三角形四心课件-2024年初升高数学教材衔接

初高中衔接 —三角形四心 安徽淮南第四中学 2023.8 1.三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. A B C E D F G 三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2:1. 连结DE，设AD、BE交于点G， D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB， △GDE和△GAB相似，且相似比为1：2， 所以AG=2GD，BG=2GE 求证重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等 A B C D E F G 已知：G为△ABC的重心,求证：S△ABG=S△BCG=S△ACG 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 2.三角形的内心 A B C 例2已知△ABC的三边长分别为BC=a, AC=b , AB=c，I为△ABC的内心，且I在△ABC的边BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F，求证： A B C D E F 证明 作△ABC的内切圆，则D、E、F分别为内切圆在三边上的切点， ∵AE、AF为圆的从同一点作的两条切线，∴AE=AF，同理，BD=BF，CD=CE. 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O为三角形ABC的重心和内心. 求证三角形ABC为等边三角形. A B C D O 证明 如图，连AO并延长交BC于D. ∵O为三角形的内心，故AD平分∠BAC， ∵O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC. 即AB=AC.同理可得，AB=BC. △ABC为等边三角形. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. 3.三角形的垂心 A B C H A B C A B C H H 如图，△ABC的垂心为H,求证：AF·AB=AH·AD=AE·AC A B C H E F D 三角形的三条边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等． 4.三角形的外心 A B C 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边上的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部 5.常用的有关定理 ①三角形的内角平分线性质定理 已知AD平分∠BAC，则 . A B C D E F ②三角形的中线定理. 平行四边形对角线的平方和等于四边平方和. A B C D AD为△ABC的中线，则 E ③直角三角形的射影定理 在直角三角形ABC中，∠BAC为直角，AD⊥BC,则 A B C D 可以通过两直角三角形的相似来证明 $$