湖北省钟祥市第一中学2023-2024学年高一下学期创新班数学周练（6）

钟祥一中2023级高一创新班数学周练（6）(数学) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则等于(    ) A. 10 B. C. 3 D. 2.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知，，，那么M，N，P之间的大小顺序是(    ) A. B. C. D. 4.函数的部分图像大致为(    ) A. B. C. D. 5.设复数，，则 (    ) A. i B. C. 1 D. 6.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛C，若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程单位：海里分别为(    ) A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东 7.如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为是扇形内部包括边界任意一点，若，那么的最大值是(    ) A. 2 B. C. 4 D. 8.在中，点D为AC边上的中点，点E满足，点P是直线BD，AE的交点，过点P做一条直线交线段AC于点M，交线段BC于点其中点M，N均不与端点重合设，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知复数，下列结论正确的有(    ) A. B. 若，则 C. D. 10.已知锐角三个内角A，B，C 的对应边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是(    ) A. 的面积最大值为2 B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 11.已知函数，若方程有四个不等的实根，，，且，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在中，，则_____. 13.设函数是定义域为R的奇函数，且，都有当时，，则函数在区间上有________个零点． 14.在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且的面积，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 设复数 若是实数，求 若是纯虚数，求 16.本小题12分 在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，， 当时，求的值； 当时，求的值； 求的取值范围． 17.本小题12分 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 求A； 若点D是BC上的点，AD平分，且，求面积的最小值． 18.本小题12分 已知函数， 若的最小值为，求实数a的值； 当时，若，，都有成立，求实数m的取值范围． 19.本小题12分 已知函数，若对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，就称函数满足性质 已知，判断是否满足性质P，并说明理由； 若满足性质P，且定义域为 ①已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由； ②若在上单调递增，判定并证明在上的单调性． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积，属于基础题 【解答】 解：，， 所以 故选 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面内所对应的点的坐标，则答案可求． 【解答】 解：由题意得：， 则复数在复平面内所对应的点的坐标为：，位于第二象限． 故选： 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查三角恒等变换的综合应用，利用三角函数的单调性比较大小，属于中档题. 利用两角和与差的正弦公式化简M，N，根据正弦函数的性质比较M，N的大小，利用两角和与差的正切公式化简P，再进行比较，即可求解. 【解答】 解：， ， ， 所以 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性，属于基础题. 由已知中函数的解析式，分析出函数的定义域，奇偶性，及当时，函数值，利用排除法可得答案. 【解答】 解：函数定义域为R，关于原点对称，且  为偶函数，图象关于y轴对称，排除A，B， 当时，，，，则，则，排除C， 故选 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查复数的四则运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题． 利用复数代数形式的乘除运算化简，代入求解． 【解答】 解：， 又因为，对任意的k、，， 而， 因此， 故选： 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，属于中档题. 在中，，，，故可由余弦定理求出边AC的长 度，在中，可由正弦定理建立方程，求出 【解答】 解：根据题意知，在中，，海里，海里， 所以 ， 所以海里. 又， 所以， 又因为为锐角， 所以， 所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里. 故选 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查三角函数的最值和平面向量的坐标运算，属于中档题． 由题建立平面直角坐标系，再由平面向量的坐标运算得到关于的三角函数，最后求三角函数的最值即可． 【解答】 解：以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设扇形AOB的半径为r，则、， 设点， 因为， 所以，，所以，， 所以，， 因为，则， 当且时，取得最大值 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了向量的加法，减法，数乘运算，三点共线，属于中较难题. 由题意作交BD于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【解答】 解：作交BD于F，连接CP，则∽，故， 由于点D为AC边上的中点，故， ，故，又∽，故， 故， 则 ， 由于，，故， 因为三点共线，故， 所以，    当且仅当，结合，即时等号成立， 即的最小值为， 故选： 9.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，以及复数的计算.属于中档题. 利用共轭复数的定义判断选项A，由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项B，由复数模的运算性质判断选项C，举反例判断选项 【解答】解：设，，a，b，c，， 对于A，， ，故选项A正确； 对于B，因为， 则，所以或都满足题意， 所以，中只要有一个为0即可，故选项B错误； 对于C，由复数模的运算性质可知， ， ， ， 故选项C正确； 对于D，时，，，D错误. 故选： 10.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查解三角形、三角恒等变换和三角函数的性质，涉及向量的数量积和基本不等式的应用，属于一般题. A选项，由余弦定理和基本不等式求出面积的最大值选项，由正弦定理得到，结合平面向量数量积公式得到，根据为锐角三角形得到，从而得到的取值范围选项，由正弦定理和正弦和角公式可得选项，变形得到，由，求出答案. 【解答】 解：A选项，由余弦定理得，即， 所以，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 此时为锐角三角形，满足要求， 故，解得，故，A错误; B选项，由正弦定理得，得， ， 因为为锐角三角形，所以，，解得， 则，， 则，B正确; C 选项，， 由正弦定理得，C正确; D选项，， 由C选项可知，所以， 故，D正确. 11.【答案】AC  【解析】【分析】 本题主要考查了方程根的个数问题，涉及分段函数的图象，余弦函数的性质，属于较难题. 作出函数的图象，结合图象，可判定A；根据，由对数式的运算，可判定B；由，关于直线对称，得到，结合二次函数的性质可得的范围，可判定C；由，，结合不等式的性质可 判定 【解答】 解：作出的图象，如图所示， 显然，要使有四个不等的实根，则，A正确； 由图可知，，，则， 由，可得， 即，故，B错误； 由图可得，， 令，则， 则，关于直线对称，所以，故， 则， 又，则， 故，C正确； 当时，，令，可得， 所以， 又由图象可知，，同增同减， 所以，故D错误. 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用余弦定理解三角形和利用正弦定理解三角形，是基础题. 由正弦定理得  ，不妨设  ，则  ，  ，由余弦定理得，即得C，可得的值. 【解答】 解：因为  ， 由正弦定理得  ， 不妨设  ，则  ，  ， 由余弦定理得 ， 因  ，所以  ，  ， 故答案为： 13.【答案】6  【解析】【分析】 本题考查函数性质及函数的零点，属于中档题. 根据已知条件，得函数的周期性与对称性，根据零点存在定理，研究函数在上的零点情况，结合奇函数定义的，从而可得函数大致图像，由图像即可得零点个数. 【解答】 解：由题意，函数，，则，可得， 即函数的周期为4， 且的图象关于直线对称． 当时，， 因为与在上都为增函数， 所以在上为增函数， 又，，即， 所以函数在上有一个零点，即函数在内有且只有一个零点， 由是定义域为R的奇函数，得， 则的大致图像如图所示， 则由图象可知零点个数为6个． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及辅助角公式，考查三角函数的性质，属于中档题. 由余弦定理及三角形面积公式得，由正弦定理、余弦定理得，由正弦定理可得 ，，则，利用三角函数的性质即可求解. 【解答】解：在中，由余弦定理及三角形面积公式得：  ， 可得，而，则； 又， 由正弦定理、余弦定理得， ，化简得； 由正弦定理有：， 即，， 中，则，  因此 ， 由得：，  所以 故答案为 15.【答案】解：是实数， ，， ， ； 是纯虚数， 即，  【解析】本题考查复数的基本运算和性质，考查复数的有关概念，属于基础题. 由题意，直接运用复数的四则运算法则先求a，再求； 已知为纯虚数，化简即可得 16.【答案】解：在直角梯形ADCD中，，， 因为，所以，在等腰直角中，， 故 ， 当时，， 设，，得 ， ， 不共线， 则，解得，即 ，， 所以， ， 由题意知，， 所以，当时，取到最小值， 当时，取到最大值 故的取值范围是   【解析】本题考查向量的模，向量的数量积，属于中档题， 根据得到，进而求出， 根据向量相等列出不等式组，求出x，y的值，求出的值； 根据二次函数的性质求出的取值范围． 17.【答案】解：由题意知 中，  ， 故  ，即  ， 即  ， 所以  ，而  ， 故  ，即  ， 又  ，故  ； 由于点 D 是 BC 上的点， AD 平分  ，且  ， 则  ， 由  ，得  ， 即  ，则  ，当且仅当  时取等号， 故  ，当且仅当  时取等号， 所以  ，即  面积的最小值为  .   【解析】本题主要考查了正弦定理以及三角形的面积公式，涉及两角和与差的三角函数公式，同角三角函数的基本关系以及基本不等式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 利用正弦定理将边向角转化，然后利用两角和与差的三角函数公式以及同角三角函数关系可得答案； 由三角形的面积公式，可得，然后利用基本不等式可得答案. 18.【答案】解：函数  ， 令  ，  ，所以  ，  ， ①当  ，即  时，  ，解得  ， ②当  ，即  时，  舍去 综上所述，实数 a 的值为  . 当  时，对  ，  ，都有  成立， 则  . 由可知  时，  ， 所以  . 则  在  恒成立， 即  在  恒成立， 则  在  恒成立． 令  ，  ，则  ， 因为  在  单调递增，所以  ， 所以  ， 所以  ， 综上所述，实数 m 的取值范围为  .   【解析】【分析】 本题主要考查二次函数性质，不等式恒成立问题，属于较难题. 由题意通过换元法，转换为定区间动轴的二次函数最值问题，对对称轴位置分类讨论即可求解. 由题意首先将原问题转换为  在  恒成立，进一步  在  恒成立．通过换元法求得  即可. 19.【答案】解：因为不恒成立， 所以不满足性质P； ①当时，， 此时， 又当时，，所以， 所以； 假设方程有正整数解n， 则， 要使上式能成立，则必有，，， 所以， 明显为单调递增函数， 又当时，， 当时，， 故方程没有正整数解； ②证明：任取，则， 则， 因为在上单调递增，且， 所以， 所以， 即 所以在上单调递增．  【解析】本题考查函数的单调性的性质以及应用，注意性质P的含义，属于中档题． 直接根据性质P列式计算验证即可； ①通过可求得函数的解析式，先假设方程有正整数解，然后列方程找到矛盾即可； ②任取，计算判断的正负即可证明． 第23页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $$