图，在数轴上点A表示的数是1，则点B表示的数是 　2　． 【分析】根据数轴，可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B，列式计算即可得到点B表示的数． 【解答】解：由图可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B， ∵点A表示的数是1， ∴1﹣2+3＝2， ∴点B表示的数是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查数轴，数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．在数轴上表示﹣5.2和2.1两点之间的整数有 　8　个． 【分析】直接根据数轴作答即可． 【解答】解：数轴上表示﹣5.2和2.1两点之间的整数有﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2共8个， 故答案为：8． 【点评】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的定义是解题的关键． 9．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是　﹣1　． 【分析】先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出BC，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数． 【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3， ∴AB＝3﹣1＝2， ∵BC＝2AB＝4， ∴OC＝BC﹣OB＝4﹣3＝1， ∵C在B的左侧， ∴点C表示的数是﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） 10．如图，在数轴有A、B两点，点A表示的数是﹣2024，若OA＝OB，则点B表示的数是 　2024　． 【分析】根据OA＝OB，求出OB，继而可以求出点B表示的数． 【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是﹣2024， ∴OB＝2024， ∵点B在O点右侧， ∴点B表示的数为：0+2024＝2024， 故答案为：2024． 【点评】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解． 11．一只蚂蚁从数轴上一点A出发，爬了7个单位长度到了+1，则点A所表示的数是 　﹣6或8　． 【分析】根据数轴上点的移动规律解答即可． 【解答】解：由题意得，+1+7＝8，+1﹣7＝﹣6， 即点A所表示的数是﹣6或8， 故答案为：﹣6或8． 【点评】本题考查了数轴，注意分类讨论思想的应用． 12．一滴墨水洒在一个数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值求出被墨迹盖住的整数共有多少个？ 【分析】分别求出在正数部分和负数部分所覆盖的整数即可． 【解答】解：（238﹣23）+（﹣51+187）＝351（个）， 答：被墨迹盖住的整数共有351个． 【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解有理数的意义是解决问题的前提． 13．画一条数轴，在数轴上表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来：﹣2.5，3，0，﹣2，+5，0.5． 【分析】根据数轴上点从左到右依次变大即可判断大小关系． 【解答】解：如图所示： 则大小关系为：﹣2.5＜﹣2＜0＜0.5＜35． 【点评】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键在于善于利用数轴进行大小比较． 14．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东跑回到自己家． （1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置； （2）求小彬家与学校之间的距离； （3）如果小明跑步的速度是250米/分钟，那么小明跑步一共用了多长时间？ 【分析】（1）根据已知画图即可； （2）列式计算即可； （3）求出路程，用路程除以速度可得答案． 【解答】解：（1）如图所示： （2）∵2﹣（﹣1）＝3（km）． ∴小彬家与学校之间的距离是3km； （3）∵2+1.5+4.5+1＝9（km），9000÷250＝36（分钟）， ∴小明跑步一共用的时间是36分钟． 【点评】本题考查数轴及正负数，解题的关键是读懂题意，列出算式． 15．阅读材料，并回答问题 如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm） 由此可得，木棒长为　5　cm． 借助上述方法解决问题： 一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄，并说明解题思路． 【分析】（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5＝15（cm），则此木棒长为5cm； （2）在求村长爷爷年龄时，借助数轴，把美羊羊与村长爷爷的年龄差看作木棒MN，类似村长爷爷比美羊羊大时看作当N点移动到A点时，此时M点所对应的数为﹣40，美羊羊比村长爷爷大时看作当M点移动到B点时，此时N点所对应的数为116，所以可知爷爷比美羊羊大[116﹣（﹣40）]÷3＝52，可知爷爷的年龄． 【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5＝15， 则此木棒长为：15÷3＝5， 故答案为：5． （2）如图， 点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示村长爷爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A、B． 由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为﹣40，当点M移动到点B时，点N所对应的数为116． 可求MN＝52． 所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64． 即美羊羊今年12岁，村长爷爷今年64岁． 【点评】此题考查了数轴，解题的关键是把村长爷爷与美羊羊的年龄差看作一个整体（木棒MN），而后把此转化为上一题中的问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$