专题18 幂函数（九大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题18 幂函数 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【典例例题】 题型一：幂函数的概念 【典例1-1】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二：求函数解析式 【典例2-1】（2024·高一·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·河北张家口·开学考试）已知幂函数，若函数的图象过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式2-1】（2024·高一·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式2-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C． D．4 【变式2-3】（2024·高一·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【变式2-4】（2024·高一·广西·开学考试）已知是幂函数，则 . 题型三：定义域问题 【典例3-1】（2024·高一·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【典例3-2】（2024·高一·浙江·期末）已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）函数的定义域为 ． 【变式3-2】（2024·高二·江西抚州·期末）已知幂函数的定义域为，则实数 ． 【变式3-3】（2024·高二·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 题型四：值域问题 【典例4-1】（2024·高一·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . 【变式4-1】（2024·高三·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【变式4-2】（2024·高一·广东江门·期中）已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 题型五：幂函数的图象 【典例5-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高一·全国·期中）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-1】（2024·高一·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】（2024·高一·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-3】（2024·高一·吉林·期末）幂函数()的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2024·高一·安徽·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（    ） A．   B．   C．   D．   题型六：定点问题 【典例6-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【典例6-2】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【变式6-1】（2024·高一·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【变式6-2】（2024·高一·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 【变式6-3】（2024·高一·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 【典例7-1】（2024·高一·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 【典例7-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【变式7-1】（2024·高一·全国·期中）若，则实数的取值范围为 . 【变式7-2】（2024·高一·四川南充·期末）若，则实数的取值范围为 . 【变式7-3】（2024·高一·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 题型八：比较大小 【典例8-1】（2024·高一·全国·专题练习）如果，那么下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高一·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知幂函数的图象过点，且是函数图象上的任意不同的两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高一·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型九：幂函数性质的综合运用 【典例9-1】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 【典例9-2】（2024·高一·山东滨州·开学考试）已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【变式9-1】（2024·高一·湖北·期末）已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减． (1)求和的值； (2)求满足的实数的取值范围． 【变式9-2】（2024·高一·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【变式9-3】（2024·高一·湖北·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 【变式9-4】（2024·高一·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·全国·课堂例题）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·高一·全国·课后作业）下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（2024·高一·云南昆明·阶段练习）已知函数，若，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．     D．   5．（2024·高一·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024·高一·云南昆明·期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．在其定义域上单调递增 8．（2024·高一·福建·期中）已知函数 ，则以下说法正确的是（     ） A．若，则是R上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 9．（2024·高一·辽宁抚顺·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题 10．（2024·高一·上海杨浦·期中）幂函数的定义域为 ; 11．（2024·高一·上海奉贤·阶段练习）函数的定义域为 . 12．（2024·高一·上海青浦·阶段练习）函数的定义域是 ． 13．（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 14．（2024·高一·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 15．（2024·高一·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 16．（2024·高一·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 四、解答题 17．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 18．（2024·高一·上海·专题练习）研究下列函数的定义域、值域、对称性，并作出其大致图象. (1)； (2)； (3)； (4). 19．（2024·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 20．（2024·高一·全国·课后作业）已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 21．（2024·高一·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 22．（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 23．（2024·高一·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 24．（2024·高一·云南·阶段练习）已知函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 幂函数 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【典例例题】 题型一：幂函数的概念 【典例1-1】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 【典例1-2】（2024·高一·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 【变式1-1】（2024·高一·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】函数是幂函数， 函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数， 所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B 题型二：求函数解析式 【典例2-1】（2024·高一·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数，将点代入得，所以, 所以幂函数的解析式为. 故选：B. 【典例2-2】（2024·高一·河北张家口·开学考试）已知幂函数，若函数的图象过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】幂函数的图象过点，则，即，解得， 故选：C 【变式2-1】（2024·高一·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，即， 所以，. 故选：A. 【变式2-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】设幂函数，由于函数的图象过点， 所以，则，所以，则. 故选：B. 【变式2-3】（2024·高一·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【答案】 【解析】设，由图像过点可得，解得. 故答案为： 【变式2-4】（2024·高一·广西·开学考试）已知是幂函数，则 . 【答案】4 【解析】因为是幂函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为, 故. 故答案为：. 题型三：定义域问题 【典例3-1】（2024·高一·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域是， 所以，解得，所以函数的定义域为． 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 【典例3-2】（2024·高一·浙江·期末）已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 【答案】. 【解析】由幂函数，可得，解得，即， 则满足，即幂函数的定义域为. 故答案为：. 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由于， 所以，，解得 所以函数的定义域是. 故答案为： 【变式3-2】（2024·高二·江西抚州·期末）已知幂函数的定义域为，则实数 ． 【答案】1 【解析】由题意得到，解得：或， 当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意． 故． 故答案为：1 【变式3-3】（2024·高二·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 【答案】 【解析】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为． 故答案为： 题型四：值域问题 【典例4-1】（2024·高一·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【解析】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . 【答案】/ 【解析】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为. 故答案为： 【变式4-1】（2024·高三·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 【变式4-2】（2024·高一·广东江门·期中）已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 【解析】（1）对任意的，都有，∴是奇函数. 且，则当时，，满足①不满足②； 当时，，满足①②； 当时，，不满足①②. 故幂函数的解析式为； （2），，故的值域为. 【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【解析】（1）由于， 则，，， 所以过点， 故的图象，如图所示，函数的定义域为； （2）由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 题型五：幂函数的图象 【典例5-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幂函数的单调性可知曲线相应的应为. 故选：A 【典例5-2】（2024·高一·全国·期中）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】设幂函数，则，即，解得，即， 的定义域是，，函数为偶函数， 由，则在上递增且越来越慢. 故选：A. 【变式5-1】（2024·高一·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 【变式5-2】（2024·高一·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】设幂函数解析式为，将代入得， 即，故，解得， 所以，C选项为其图象. 故选：C 【变式5-3】（2024·高一·吉林·期末）幂函数()的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为幂函数，所以，则， 所以可化为，其定义域为， 检验各选项，可知B正确. 故选：B. 【变式5-4】（2024·高一·安徽·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】，当时，二次函数对称轴为， 对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足； 对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足； 对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足； 对选项D：取，则，，满足图像； 故选：B 题型六：定点问题 【典例6-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【答案】 【解析】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 【典例6-2】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 【变式6-1】（2024·高一·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【答案】 【解析】当时，， 所以定点为. 故答案为： 【变式6-2】（2024·高一·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 【答案】 【解析】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点, 故答案为： 【变式6-3】（2024·高一·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 【典例7-1】（2024·高一·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为为幂函数，所以，则， 故的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由，可得，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 【典例7-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由已知，所以， 又是正整数，故解得，即，函数定义域是， 易知是增函数， 所以由得， 解得， 故答案为：． 【变式7-1】（2024·高一·全国·期中）若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由在上单调递增，故，解得. 故答案为： 【变式7-2】（2024·高一·四川南充·期末）若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】考虑函数. 因为函数的单调递减区间为和. 所以不等式等价于或者或者， 解得：或. 所以实数的取值范围为：. 故答案为： 【变式7-3】（2024·高一·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由幂函数的图象过点得，解得， 则，定义域为. 由可得为偶函数， 又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减. 于是等价于，解得或. 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型八：比较大小 【典例8-1】（2024·高一·全国·专题练习）如果，那么下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，可得，故A错误； 对于B，当时，，故B错误；     对于C，∵，函数在R上单调递增，∴，故C正确； 对于D，∵，∴，，可得，故D错误. 故选：C． 【典例8-2】（2024·高一·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 【变式8-1】（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知幂函数的图象过点，且是函数图象上的任意不同的两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，解得， 所以，则在定义域上单调递增， 因为，所以，故选项A错误； 在定义域上单调递增， 因为，所以，故选项B错误； 在定义域上单调递减， 因为，所以， 即，选项C正确； 在定义域上单调递增， 因为，所以，故选项D错误. 故选：C. 【变式8-2】（2024·高一·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确. 故选：A. 【变式8-3】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 故选：D. 题型九：幂函数性质的综合运用 【典例9-1】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 【解析】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得， 所以. （2）由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以x的取值范围是. （3）由（1）知， 因为对，使得都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为4，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数t的取值范围为. 【典例9-2】（2024·高一·山东滨州·开学考试）已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为幂函数的图象过点， 所以，解得 所以， 由， 所以， 整理得，即 解得或 故不等式的解集为 （2）由（1）可知，，则， 由得，， 即， 令，根据题意，存在实数，， 则 ，由于， 所以当时，取最小值，故， 所以的取值范围为. 【变式9-1】（2024·高一·湖北·期末）已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减． (1)求和的值； (2)求满足的实数的取值范围． 【解析】（1）由函数为幂函数， 则，解得； 由()在上单调递减， 得，解得，而，故或， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意. 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故. （2）由（1）得，则，即. 故或或， 解得或或，. 故实数的取值范围为. 【变式9-2】（2024·高一·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，定义域为R，， 所以为偶函数，符合条件； 当时，，定义域为R，， 所以为奇函数，舍去； 所以. （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 等价于对于恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故，则. 【变式9-3】（2024·高一·湖北·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）由题意，因为为幂函数， 所以，解得或. 当时，，定义域为，关于原点对称， 显然成立，故为偶函数，符合题意； 当时，， 此时的定义域为，不关于原点对称， 故不是偶函数，不符合题意. 故函数. （2）因为，则不等式等价于，即. 当时，有，不等式的解集为； 当时，有，不等式的解集为； 当时，有，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【变式9-4】（2024·高一·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）设函数，由的图象过点，得，解得， 所以函数的解析式是. （2）由（1）知，，则，由，得， 即，令，依题意，任意，， 而函数在上单调递减，，因此， 所以实数的取值范围是. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·全国·课堂例题）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】函数为幂函数； 函数中的系数不是1，所以它不是幂函数； 函数不是（是常数）的形式，所以它不是幂函数； 函数与不相等，所以不是幂函数． 所以这4个函数中，幂函数只有1个 故选：B 2．（2024·高一·全国·课后作业）下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确； 对于选项B，是幂函数，故B项正确； 对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立； 对于选项D，是幂函数，故D项正确. 故选：C. 3．（2024·高一·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解析】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 4．（2024·高一·云南昆明·阶段练习）已知函数，若，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】C 【解析】作出函数的图象如下图所示： 因为，则将函数的图象关于轴对称，可得出函数的图象，如下图所示： 故选：C. 5．（2024·高一·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以在上单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 二、多选题 6．（2024·高一·云南昆明·期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由①得为奇函数，由②得在定义域上单调递减， 对于A，满足要求，A正确； 对于B，，故为偶函数，B错误； 对于C，满足要求，C正确； 对于D，，故不是奇函数，D错误. 故选：AC 7．（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．在其定义域上单调递增 【答案】BCD 【解析】设，由的图象经过点，得，解得，所以. 选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误； 选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确； 选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确； 选项D，由在上是增函数，D正确. 故选：BCD. 8．（2024·高一·福建·期中）已知函数 ，则以下说法正确的是（     ） A．若，则是R上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】BC 【解析】对于A，若，， 在和上单调递减，故A错误； 对于B，若，， 当时，，在区间上单调递减， ，则有最小值1, 故B正确； 对于C，若，， 当时，，在区间上单调递减，； 当时，，在区间上单调递增，， 则的值域为，故C正确； 对于D，若， 当时，； 当，即时，； 当，即时，， 即当时，， 所以不存在，使得，故D错误. 故选：BC 9．（2024·高一·辽宁抚顺·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】设幂函数，函数的图像经过点，则，， ，，所以，即； 由，所以函数为偶函数，所以B正确； 分析函数解析式可知：时，随着的增大，也增大，也增大， 所以时，单调递增； 又为偶函数，所以时，单调递减，所以A错误； 时，单调递增，又，所以时，，C正确； 大致画出函数图像如下， 为点与点两点中点的纵坐标， 为时的函数值， 观察图象可知选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 10．（2024·高一·上海杨浦·期中）幂函数的定义域为 ; 【答案】 【解析】由根式的性质知：， 所以函数定义域为. 故答案为： 11．（2024·高一·上海奉贤·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由函数，可得函数的定义域为R. 故答案为：R. 12．（2024·高一·上海青浦·阶段练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】，，解得：， 的定义域为. 故答案为：. 13．（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【解析】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 14．（2024·高一·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】由函数为幂函数得，解得或，又 函数在上是减函数，则，即， 所以，所以； 所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（2024·高一·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】构造函数，该函数的定义域为， 且，即函数为奇函数， 因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数， 所以，函数为上的增函数， 由可得，可得，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 16．（2024·高一·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】幂函数在上单调递减，则，解得， 不等式化为，显然函数在R上单调递增， 因此，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 17．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 【解析】（1）设，，， 则， 解得， 则，； （2）由（1）知，， 令，，则， 记， 当时，， 当或1时，， 故在上的值域为. 18．（2024·高一·上海·专题练习）研究下列函数的定义域、值域、对称性，并作出其大致图象. (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1），设，定义域：； 因为，所以值域为，显然，为偶函数，图象关于轴对称； 在中，，为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减. （2），设，定义域：； 由，所以值域：； 由，所以为奇函数，图象关于原点对称； 在中，，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减. （3），设，定义域：，值域：； 由，所以为奇函数，图象关于原点对称； 在中，，为奇函数，所以在上单调递增. （4），设，由得定义域：，值域：； 因为定义域：，所以非奇非偶函数，图象不具备对称性； 在中，，定义域为，所以在上单调递增. 19．（2024·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【解析】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 20．（2024·高一·全国·课后作业）已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 【解析】因幂函数在区间为增函数， 则，即， 解得：， 又因，所以或， 当时，为偶函数，不满足； 当时，为奇函数，满足； 故， 当时，， 即函数的值域. 21．（2024·高一·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【解析】（1）∵，其中， 当时，当时，当时，（）， ∵在区间上单调递增，∴，或 选①时，可知函数为偶函数，则的解析式为， 选②时，可知函数为奇函数，则的解析式为. （2）若函数 易知在上单调递减，在上单调递增 当时，，当时，， ∴的值域为. 若，易知在上是增函数 当时，，当时，， ∴的值域为. 22．（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【解析】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 23．（2024·高一·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【解析】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于,故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， ； （2）不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为． 24．（2024·高一·云南·阶段练习）已知函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明. 【解析】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 所以实数的值为； （2）因为函数， 则函数， 函数在上单调递增，证明如下： ，且， 则， 因为，所以，又，所以， 从而，即， 所以函数在上单调递增. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$