概率模型的辨识与应用 课件-2025届高三数学一轮复习

教考衔接9⇒概率模型的辨识与应用 典例展示 【例】　写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分 布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ 高中总复习·数学（提升版） （1） X 1表示 n 次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数； 解：X 1的分布列为 X 1 0 1 2 … n P · ​ · ​ · ​ … · ​ X 1服从二项分布，即 X 1～ B . 高中总复习·数学（提升版） （2） X 2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和； 解：X 2的分布列为 X 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ X 2既不服从二项分布，也不服从超几何分布. 高中总复习·数学（提升版） （3）有一批产品共有 N 件，其中次品有 M 件（ N ＞ M ＞0），采用有 放回抽取方法抽取 n 次（ n ＞ N ），抽出的次品件数为 X 3； 解：X 3的分布列为 X 3 0 1 2 … n P ​ · · ​ … ​ X 3服从二项分布，即 X 3～ B . 高中总复习·数学（提升版） （4）有一批产品共有 N 件，其中 M 件为次品，采用不放回抽取方法 抽 n 件，出现次品的件数为 X 4（ N － M ≥ n ＞0）. 解：X 4的分布列为 X 4 0 1 … k … n P ​ ​ … ​ … ​ X 4服从超几何分布. 高中总复习·数学（提升版） 解法探究 二项分布与超几何分布模型的辨识一直是学生的难点，在有放回抽样 时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同 的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.而不放回抽 样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同 的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何分布模 型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样. 高中总复习·数学（提升版） 五种常见的概率模型及应用 模型1　相互独立事件的概率模型 【例1】　（2024·大连模拟）现有甲、乙两人进行乒乓球比赛， 比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分，先得11分者 该局获胜. 高中总复习·数学（提升版） （1）已知某局比赛中双方比分为8∶8，此时甲先连续发球2次，然后 乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时乙得分 的概率为 ，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11∶9获胜 的概率； 解：设事件 A ＝“在比分为8∶8的条件下甲以11∶9获 胜”，则 P （ A ）＝2× . 高中总复习·数学（提升版） （2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛 甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且每局比赛的结果相互 独立.两人又进行了 X 局后比赛结束，求 X 的分布列与数学期望. 高中总复习·数学（提升版） 解：随机变量 X 的所有可能取值为2，3，4，5， P （ X ＝2）＝ ， P （ X ＝3）＝ ， P （ X ＝4）＝（ ）4＋ ×（ ）2× ， P （ X ＝5）＝ ×（ ）3＝ ， 高中总复习·数学（提升版） 所以 E （ X ）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× . X 2 3 4 5 P ​ ​ ​ ​ 所以随机变量 X 的分布列为 高中总复习·数学（提升版） 反思感悟 相互独立事件概率模型的特征 （1）实际问题中所涉及的若干事件中每一个是否发生互不影响； （2）因 A 1， A 2，…， An 相互独立，则满足 P （ A 1· A 2… An ）＝ P （ A 1） P （ A 2）… P （ An ）； （3）求解相互独立事件的概率问题时，常涉及互斥、对立事件的概 率求值. 高中总复习·数学（提升版） 模型2　条件概率模型 【例2】　为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了 生物科技小组，在同一块试验田内交替种植 A 、 B 、 C 三种农作物 （该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农 作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植 A 后会有 的可能性种植 B ， 的可能性种植 C ；在每次种植 B 的前提下再种植 A 的概率为 ， 种植 C 的概率为 ；在每次种植 C 的前提下再种植 A 的概率为 ，种植 B 的概率为 . 高中总复习·数学（提升版） （1）在第一次种植 B 的前提下，求第三次种植 A 的概率； 解：设 Ai ， Bi ， Ci 表示第 i 次种植农作物 A ， B ， C 的事件，其 中 i ＝1，2，3.在第一次种植 B 的情况下，第三次种植 A 的概率为 P （ A 3）＝ P （ C 2｜ B 1） P （ A 3｜ C 2）＝ . 高中总复习·数学（提升版） （2）在第一次种植 A 的前提下，求种植 A 作物次数 X 的分布列及 期望. 解：由已知条件，得在第1次种植 A 的前提下 P （ B 2）＝ ， P （ A 3｜ B 2）＝ ， P （ C 3｜ B 2）＝ ， P （ C 2）＝ ， P （ A 3｜ C 2）＝ ， P （ B 3｜ C 2）＝ ， 因为第一次必种植 A ，则随机变量 X 的可能取值为1，2， P （ X ＝1）＝ P （ C 2 B 3）＋ P （ B 2 C 3）＝ P （ B 3｜ C 2）· P （ C 2） ＋ P （ C 3｜ B 2）· P （ B 2）＝ ， 高中总复习·数学（提升版） P （ X ＝2）＝ P （ C 2 A 3）＋ P （ B 2 A 3）＝ P （ A 3｜ C 2）· P （ C 2） ＋ P （ A 3｜ B 2）· P （ B 2）＝ ， 所以 X 的分布列为 X 1 2 P ​ ​ E （ X ）＝1× ＋2× . 高中总复习·数学（提升版） 反思感悟 求条件概率的常用方法 （1）定义法： P （ B ｜ A ）＝ ； （2）样本点法： P （ B ｜ A ）＝ ； （3）缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典 概型求解. 高中总复习·数学（提升版） 模型3　二项分布概率模型 【例3】　国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我买 单”促销活动，顾客消费满300元（含300元）可抽奖一次，抽奖方案 有两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球 4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元. 高中总复习·数学（提升版） 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个， 白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，若摸出2 个红球，1个白球，则享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球， 则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余 情况不打折. 高中总复习·数学（提升版） （1）某顾客恰好消费300元，并选择方案一抽奖，求他实付金额的分 布列和期望； 解：设该顾客的实付金额为 X 元，则 X 的所有可能取值为 0，100，200，300， P （ X ＝0）＝（ ）3＝ ， P （ X ＝100）＝ （ ）2× ， P （ X ＝200）＝ ×（ ）2＝ ， P （ X ＝300）＝（ ）3＝ ， 高中总复习·数学（提升版） X 0 100 200 300 P ​ ​ ​ ​ 所以 E （ X ）＝0× ＋100× ＋200× ＋300× ＝240 （元）. 故 X 的分布列为 高中总复习·数学（提升版） （2）若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽 奖方案更合适. 解：若选择方案一，设摸到红球的个数为 Y ，实付金额为φ元， 则φ＝500－100 Y ， 由题意可得 Y ～ B （3， ），故 E （ Y ）＝3× ， 所以 E （φ）＝ E （500－100 Y ）＝500－100 E （ Y ）＝500－60＝440 （元）. 若选择方案二，设实付金额为η元，则η的所有可能取值为0，250， 375，500， 高中总复习·数学（提升版） P （η＝0）＝ ， P （η＝250）＝ ， P （η＝375）＝ ， P （η＝500）＝1－ . 故η的分布列为 η 0 250 375 500 P ​ ​ ​ ​ 高中总复习·数学（提升版） 所以 E （η）＝0× ＋250× ＋375× ＋500× ≈466.67（元）. 因为 E （φ）＜ E （η）. 故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合适. 高中总复习·数学（提升版） 反思感悟 二项分布概率模型的特征 （1）在每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生； （2）各次试验中的事件是相互独立的； （3）在每一次试验中，事件发生的概率与不发生的概率都保持不变. 高中总复习·数学（提升版） 模型4　超几何分布概率模型 【例4】　已知条件①采用无放回抽取，条件②采用有放回抽取，在 上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上并作答，选两 个条件作答的按条件①的解答计分. 问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相 同，若 　　　　，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红 球的个数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 高中总复习·数学（提升版） 解：若选①，由题意，随机变量 X 的所有可能取值为0，1，2，3， P （ X ＝0）＝ ， P （ X ＝1）＝ ， P （ X ＝2）＝ ， P （ X ＝3）＝ ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 高中总复习·数学（提升版） 法一　所以 E （ X ）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× . 法二　因为 X 服从超几何分布，且 N ＝7， M ＝3， n ＝3，所以 E （ X ）＝ . 若选②，由题意，随机变量 X 的所有可能取值为0，1，2，3，且 X ～ B （3， ）， 高中总复习·数学（提升版） 所以 P （ X ＝0）＝ （1－ ）3＝ ， P （ X ＝1）＝ ×（1－ ）2＝ ， P （ X ＝2）＝ ×（ ）2×（1－ ）＝ ， P （ X ＝ 3）＝ （ ）3＝ ， 高中总复习·数学（提升版） 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ E （ X ）＝3× . 高中总复习·数学（提升版） 反思感悟 超几何分布概率模型的特征 （1）实际问题所描述的事件只包含两个结果（发生与不发生），每 进行一次上述抽取都不是原来的重复（再次抽取时，都与上次 条件发生了变化）； （2）每次抽取中同一事件发生的概率都不同； （3）实际问题中随机变量为抽到某类个体的个数； （4）该问题属于不放回抽取问题. 高中总复习·数学（提升版） 模型5　正态分布概率模型 【例5】　（2024·广州一模）世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5 小时的中等强度运动.已知 A 社区有56％的居民每周运动总时间超过5 小时， B 社区有65％的居民每周运动总时间超过5小时， C 社区有70％ 的居民每周运动总时间超过5小时，且 A ， B ， C 三个社区的居民人数 之比为5∶6∶9. 高中总复习·数学（提升版） （1）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超 过5小时的概率； 解：因为 A ， B ， C 三个社区的居民人数之比为5∶6∶9， 设 A ， B ， C 三个社区的居民人数分别为5 a ，6 a ，9 a ， 所以 A 社区每周运动总时间超过5小时的人数为5 a ·56％＝2.8a ， B 社区每周运动总时间超过5小时的人数为6 a ·65％＝3.9 a ， C 社区每周运动总时间超过5小时的人数为9 a ·70％＝6.3 a ， 该居民每周运动总时间超过5小时的概率 P 1＝ ＝ 0.65. 高中总复习·数学（提升版） （2）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量 X （单 位：小时），且 X ～ N （5.5，σ2）.现从这三个社区中随机抽取3 名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率. 高中总复习·数学（提升版） 解：因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量 X （单位：小时），且 X ～ N （5.5，σ2）， 所以 P （ X ＞5.5）＝0.5，由（1）知， P （ X ＞5）＝0.65， 所以 P （5＜ X ＜5.5）＝0.65－0.5＝0.15， 因为随机变量 X 服从正态分布，且关于 X ＝5.5对称， 所以 P （5＜ X ＜6）＝2 P （5＜ X ＜5.5）＝0.3， 所以从这三个社区中随机抽取3名居民，至少有两名居民每周运动总 时间为5至6小时的概率为： P 2＝ ×（0.3）2×0.7＋ ×（0.3）3＝0.216. 高中总复习·数学（提升版） 反思感悟 正态分布概率模型的特征 （1）一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次 的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似地服从正态分布.正 态分布是最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布. 如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等； （2）解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练 掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ ＋3σ]三个区间内的概率.在此过程中用到转化和数形结合思想. 高中总复习·数学（提升版） 高考还可这样考 　（2024·惠州一模）第19届亚运会于2024年9月23日至10月8日在杭 州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务亚运、奉献亚运的浓 厚氛围，举办了“心心相融·爱答亚运”知识挑战赛.挑战者向守擂者 提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答 错，则另一方自动获胜.若赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每 次答对问题的概率都是 ，且每次答题互不影响. （1）若在不多于两次答题就决出胜负的情况下，则挑战者获胜的概 率是多少？ 高中总复习·数学（提升版） 解：设事件 A 为“挑战者获胜”，事件 B 为“不多于两次 答题就决出胜负”，则 P （ B ）＝ ， 又事件 AB 为“不多于两次答题就决出胜负且挑战者获胜”，即 只有“挑战者答对，守擂者答错”这一种情况，则 P （ AB ）＝ ，所以 P （ A ｜ B ）＝ . 高中总复习·数学（提升版） （2）在此次比赛中，挑战者最终获胜的概率是多少？ 解：法一　设挑战者最终获胜的概率为 P ，则 P ＝ P ，解得 P ＝ . 法二　我们假设挑战者和守擂者依次答题一次为一轮，在比赛中挑战 者最终获胜的概率为 P ，在第 n 轮答题时挑战者答对且守擂者答错的 概率为 Pn ，则 P ＝ P 1＋ P 2＋…＋ Pn ＋…，且 P 1＝ ， Pn ＝ Pn －1× . 高中总复习·数学（提升版） 所以数列{ Pn }是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 Pn ＝（ ） n ， 所以 P 1＋ P 2＋…＋ Pn ＝ ［1－（ ） n ］，当 n →＋ ∞时，（ ） n →0， 所以可认为 P ＝ . 高中总复习·数学（提升版） （3）现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战全部8位守擂者， 以（2）中求得的挑战者最终获胜的概率作为挑战者面对每个守 擂者的获胜概率，每次挑战之间相互独立，若最终统计结果是 挑战者战胜了超过三分之二的守擂者，则称该挑战者挑战成 功，反之则称挑战者挑战失败.若再增加1位守擂者，试分析该挑 战者挑战成功的概率是否会增加？并说明理由. 高中总复习·数学（提升版） 解：设随机变量 X 为挑战者连续挑战8位守擂者时能够战胜守擂者的 人数， p 1为此时挑战者挑战成功的概率，因为守擂者有8位，所以挑战者要想挑战成功，至少需要战胜6位守擂者，即 p 1＝ P （ X ≥6）；设 Y 为挑战者连续挑战9位守擂者时能够战胜守擂者的人数， p 2为此时挑战者挑战成功的概率，因为守擂者有9位，所以挑战者要想挑战成功，至少需要战胜7位守擂者，即 p 2＝ P （ Y ≥7）. 高中总复习·数学（提升版） 故 p 1＝ P （ X ≥6）＝ （ ）6×（ ）2＋ （ ）7×（ ）1＋ （ ）8＝ ， p 2＝ P （ Y ≥7）＝ （ ）7×（ ）2＋ （ ）8×（ ）1＋ （ ）9＝ . 显然， p 1＞ p 2，即该挑战者挑战成功的概率没有增加. 高中总复习·数学（提升版） 感 谢 观 看! $$