1.3反比例函数的应用（七大题型提分练）数学湘教版九年级上册

1.3反比例函数的应用（七大题型提分练） 题型一 已知比例系数求特殊图形的面积 1.如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于点，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，掌握知识点：过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为，正确理解的几何含义是解题关键．根据的几何含义可得答案. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴于点， ∴， 故选A． 2．如图，点和点是函数的图象上，且点B在点A的右侧，则下列说法中，不正确的是（    ） A．该函数y与x之间的函数关系式为 B．矩形的面积为6 C．函数在第三象限，且y随x的增大而减小 D．b的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质．根据反比例函数图象的性质判断选项的正确性． 【详解】解：A．点是函数的点， ∴， ∴该函数y与x之间的函数关系式为，原说法正确，故该选项不符合题意； B．∵，，根据k的几何意义可得出矩形的面积为6，原说法正确，故该选项不符合题意； C．反比例函数分布在第三象限，且y随x的增大而减小，y随x的增大而减小，原说法正确，故该选项不符合题意； D．点B在点A的右侧，b的取值范围是，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 3.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与平行四边形综合，利用反比例函数的几何意义或利用设元法解决是关键．设，可表示出点坐标，便得和的长，即可得平行四边形的面积． 【详解】解：设， ∵轴，点在双曲线上，点在双曲线上， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形的面积， 故选：D． 题型二 根据图形面积求比例系数（解析式） 1.如图，点是反比例函数 图象上一点，过点作轴于点，连接，已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义解答即可求解，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵轴，， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点C在x轴上，轴，若点B的坐标为，，则k的值是（    ） A．3 B．3.5 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，设点，根据题意可得：，即可求点A坐标，代入解析式可求k的值． 【详解】解：∵轴，且点B的坐标为， ∴设点， ∵， ∴, ∴点, ∵点A在反比例函数的图象上， ∴ 故选：D． 3.如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为（     ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， 设、交于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形得判定及其面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型三 实际问题与反比例函数 1.如图，综合实践小组的同学们用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位： ）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的应用，设关于的函数解析式为，把，代入求出解析式，再把代入解析式即可得到结论．正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴该液体的密度为． 故选：C． 2.小亮新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压为时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗．台灯的电流是电阻的反比例函数,其图像如图所示．下列说法正确的是（    ） A．电流随电阻的增大而增大 B．电流与电阻的关系式为 C．当电阻为时，电流为 D．当电阻时，电流的范围为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，直接利用反比例函数图象得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、由图象知，电流随电阻的增大而减小，故此选项不符合题意； B、设反比例函数解析式为：，把代入得，则故此选项不符合题意； C、把代入得，，故此选项不合题意； D、当电阻时，电流I的范围为，故此选项符合题意， 故选：D． 3.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自去年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是 ．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案即可． 【详解】解：①、设反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：， 当时，， ∴4月份的利润为50万元，故正确，符合题意； ②、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故正确，符合题意； ③、当时，则， 解得：， 则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故错误，不符合题意． ④、设一次函数解析式为：， 则， 解得：， 故一次函数解析式为：， 故时，， 则9月份该厂利润达到200万元，故正确，符合题意． 故答案为：①②④． 题型四 反比例函数与几何综合 1.如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数与几何图形综合．正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，即由证明，，最后利用的面积列方程求解即可． 【详解】解：过作于，则四边形是矩形， ，， ． ， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去） 实数的值为3． 故答案为：3． 2.如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点D不是边的中点，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键． （1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可； （2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 根据平移性质可得点B的坐标为． （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：， ，， 线段的中点坐标为， 在反比例函数中，当时，， 点不是边的中点 题型五 一次函数与反比例函数图象综合判断 1.函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图像，弄清函数图像与相关参数的关系成为解题的关键． 由题意可得，，然后分别分析各选项，看是否存在矛盾即可解答． 【详解】解：，， A.该选项的图像要求中，则，对要求，两图像不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意； B. 该选项的图像要求中，则；对要求，两图像不存在矛盾；当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意； C. 该选项的图像要求中，则；对要求，两图像不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意； D. 该选项的图像要求中，则，对要求，两图像存在矛盾，符合题意． 故选D． 2.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或/或 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，根据，则反比例函数小于一次函数，进而结合图象得出答案． 【详解】解：如图所示：一次函数与反比例函数的图象交于点． ∴关于x的不等式的解集是或 故答案为：或． 题型六 一次函数与反比例函数的交点问题 1.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可． （2）根据函数图像即可求解． 【详解】（1）解：把的坐标代入， 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为： 把的坐标代入， 得 ∴的坐标 把，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方． ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 2.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)已知点，过点T作平行于x轴的直线交直线于点交双曲线于点．当时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题是一次函数与反比例函数交点的问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题是关键． （1）先利用点坐标确定反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式： （2）画出示意图，根据函数图象解答即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴反比例函数解析式为， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）如图所示，当时，， 或者时，， ∴的取值范围为：或． 题型七 一次函数与反比例函数的实际应用 1.某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【答案】(1)2 (2) (3)可以，证明见解析 【分析】本题主要考查正比例函数以及反比例函数的解析式，以及正比例函数以及反比例函数的应用，正确得到正比例函数以及反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用正比例函数解析式求法得出即可； （2）利用反比例函数解析式求法得出即可； （3）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：点在的图象上， ， ； （2）解：设当时，与之间的函数表达式为; 点在的图象上 ∴当时，与之间的函数表达式为； （3）解：把分别代入和，得 和， ， ∴这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 2.心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示，点B的坐标为、点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1)； (2)不合理，理由见解析． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合在实际问题中的应用，掌握“建模”思想是解题关键． （1）设所在的反比例函数的解析式为，将代入即可求解； （2）求出直线的解析式，分别求出当时，一次函数与反比例函数的自变量的值，即可作出判断． 【详解】（1）解：设所在的反比例函数的解析式为． 由题意知，解得， ∴所在的反比例函数的解析式为． （2）解：不合理．理由如下： 设直线的解析式为 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 将代入， 得， 解得； 将代入， 得，解得． ， ∴老师的安排不合理． 1.如图，直线与双曲线（）相交于点． (1)求直线及双曲线对应的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图像直接写出不等式的解集即可； （3）根据直线解析式求出点坐标，再根据代入数据计算即可． 【详解】（1）解：∵点在双曲线图象上， ， ， ∴双曲线解析式为：， ∵在直线图象上， ∴， 解得， ∴直线解析式为：． （2）根据函数图象可知，关于的不等式的解集为：或． （3）∵直线解析式为：， 令，则， 设直线与轴的交点为， ， ． 2.如图，一次函数的图象与y轴交于点，与反比例函数的图象交于点、，将直线绕点A逆时针旋转后与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求证：是等腰直角三角形． 【答案】(1)反比例函数为，一次函数为； (2)证明见解析 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用，化为最简二次根式，求得交点坐标是解题的关键． （1）由，在反比例函数的图象上，得出，即可求C的坐标和反比例函数的解析式，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）利用勾股定理分别求解，，再结合勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴反比例函数为， ∵在的图象上， ∴， ∵一次函数的图象过点B、D， ∵，， ∴，解得， ∴一次函数为； （2）∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵由旋转可得：， ∴为等腰直角三角形． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左边）． (1)求A，B两点坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点C，连接，求的面积； (3)点P为y轴上任意一点，点Q为平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）联立反比例函数与一次函数的解析式即可求解； （2）连接，作轴，轴，可得；根据可推出，据此即可求解； （3）设点，分类讨论三种情况即可求解； 【详解】（1）解：由题意得， 解得：或 ∴ （2）解：连接，作轴，轴，如图所示： 由题意得：点为的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∴ ∴ （3）解：设点 则 时， ， 解得：或 ∴或 时，此种情况不成立； 时， ， 解得： ∴ 综上所述：点Q的坐标为或或 【点睛】本题考查了一次函数 与反比例函数综合问题，涉及了交点的求解、面积问题，以及特殊四边形的存在性问题，熟记相关结论是解题关键． 4.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 (1)求和的值； (2)点为平面直角坐标系内一点， ①若的面积为，求的值； ②若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；②点坐标为或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，正确的求出函数解析式，用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）将代入，求出的值，再将点坐标代入，求出的值即可； （2）①根据题意，得到点在直线上，设直线与直线交于点，根据分割法得到，列出方程进行求解即可； ②分点在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴，； （2）①∵， ∴点在直线上， 设直线与直线交于点， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或； ②当点在上方时， ∵， ∴轴， ∴； 当点在下方时，设与轴的交点为， 则：， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∴当时，， ∴； 综上：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3反比例函数的应用（七大题型提分练） 题型一 已知比例系数求特殊图形的面积 1.如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于点，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，点和点是函数的图象上，且点B在点A的右侧，则下列说法中，不正确的是（    ） A．该函数y与x之间的函数关系式为 B．矩形的面积为6 C．函数在第三象限，且y随x的增大而减小 D．b的取值范围是 3.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 根据图形面积求比例系数（解析式） 1.如图，点是反比例函数 图象上一点，过点作轴于点，连接，已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点C在x轴上，轴，若点B的坐标为，，则k的值是（    ） A．3 B．3.5 C．5 D．7 3.如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为（     ） A．6 B．12 C．24 D．48 题型三 实际问题与反比例函数 1.如图，综合实践小组的同学们用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位： ）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ） A． B． C． D． 2.小亮新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压为时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗．台灯的电流是电阻的反比例函数,其图像如图所示．下列说法正确的是（    ） A．电流随电阻的增大而增大 B．电流与电阻的关系式为 C．当电阻为时，电流为 D．当电阻时，电流的范围为 3.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自去年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是 ．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    题型四 反比例函数与几何综合 1.如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为 ． 2.如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 题型五 一次函数与反比例函数图象综合判断 1.函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（    ）． A． B． C． D． 2.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是 ． 题型六 一次函数与反比例函数的交点问题 1.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 2.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)已知点，过点T作平行于x轴的直线交直线于点交双曲线于点．当时，直接写出t的取值范围． 题型七 一次函数与反比例函数的实际应用 1.某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 2.心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示，点B的坐标为、点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问老师的安排是否合理？并说明理由． 1.如图，直线与双曲线（）相交于点． (1)求直线及双曲线对应的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集； (3)连接，求的面积． 2.如图，一次函数的图象与y轴交于点，与反比例函数的图象交于点、，将直线绕点A逆时针旋转后与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求证：是等腰直角三角形． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左边）． (1)求A，B两点坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点C，连接，求的面积； (3)点P为y轴上任意一点，点Q为平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标． 4.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 (1)求和的值； (2)点为平面直角坐标系内一点， ①若的面积为，求的值； ②若，请直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$