专题01 二次函数的图象与性质 小综合仿真测试-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

专题01 二次函数的图象与性质 小综合仿真测试 目录 01 仿真测试 02 能力提升 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（       ） A． B． C． D． 3．将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．与轴交于点 C．与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小 5．抛物线关于轴对称后，所得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 8．设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 10．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值 C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 二、填空题 11．已知函数，当x 时，y随x的增大而增大． 12．如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ． 13．若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ． 14．如果一个二次函数的图象顶点是原点，且它经过平移后能与的图象重合，那么这个二次函数的解析式是 ． 15．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ． 16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ． 三、解答题 17．如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 18．如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 19．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值． 20．已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 21．已知二次函数（为常数）的图象经过两点． (1)已知，求该二次函数的表达式． (2)当该二次函数图象经过点时． ①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)； ②若，求的取值范围． 22．综合与实践 问题情境：求方程的解，就是求二次函数的图象与轴交点的横坐标、为了估计这个方程的解，圆圆先取了6个自变量满足且，再分别算出相应的值．列表得： 的值 的值 1 0.71 0.44 0.19 0.04 操作判断：（1）求的值． 实践探究：（2）为了分析函数值的变化规律，圆圆将表格中得到的函数值逐个作差． 如，，得到如下数据，，，，，通过计算，圆圆发现自己由于粗心算错了其中的一个函数值，请指出算错的是哪一个值，正确的是多少? 问题解决：（3）对于一般的二次函数，为常数的函数值变化进行如下研究： 的值 的值 将表格中得到的函数值逐个作差，发现函数值的差与自变量满足某种函数关系，请写出你的发现过程以及发现结论． 23．已知抛物线过点．    (1)若时，求a的值； (2)如图1，顶点M在第一象限，B、C是抛物线对称轴l上的两点，且，在直线l右侧以BC为边作正方形，点E恰好在抛物线上． ①求的值； ②试判断点E和点A是否关于直线l对称？如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例． ③如图2，作直线，请说明直线CE始终在抛物线的上方（除E点外）． 一、单选题 1．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，顶点坐标为．对于下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程无实数根，则；④）（其中）﹔⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有（    ） A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤ 2．如图，抛物线与直线交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点P经过的路程为（    ）    A．6 B． C． D． 3．如图，曲线由抛物线与组成，其中两条抛物线交点的横坐标为3，过点作直线轴，当时，直线与曲线至少存在两个交点，则的最小值（    ） A．9 B．6 C． D． 4．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ）    A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6 C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8 5．定义一种新运算：，下列说法： ①若，则，； ②若，则该不等式的解集为； ③代数式取得最小值时，；④函数，函数，当时，． 以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．如图，将二次函数y=x2-m（其中m＞0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+b的图象记为y2，则以下说法： ①当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1； ②当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜； ③当m=-b时，y1与y2一定有交点； ④当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）． 其中正确说法的序号为 ． 7．函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值是 ． 三、解答题 8．在平面直角坐标系中，二次函数（，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m． (1)当，求图象G的最低点坐标； (2)平面内有点．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行． ①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标； ②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，连接，过点作的平行线交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点． (1)如图1，点为直线上方的抛物线的图象上一点，当面积最大时，在直线上有一个动点M，在直线上有一个动点N，且，求的最小值及此时点的坐标； (2)如图2，将绕点O顺时针旋转至的位置，点B、C的对应点分别为、，且，与轴交于点R，点S是抛物线对称轴上的一个动点，将沿直线翻折为，则能否为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点S的坐标；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 8 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数的图象与性质 小综合仿真测试 目录 01 仿真测试 02 能力提升 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【解析】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 2．在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的开口大小是由a的绝对值决定的，绝对值越小，开口越大，即可求解． 【解析】解：∵， ∴同一水平线上开口最大的抛物线是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的开口大小是由a的绝对值决定的是解题的关键． 3．将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质平移，根据上加下减，左加右减进行计算化简，即可作答． 【解析】解：∵将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴得抛物线的表达式是， 即 故选：D． 4．关于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．与轴交于点 C．与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象与性质即可得出答案． 【解析】解：A．对称轴为直线，原说法错误，故该选项不符合题意； B．另，，与轴交于点，原说法错误，故该选项不符合题意； C．当时，即，化为，且，方程两个不相等的实数根，∴抛物线与轴有两个交点，故该选项不符合题意； D．∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5．抛物线关于轴对称后，所得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象关于坐标轴对称规律，二次函数的图象及性质，理解函数图象关于轴对称是将解析式中变换为是解题的关键． 【解析】解：对称后开口方向和与轴的交点坐标都没有发生改变， 抛物线关于轴对称后为 ， 故选：B． 6．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【解析】解：由题意得：二次函数图象的开口向下，对称轴为直线, ∵当时，随的增大而减小， ∴ 故选：C 7．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【解析】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 8．设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【解析】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故C选项错误； 如图所示，若，则， 故B选项正确，D选项错误； 故选：B 9．抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对进行判断；根据抛物线与一元二次方程的关系，可对进行判断；根据抛物线的对称轴可对C进行判断；根据当时，可对D进行判断． 【解析】解：抛物线开口方向向上，对称轴为， ，， ，， 故选项C不符合题意； 抛物线轴的交点在轴负半轴， ， ， 故选项A不符合题意； 抛物线与x轴有两个交点， 一元二次方程有两个根， 即， 故选项B不符合题意； ∵抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为， ∴当时，， 故选项D符合题意． 故选：D． 10．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值 C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质和一次函数的性质．利用二次函数的性质表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质求解． 【解析】解：由题意得二次函数，开口向下，且对称轴为， 当时，y随x增大而增大，， 即是m的一次函数， ∵，则， ∴一次函数呈上升趋势． 则有最小值，没有最大值． 故选：C． 二、填空题 11．已知函数，当x 时，y随x的增大而增大． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由解析式得对称轴为直线，再由即可求解；理解二次函数的性质是解题的关键． 【解析】解：抛物线的对称轴为直线， ， 当时， y随x的增大而增大； 故答案：． 12．如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题抛物线的性质，能判断出抛物线开口向下是解题的关键．由已知条件得抛物线开口向下，得到，即可求出a的取值范围． 【解析】解：抛物线（a为常数）恒过点，且经过了平面直角系的四个象限， 抛物线开口向下， ， 解得：， 故答案：． 13．若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数最值、二次函数的性质，二次函数有最低点，抛物线的开口向上是解题的关键． 根据原点是抛物线的最低点，则抛物线必须开口向上，可得，即可解答． 【解析】解：解：点是是抛物线的最低点， ． 故答案为：． 14．如果一个二次函数的图象顶点是原点，且它经过平移后能与的图象重合，那么这个二次函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变形的性质是解答此题的关键． 先设原抛物线的解析式为，再根据经过平移后能与抛物线重合可知，即可得出这个二次函数的解析式是． 【解析】解：先设原抛物线的解析式为， 经过平移后能与的图象重合， ， 这个二次函数的解析式可以是． 故答案为：． 15．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据二次函数，当时，随着的增大而减小，可以得到，然后求解即可． 【解析】解：二次函数， ∴开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随着的增大而减小， ， 解得， 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴交点，待定系数法求函数解析式，注意分类讨论思想的应用． 先求出A、B两点坐标，再分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，根据，分别求得点C坐标，然后用等定系数法求得直线的解析式为，把点C坐标分别代入求解即可． 【解析】解：令，则， ∴， ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴点纵坐标为， 当时，， 解得：，， ∴， ∴， ∵， 当点C在线段上时， ∴，， ∴， 当点C在线段延长线上时， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴， 把代入，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 综上，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 17．如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 【答案】(1)点，点． (2)27 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出点的横坐标，然后代入二次函数解析式计算求出点的纵坐标，从而得解，再根据对称性写出点的坐标 （2）根据点A、B的坐标直接求出三角形的面积． 【解析】（1） 轴，， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 点、关于轴对称， 点． （2） 点，点． ， 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性和二次函数图象上点的坐标特征． 18．如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【解析】（1）解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 19．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解； （2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值． 【解析】（1）解：把点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为： （2）抛物线向下平移n个单位后得：， 把点代入得： 解得： 即n的值为1． 【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键． 20．已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答． （2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答． （3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可 【解析】（1）解：依题意，把代入 得出 则对称轴， 把代入， 得出， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上 ∴， ， ∵， ∴， 则， 解得； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴该函数的开口向上， ∴该函数的对称轴为， 则把代入， 得出， ∴的最小值为． 21．已知二次函数（为常数）的图象经过两点． (1)已知，求该二次函数的表达式． (2)当该二次函数图象经过点时． ①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①直线，；② 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数求最值等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）①该二次函数图象经过和可得对称轴为直线，进而得到，再采用配方法即可解答；②分和两种情况分别根据二次函数的性质即可解答． 【解析】（1）解：把分别代入， 得，解得． 该二次函数表达式为． （2）解：①该二次函数图象经过和 对称轴为直线． ∴，解得：， ，最小值为．     ②当时，，符合要求； 当时，关于对称轴的对称点为， ，而在对称轴右侧，随的增大而增大． ， ． 故的取值范围是． 22．综合与实践 问题情境：求方程的解，就是求二次函数的图象与轴交点的横坐标、为了估计这个方程的解，圆圆先取了6个自变量满足且，再分别算出相应的值．列表得： 的值 的值 1 0.71 0.44 0.19 0.04 操作判断：（1）求的值． 实践探究：（2）为了分析函数值的变化规律，圆圆将表格中得到的函数值逐个作差． 如，，得到如下数据，，，，，通过计算，圆圆发现自己由于粗心算错了其中的一个函数值，请指出算错的是哪一个值，正确的是多少? 问题解决：（3）对于一般的二次函数，为常数的函数值变化进行如下研究： 的值 的值 将表格中得到的函数值逐个作差，发现函数值的差与自变量满足某种函数关系，请写出你的发现过程以及发现结论． 【答案】（1）；（2）算错的值是0.04，正确的值是；（3）发现过程见解析，发现结论：与是一次函数关系 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据所给数值判断出函数值的变化规律是解此题的关键． （1）把代入，得：，求出相应的的值，再根据函数值的变化选择合适的的值即可； （2）作差后的前三个数据，，分别是前一个数的基础上增加，第四个不是，则猜测第五个函数值错了，设第五个函数值为，根据题意列出方程，解方程即可得出答案； （3）设函数值的差为，若自变量为，则和相邻的自变量为，分别求出函数值，作差即可得出，从而得出答案． 【解析】解：（1）把代入，得：， 解得：，， 二次函数的对称轴为直线， 当时，随着的增大而减小， 观察图表可得：随着的增大而减小， ， ； （2）作差后的前三个数据，，分别是前一个数的基础上增加，第四个不是， 猜测第五个函数值错了， 设第五个函数值为， ， 解得：， 第五个函数值错了，应该是； （3）设函数值的差为， 猜测：与是一次函数关系， 若自变量为，则函数值为：， 和相邻的自变量为，则函数值为， ， 为常数，且，， 与是一次函数关系． 23．已知抛物线过点．    (1)若时，求a的值； (2)如图1，顶点M在第一象限，B、C是抛物线对称轴l上的两点，且，在直线l右侧以BC为边作正方形，点E恰好在抛物线上． ①求的值； ②试判断点E和点A是否关于直线l对称？如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例． ③如图2，作直线，请说明直线CE始终在抛物线的上方（除E点外）． 【答案】(1) (2)①；②点E和点A关于直线l对称，理由见解析；③见解析 【分析】（1）将点代入，可求出a的值； （2）①由点A的坐标可得，即可求出答案； ②由正方形的性质得出，轴，设，则，，求出点E的坐标，即可得出结论； ③由待定系数法求出直线的解析式为，在x轴上取一点，过点G作轴，分别与直线，抛物线交于点K、H，求出，当时，即时，，此时点E，H，K是同一个点，当时，即时，，此时点K在点H的上方，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵， ∴二次函数表达式设为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； （2）解：①∵抛物线过点， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴； ②点E和点A关于直线l对称，理由如下： ∵抛物线的对称轴为，四边形为正方形， ∴，轴， 设，则，， ∴， ∴，，， ∵E恰好在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，对称轴为， ∴点E和点A关于直线l对称． ③，， 设直线的解析式为， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 在x轴上取一点，过点G作直线轴，分别与直线，抛物线交于点K，H，    由题意知，，，， 则 ． 当时，即时，，此时点E，H，K是同一个点； 当时，即时，，此时点K在点H的上方． 所以直线始终在抛物线上方（除E点外）． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、二次函数的性质和轴对称的性质，解题的关键是会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形的性质，会运用方程的思想解决问题． 一、单选题 1．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，顶点坐标为．对于下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程无实数根，则；④）（其中）﹔⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有（    ） A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题，掌握二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键． 根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可． 【解析】解：抛物线开口方向向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上， ∴， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把代入，可得：，故②正确； ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴二次函数的图象与直线无交点， ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口方向向下， ∴，故③正确； ， ， ， 又，， ， 即（其中，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， 可知二次函数，在时，随的增大而减小， ， ，故⑤错误， 正确的有②③④， 故选：A． 2．如图，抛物线与直线交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点P经过的路程为（    ）    A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后的解析式为，再根据点P在直线，直接把代入得到点P的纵坐标与a的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可. 【解析】解：由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位， 设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后的解析式为 令时，则 ， ∴当时，， ∵， ∴当时，，当时，， ∴当时，在平移过程中点P的运动路程为， 当时，在平移过程中点P的运动路程为， ∴整个平移过程中，点P的运动路程为， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的特征等知识，解题的关键是灵活运用平移的性质解决问题，学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考压轴题． 3．如图，曲线由抛物线与组成，其中两条抛物线交点的横坐标为3，过点作直线轴，当时，直线与曲线至少存在两个交点，则的最小值（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数得图象和性质，掌握待定系数法以及数形结合的思想方法是关键． 把代入两抛物线可求得a的值，即可得两个顶点式抛物线的解析式，再令抛物线的,可求出m的最大值。然后根据两个抛物线的顶点坐标确定直线与曲线至少存在两个交点应当，把代入即可求出． 【解析】解：两条抛物线交点的横坐标为3， 当时， ， ， ， 解得， ， ， 当时，， ， ，， ， 当时，直线与曲线至少存在两个交点， 的顶点坐标是， 时存在两个交点， ， ，， 的最小值是, 故选：C 4．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ）    A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6 C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8 【答案】D 【分析】令求出的长，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，利用一线三直角的全等模型证明，．从而利用三角形的面积公式得出，从而得解． 【解析】解：令， 解得：， ， ． 过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，    四边形是正方形， ，， ， 又轴， ， ， ，，， ， ． 同理可得：． ， 与的面积和始终不变，面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，二次函数图象与x轴的交点，三角形的面积公式等知识，涉及的模型是一线三直角的全等模型，构造全等模型得出，是解题的关键． 5．定义一种新运算：，下列说法： ①若，则，； ②若，则该不等式的解集为； ③代数式取得最小值时，；④函数，函数，当时，． 以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据新定义运算运算法则进行判断即可． 【解析】解：①由题意得：，，解得：，； 检验：当，时，； ，是原分式方程的解， 故①正确； ②当时，，，此情况成立； 当时，， ，故， ， 解得：， 综上所述：，故②正确； ③由题意得：， 取得最小值时，，故③错误； ④，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，    ，当时，，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，绝对值的意义，一次函数与二次函数的交点问题，分类讨论思想，正确理解新定义运算是本题的关键． 二、填空题 6．如图，将二次函数y=x2-m（其中m＞0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+b的图象记为y2，则以下说法： ①当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1； ②当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜； ③当m=-b时，y1与y2一定有交点； ④当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）． 其中正确说法的序号为 ． 【答案】②④/④② 【解析】解：①如图1中，当直线y＝x＋b与抛物线相切时，也满足条件只有三个交点．此时b≠1，故①错误． ②如图2中，当抛物线经过点（−2，0）时，0＝4−m，m＝4，观察图象可知m＞4时，y1与y2恰有两个交点． 由 消去y得到x2＋x＋2−m＝0，当Δ＝0时，1−8＋4m＝0， ∴m＝， 观察图象可知当0＜m＜时，y1与y2恰有两个交点．故②正确． ③如图3中，当b＝−4时，观察图象可知，y1与y2没有交点，故③错误． ④当m=b时， y=x2-m（其中m＞0）的图象和y=x+b的图象必交于点（0，m）．由图象可知，这两个图象至少还有另外一个交点， ∴y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）． 故④正确． 故答案为②④ 7．函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数性质，根据题意画出当时的函数图象成为解题的关键． 分、两种情况分别根据二次函数的性质进行解答即可． 【解析】解：当时，，函数开口方向向上，对称轴为0， ∵， ∴，无解，不符合题意； 如图：当时， 若，则，无解； 若，，解得，符合题意； 若，，解得，符合题意； 若，，解得，符合题意； 若，，解得，符合题意． 综上，． 三、解答题 8．在平面直角坐标系中，二次函数（，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m． (1)当，求图象G的最低点坐标； (2)平面内有点．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行． ①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标； ②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①点A坐标为（0，0）或（1，6）；②−1＜m≤0或 【分析】（1）把代入，得出函数关系式，根据x的取值范围求其最大值即可； （2）①用m表示出A、B、D的坐标，分情况讨论即可； ②分类讨论，数形结合进行解题，根据点A在图象G上，再在图象G上找一个点可以满足条件，然后根据m的取值范围进行分类讨论，画出草图进行解答即可． 【解析】（1）解：当时， ， 当时，最小， ∴图象G的最高低坐标为； （2）①在上， 当时，， ， ∵在正方形ABCD中，AB与x轴平行，BC与y轴平行， 、B的纵坐标相同，B、的横坐标相同， ， 同理可得：， ∴， 解得或 综上分析可知，点A坐标为（0，0）或（1，6）． ②∵点A在图象G上， ∴图象G与矩形ABCD一定有一个公共点， ∵图象G与矩形ABCD的边有两个公共点， ∴只需图象G与矩形ABCD的边再有一个公共点即可； ∵点A的横坐标为2m， ∴A（2m，6m）， 当x＝−2时，y＝4+10m， 当4+10m＝6m时，m＝−1， 当m＜−1时，如图所示： 此时图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小， ∴矩形与图象G只有一个交点A； 当m=-1时，A点坐标为（-2，-6），此时点AC平行于y轴，不符合题意； 当−1＜m≤0时，如图所示： 此时图象G与边AB只有一个交点A，与另外两边只有一个交点， ∴此时图象G与矩形ABCD有两个交点； 当经过点时，即 当4+10m＝2时，m＝， 当时，图象G与矩形ABCD有两个交点，如图， 当6m＝2时，m＝， 当0＜m＜时，2m＞m，如图所示： ， 整理得：， ， 又∵， ∴此时，方程一定有两个不相等的实数解， ∴此时图象G与AB一定还有除A点外的另外一个点， ∴此时图象G与矩形ABCD有三个交点； 当时，点的坐标为（，2），此时AC平行于x轴，不符合题意； 当时，方程一定也有两个不相等的实数解， ∴图象G与AB一定有除A点外的另外一个点，如图所示： ∴此时图象G与矩形ABCD的交点个数为2，符合题意； 综上所述：当−1＜m≤0或时，图象G与矩形ABCD有两个交点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，连接，过点作的平行线交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点． (1)如图1，点为直线上方的抛物线的图象上一点，当面积最大时，在直线上有一个动点M，在直线上有一个动点N，且，求的最小值及此时点的坐标； (2)如图2，将绕点O顺时针旋转至的位置，点B、C的对应点分别为、，且，与轴交于点R，点S是抛物线对称轴上的一个动点，将沿直线翻折为，则能否为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点S的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的最小值为，此时 (2)能，当时，；当时，；当时，， 【分析】（1）根据题意可求出的解析式，设点P的坐标，作平行线，根据直线解析式得Q的坐标，求出最大值，确定点P的坐标，然后由旋转得解析式，从而求出最小值； （2）根据轴对称和旋转，翻折的性质可表示出线段的长，再根据等腰三角形的两腰相等，分三种情况讨论，分别求出满足条件的的坐标． 【解析】（1）令，可得，即：， 当时，可得，即， 设直线的解析式为，把,代入上式得：， 解得， ∵， ∴设，把代入得：， 即：； 设，过P作轴交直线于点Q，则， ∴， ∴， ∵，对称轴， ∴当时，面积最大，此时； 由题可知，，把点P沿着射线方向平移2个单位得，再把直线绕点逆时针旋转交y轴于F，过点作交于，则的最小值为； ∵， ∴， ∴的最小值为，此时； （2）解：①当时，设点，则 由翻折可得 即 联立解得（舍） 即， 又，设点 则 解得，即点 ②当时，设点，则 同理有， 解得（舍） 即， 又，设点 则 解得，即点 ③当时，设点，则 同理有， 解得（舍） 即或， 又，设点 当时，则 解得，即点 当时，则 解得，即点 综上所述，点的坐标为，， 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式的求法与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 39 页 共 39 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