湖北省钟祥市第一中学2023-2024学年高一下学期创新班数学周练（8）

钟祥一中2023级高一创新班数学周练（8）(数学) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数，则复数在复平面内的对应点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩满分100分，成绩取整数整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为(    ) A. a的值为 B. 估计这组数据的众数为75 C. 估计这组数据的第85百分位数为86 D. 估计成绩低于60分的有25人 3.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为、，两人能否获得满分相互独立，则下列说法正确的是 A. 两人均获得满分的概率为 B. 两人至少一人获得满分的概率为 C. 两人恰好只有甲获得满分的概率为 D. 两人至多一人获得满分的概率为 4.在平面直角坐标系xOy中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为(    ) A. 2 B. C. D. 5.如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是(    )    ①AM与异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6.给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是(    ) A. 若，，则至少存在一个n，使事件A和事件B不独立 B. 若，，则存在无穷多个n，使事件A和事件B独立 C. 若n为奇数，则至少存在一个n，使事件A和事件B独立 D. 若n为偶数，则对任意的n，事件A和事件B独立 7.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的周长的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则以下命题正确的序号为(    )      ①直线平面 ②平面与平面BCD的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线AP与所成角的取值范围是 A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①④ 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知是虚数单位，若，则(    ) A. 复数z的虚部为； B. 复数对应的点在第二象限； C. ； D. 复数z是关于x的方程的一个根. 10.根据流行病学的标准，某地在一段时间内没有发生大规模群体性感染的标志为“连续5天，每天新增疑似病例少于10人”.根据过去5天四地记录的数据，可以判定一定符合“没有发生大规模群体性感染”的地点为(    ) A. 甲地：平均数 B. 乙地：平均数且极差 C. 丙地：众数为5且极差 D. 丁地：平均数且标准差 11.设点M在所在平面内，则下列结论正确的是(    ) A. 若，且，则 B. 若，则的面积与的面积之比为 C. 若，且M为的垂心，则 D. 若，则M的轨迹经过的垂心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在对树人中学高一年级学生身高单位：调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的方差为__________. 13.排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为__________ 14.如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论：      ①当M为线段BD的中点时，两点之间距离的最小值为； ②当N为线段的中点时，三棱锥的体积为定值； ③存在点M，N，使得平面； ④当M为靠近点B的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为 其中所有正确结论的序号是__________ 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知复数，且为实数． 求的值； 设，若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围． 16.本小题12分 某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长单位：分钟 2 1    已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐. 根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同，问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让的同学感到满意即在接受等待时长内取到餐？ 根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程. 17.本小题12分 在①；②；③设的面积为S，且这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知__________，且 若，求的面积； 若为锐角三角形，求的取值范围如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18.本小题12分 在中，已知，，，设点P为边BC上一点，点Q为线段CA延长线上的一点． 当且P是边BC上的中点时，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； 设，若，求线段AQ长度的最小值． 19.本小题12分 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面ABCD，且M是PD的中点. 求证：平面PCD； 求异面直线CD与BM所成角的正切值； 求直线CD与平面ACM所成角的正弦值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查复数代数形式的除法运算，以及复数的几何意义，属于基础题． 把复数，代入复数，化简为的形式，即可得到结果． 【解答】 解：把复数，代入复数，得， 复数在复平面内对应的点位于第一象限． 故选： 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查频率分布直方图，考查众数与百分位数，属于基础题. 由频率和为1求a可判断A；根据众数的概念可判断B；根据百分位数的计算公式可判断C；求出成绩低于60分的频率，再乘以总人数可判断 【解答】 解：对于A，由，得，故 A正确； 对于B，由频率分布直方图可知这组数据的众数为，故B正确； 对于C，设这组数据的第85百分位数为m，则， 解得，故C正确； 对于D，成绩低于60分的频率为， 所以估计成绩低于60分的有人，故D错误. 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题． 根据已知条件，结合独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式，即可求解． 【解答】解：甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立， 分别记“甲、乙得满分”的事件为M，N， 则，，M，N相互独立. 两人均获得满分的概率为：，故A正确; 两人至少一人获得满分的概率为，故B错误; 两人恰好只有甲获得满分的概率为，故C错误; 两人至多一人获得满分的概率为，故D错误. 故选 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查向量的运算的坐标表示，向量的模，二次函数求最值，属于中档题. 设、、，由题意可得，又，故有，结合向量的模长计算及x的范围计算即可得其最大值. 【解答】 解：设、、， 则、、， 由，则有即 由，有，故，即， 即有，且， 则， 由，故当时，有最大值， 且的最大值为 故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查异面直线，线面平行的判定以及面面垂直的判定，是中档题. 根据正方体的几何性质逐项分析. 【解答】解：对于①，连接，四边形是平行四边形， 平面，平面，平面， 平面，又，所以与AM是异面直线，正确；    对于②，连接EH，则四边形是平行四边形，， 又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正确；    对于③，取的中点T，当M与T重合时，连接，则有四点共面， 即平面AEM截正方体的图形是四边形，如下图：    当M点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于U，交于V，连接UM， 四点共面，平面，， 即平面AEM截正方体的图形是五边形AEMWV，如下图：    错误； 对于④，在正方形ABCD内， 所以，又平面ABCD，平面ABCD， ，平面，平面， 平面AEM，平面平面，正确； 故选： 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件，考查分类讨论思想，属于困难题. 主要是用判断事件的相互独立性. 【解答】 解：对于A，对于任意，， 即事件A和事件B独立， A不正确. 对于B，当时，满足； 当时，满足； 以此类推，当时，，，满足； 故存在无穷多个n，使事件A和事件B独立，B正确. 对于C，当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 综上可知，对任意奇数，事件A和事件B都不独立；C不正确. 对于D，当时， 不正确. 故选： 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理及二倍角公式，考查三角函数的性质，属于中档题． 由正弦定理可得，，再结合三角恒等变换表示，再结合正切函数性质即可求得． 【解答】 解：在中，由题意及正弦定理，得，即， 所以，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即， 解得， 所以， ， 所以， 所以， 所以， 所以，即 . 即的周长的取值范围为 故选 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查线面垂直的判定，异面直线所成角，二面角以及三棱锥的体积等问题，属于中档题. 直接证明直线平面判断A；由正方体的结构特征判断B；证明三棱锥的体积为定值判断C；求出异面直线AP与所成角的最小值判断 【解答】解：在正方体中， 对于①，，，，、平面， 平面，又平面，， 同理，，，、平面， 直线平面，故①正确; 对于②，由正方体，得平面，为平面与平面BCD的夹角， 正方体，，故平面与平面BCD的夹角的大小为，故②错误; 对于③，，平面，平面，平面， 点P在线段上运动，到平面的距离为定值，又的面积是定值，三棱锥的体积为定值，故③正确; 对于④，，异面直线AP与所成角为直线AP与直线的夹角， 为等边三角形，当P为的中点时，；当P与点或C重合时，直线AP与直线的夹角为， 故异面直线AP与所成角的取值范围是，所以④错误. 故选 9.【答案】ABD  【解析】【分析】本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题． 利用复数的运算性质，共轭复数的定义，模的运算公式对各个选项逐个化简即可判断求解． 【解答】解：由题意可得，， 复数z的虚部为，故A正确； 对应的点为，在第二象限，故B正确； ，故C错误； 将代入方程是成立的，故D正确． 故选： 10.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查平均数、中位数、众数和方差、极差的定义与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题． 根据平均数、中位数、众数和方差、极差的定义和性质，对选项中的命题真假性判断，综合可得答案． 【解答】 解：根据题意，依次分析选项： 对于A，对于甲地，平均数小于5，不能说明5天记录的数据都小于10，不能判定一定符合“没有发生大规模群体性感染”； 对于B，对于乙地，由于平均数且极差，则数据的最大值一定小于，可以判定一定符合“没有发生大规模群体性感染”； 对于C，对于丙地，众数为5且极差，说明数据的最小值，则最大值，可以判定一定符合“没有发生大规模群体性感染”； 对于D，对于丁地，如数据1、1、1、1、11，满足平均数且标准差，故不能判定一定符合“没有发生大规模群体性感染”． 故选： 11.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查向量的线性运算，向量的数量积与向量垂直的关系，以及向量的几何应用，属于较难题. 对于A，由题意可得AM平分角，当时，，从而判断选项 对于B，设线段AC、BC的中点分别为G、H，则，由向量的线性运算可得，即点M在线段GH上，由此可得判断B； 对于C，设，，，由题意可得，再利用夹角公式即可求得，从而判断选项 对于D，由题意，推导出，继而可知，从而判断选项 【解答】 解：对于A选项，因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 又因为，记，， 则以AE、AF为邻边的平行四边形为菱形，所以，AM平分角， 因为，则， 即，且，故点M在线段CB上不包括端点， 只有当时，此时为等腰三角形，则M为BC的中点，则， 当时，，A错; 对于B选项，如下图所示： 设线段AC、BC的中点分别为G、H，则， 则，同理可得， 所以，， 所以，，即点M在线段GH上， 则点M到AB的距离为点C到AB的距离的一半，故，B对; 对于C选项，设，，， 因为M为的垂心，可得，即， 所以，，同理可得，所以，， 由可得， 所以，①， 同理可得②， 由①②可得，即，， 所以，，，C对; 对于D选项，， 则， 所以，，故 M的轨迹经过的垂心， D对. 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查总体的方差的计算，属于基础题． 根据题意，先求出总体的平均数，进而由总体的方差公式计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12， 抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30， 则总体的平均数， 则总体的方差 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查互斥事件以及相互独立事件的概率计算，属基础题． 甲队得25分且取得该局比赛胜利包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得胜利两个事件，再利用事件的相互独立性及互斥事件加法公式求概率. 【解答】 解：由题意，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利． 记事件“甲以25：22取得该局胜利”，“甲以25：23取得该局胜利”， "甲队得25分且取得该局比赛胜利”， 因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥， 所以 ， ， 故 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了棱柱的结构特征，考查了棱锥的体积公式，直线与平面垂直的判定，截面几何体形状，属于较难题. 对于，根据垂线段最短，结合等边三角形图形特点进行计算即可； 对于，根据三棱锥体积公式进行判断即可； 对于，根据线面垂直的判定定理得到  平面  ，进而判断即可； 对于，根据正方体图形特点找到截面，进而求解周长即可． 【解答】解：对于，当 M 为线段 BD 的中点时，连接  ，如图所示，      则 M 为线段 AC 的中点，  是边长为  的正三角形， 两点之间距离的最小值为M到的垂线段长度，设此时的长度为h， 根据等面积法可得， 解得：，此时两点之间距离的最小值为，故错误； 对于，当 N 为线段  的中点时，连接  ，如图所示，      显然， N 到平面  的距离为定值，  面积为定值， 结合三棱锥体积公式可知，三棱锥  的体积为定值，故正确； 对于，当 N 与  重合， M 与 B 重合时，如图所示，      由正方体  可知  平面 ABCD ，  ， 因为  平面 ABCD ，所以  ， 又因为  平面  ，  ， 所以 平面  ，又因为平面  ， 所以 ，同理，  ， 又因为  平面  ， ， 所以  平面  ，即  平面 ， 所以存在点 M ， N ，使得  平面  ，故正确； 对于，当 M 为靠近点 B 的三等分点时，延长 AM 交 BC 于点 P ， 取  中点 Q ，连接  ，如图所示，      由  得四边形  是平行四边形，所以  ， 由  可知  ，即  ， 所以 P 是 BC 中点，又因为 Q 是  中点，所以  ，  ， 所以平面  截该正方体所得截面为等腰梯形  ， 在直角  中，  ，同理  ， 所以截面的周长为  ， 即当 M 为靠近点 B 的三等分点时，平面  截该正方体所得截面的周长为  ，故错误． 故答案为： 15.【答案】解：Ⅰ为实数， ，即 ； Ⅱ， 复数在复平面内对应的点位于第四象限， ，解得 的取值范围是  【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． Ⅰ利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解b，则答案可求； Ⅱ把展开，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解． 16.【答案】解：依题意，就餐高峰期时，选择选餐的总人数为人， 这100人平均分布在12个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数约为人， 所以选择选餐的同学最长等待时间是分钟. 由可接受等待时长的频率分布直方图可知，分组为的频率分别为，，，， 所以可接受等待时长在15分钟以上的同学有， 故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，不能让的同学感到满意， 设设置m个选餐窗口， n个套餐窗口， k个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下表： 类别 选餐 套餐 面食 高峰期就餐总人数 100 60 40 各队伍长度人 最长等待时间分钟 依题意，从等待时长和公平的角度考虑，则要求每个队伍的同学的最长等待时间大致相同， 即得：， 于是有：， 而， 得：，，， 因此建议饭堂设置选餐、套餐、面食三个类别窗口数分别为15、2、  【解析】本题考查了频率分布直方图，是中档题. 根据频率分布直方图得出选择选餐的同学最长等待时间，再根据频率分布直方图判断即可； 根据频率分布直方图求解即可. 17.【答案】解：若选①，设的外接圆的半径为R，由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又， 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积 ； 若选②，由， 所以， 所以，结合三角形内角性质， 所以，又， 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积 ; 若选③，因为，又， 所以，又 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积 ; 由，，所以， 因为， 所以， ， 因为为锐角三角形，， 所以， 所以，所以， 所以， 设， 则，， 所以， 所以的取值范围为   【解析】本题考查了三角形面积公式，余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围问题，属于难题. 若选①，由正弦定理化角为边，结合余弦定理求B，利用余弦定理求ac，再由三角形面积公式求面积； 若选②，通过三角恒等变换求B，利用余弦定理求ac，再由三角形面积公式求面积； 若选③，由条件结合三角形面积公式，余弦定理可求B，利用余弦定理求ac，再由三角形面积公式求面积； 利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换可得， 再求C的范围，结合二次函数性质可得结论. 18.【答案】解：设，，当，得A是QC的中点， 又P是BC的中点时，则M是的重心， ， 设，则，， ， ， 由，得：， ， 因为且， 所以即， ， 令 则 ， 当且仅当即时取到等号，所以t的最大值是， 又， 故AQ线段的最小值为  【解析】本题考查了向量的模的运算，向量的线性运算，基本不等式求最值， 是较难题. 设，，由可得答案. 设，由可得，解得，利用换元法可得t的最大值是，故可得答案. 19.【答案】解：平面ABCD，平面ABCD，， 又四边形ABCD是矩形，， ，且DA，平面PAD，平面PAD， 平面PAD，， 又M是PD的中点，，， ，且CD，平面PCD，所以平面 底面ABCD是矩形，， 异面直线CD与BM所成角即为直线BA与直线BM所成的角， 由得平面PAD， 平面PAD， 平面PAD，，为直角三角形， 又M是PD的中点，，， 在中，即为异面直线CD与BM所成角， 故， 异面直线CD与BM所成角的正切值为 取AD中点为N，连接MN，AC， 在中，分别为线段的中点，故， 平面ABCD，平面ABCD， ， 由得平面PCD，平面PCD，， ，，又，， ， 设点D到平面AMC的距离为h，直线CD与平面ACM所成角为， 则，解得：， 故， 所以直线CD与平面ACM所成角的正弦值为   【解析】本题考查线面垂直的判定，考查异面直线所成角，考查直线与平面所成的角，属于较难题. 利用线面垂直的判定定理证明平面PAD，即可证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面PCD； 根据题意可得异面直线CD与BM所成角即为直线BA与直线BM所成的 角，利用线面垂直可证为直角三角形，求的正切值即可； 利用等体积法求解点D到平面AMC的 距离h，直线CD与平面ACM所成角为，，即可求解直线CD与平面ACM所成角的正弦值. 第27页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $$