湖北省钟祥市第一中学2023-2024学年高一下学期创新班数学周练试卷（12）

钟祥一中2023级高一创新班数学周练（12）(数学) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数，，且，则(    ) A. B. 1 C. D. 1或 2.某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为，和样本标准差分别为3，4，则总体方差(    ) A. B. C. D. 20 3.某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是(    ) A. B. 事件A与事件B相互独立 C. 与和为 D. 事件A与事件B互斥 4.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内含边界一点，M为边BC的中点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.所有面都只由一种正多边形构成的多面体称为正多面体.已知一个正四面体QPTR和一个正八面体AEFBHC的棱长都是如图，把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体，则新多面体的体积为(    ) A. B. C. D. 6.在一次考试中，小明同学将比较难的第8题、第12题、第16题留到最后做，做每道题的结果相互独立．假设小明同学做对第8、12、16题的概率从小到大依次为，，，做这三道题的次序随机，小明连对两题的概率为p，则(    ) A. p与先做哪道题次序有关 B. 第8题定为次序2，p最大 C. 第12题定为次序2，p最大 D. 第16题定为次序2，p最大 7.如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，A是扇形弧上的动点，B是半径OQ上的动点，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩满分100分按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是(    ) A. 图中 B. 估计样本数据的第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 10.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则(    ) A. B. 的最大值为 C. 最大值为9 D. 11.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是(    ) A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线AP与所成角的取值范围是 D. 当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： ①G和H是互斥事件但不是对立事件；     ②F和H是互斥事件也是对立事件； ③；     ④ 其中，正确结论的序号是_____请把你认为正确结论的序号都写上 13.已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则面积的最大值为_____. 14.如图所示，直角三角形ABC所在平面垂直于平面，一条直角边AC在平面内，另一条直角边BC长为且，若平面上存在点P，使得的面积为，则线段CP长度的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：…，，并整理得到如下频率分布直方图：    由频率直方图求样本中分数的中位数； 已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； 已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差． 16.本小题12分 在三角形ABC中，，，，D为线段AC上任意一点，BD交AE于 若 ①用表示 ②若，求的值. 若，求的最小值. 17.本小题12分 试分别解答下列两个小题： 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，记事件“方程没有实根”，事件“方程有且仅有一个实根”，求 甲、乙、丙三位同学各自独立地解决同一个问题，已知这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，记“三人中只有一个人正确解决了这个问题”，求 18.本小题12分 在平面四边形ABCD中，如图所示．    若，，求线段AC长度的最大值； 若，，求四边形ABCD面积S的最大值． 19.本小题12分 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是QD的中点．    求证：平面QCD； 求侧面QBC与底面ABCD所成二面角的余弦值； 在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查复数的运算和模，属于基础题. 利用复数的运算法则和模长公式即可求解. 【解答】 解：因为题意，， 解得或 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查分层抽样的方差，属于基础题. 利用分层抽样的方差公式计算即可得. 【解答】 解：高一与高二学生数之比为， 总体样本平均数为， 故选： 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查古典概型的计算，考查相互独立事件的概率乘法公式，考查互斥事件的判断，属于中档题. 分别求出，，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项. 【解答】 解：由题意得，， 在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确； 则，故A正确； ， ，故C正确； 事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误. 故选 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查向量数量积的运算，属于较难题. 过 P 作  于 N ，分别过  作  ，  ，  为垂足，根据向量数量积的定义，通过图象可以得当 N 与 K 重合即 P 与 C 重合时，  取得最大值，当 N 与 H 重合即 P 与 F 重合时，  取得最小值，结合坐标运算即可求出结果. 【解答】解：如图，过 P 作  于 N ， 则  ， 当  与  同向时 AN 为正，当  与  反向时 AN 为负， 分别过  作  ，  ，  为垂足， 则得当 N 与 K 重合即 P 与 C 重合时，  取得最大值， 当 N 与 H 重合即 P 与 F 重合时，  取得最小值， ABCDEF 是正六边形，因此以 AB 为 x 轴， AE 为 y 建立如图所示的平面直角坐标系， 则  ，  ，  ，  ， M 是 BC 中点，则  ，  ，  ，  ，  ，  ， 所以  的范围是  ， 故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查棱锥的体积计算，线面垂直的判定，考查运算求解能力，属于中档题. 根据棱锥体积的公式进行求解即可. 【解答】 解：连接BE、FH，交于O点，连接OA，四棱锥的高为AO， 四棱锥的体积为， 取PT中点N，连接 NQ、NR，由，， NQ，平面NQR，， 所以平面 所以三棱锥的体积为， 所以新多面体的体积为 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件概率的乘法公式，属于中档题. 先判断得小明连对两题，则第二题为必对题；再分别求得小明做的第二题为第8题、第12题与第16题对应的概率，从而利用作差法与因式分解即可得解. 【解答】 解：小明连对两题，则第二题为必对题， 若小明做的第二题为第8题，则做题顺序为12、8、16与16、8、12，且其概率均为  ， 记此时连对两题的概率为  ， 则   ； 同理：若小明做的第二题为第12题，记连对两题的概率为  ， 则  ； 若小明做的第二题为第16题，记连对两题的概率为  则  ； 所以  ，  ， 则  ，  ， 所以小明做的第二题为第16题，对于的  最大，故ABC错误，D正确. 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查三角形面积公式，考查正弦型函数的最值，考查诱导公式、辅助角公式、两角和差公式，属于中档题. 设，利用正弦定理可表示出OB，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦型函数最值求法可求得结果. 【解答】 解：设，则， ，， ，，， 在中，由正弦定理得：， ， ， ， 当，即时，取得最大值 故选： 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了同角商关系及和角三角公式，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题. 由已知切化弦，结合和角公式及正弦与余弦定理即可求解. 【解答】 解：所以①， ， 所以，故，所以②， 由①②得，，所以，所以 故选 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查分层随机抽样，频率分布直方图，百分位数，平均数，属于中档题. 利用频数分布直方图即可; B：利用百分位数的定义即可; C：利用平均数的定义即可; D：分层随机抽样的定义即可. 【解答】 解：对于A：由图可知，解得故A错误; 对于B：因为成绩在内对应的频率为，成绩在内对应的频率为，所以第60百分位数位于区间内，设为m，则，所以估计样本数据的第60百分位数约为故B正确； 对于C：平均数约为故C正确; 对于D：成绩低于80分的三组学生的人数之比为，则应选取成绩在内的学生人数为，故D正确. 故选： 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查向量的加减与数乘混合运算，以及向量在平面几何中的应用，属于较难题. 对于AD，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC，以点O为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断. 【解答】 解：对于A，因为，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上， 所以， 则，故A正确； 对于D，，， 则 ，故D错误； 对于C，如图，以点O为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上， 所以点P的轨迹方程为，且在x轴的下半部分， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最大值9，故C正确； 因为， 所以， 即， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值，故B错误. 故选： 11.【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查线面垂直的判定，异面直线所成角，线面角，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于较难题. 对于A：利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；对于B：根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；对于C：根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；对于D：利用等体积法求点 B 到平面  的距离，结合线面夹角的定义运算求解. 【解答】 解：对于选项A：因为  为正方形，则  ， 又因为  平面  ，  平面  ，则  ， 且  ，  平面  ， 所以  平面  ， 且  平面  ，可得  ， 同理可得：  ， 且  ，  平面  ， 所以直线  平面  ，故A正确； 对于选项B：因为   ，且  ，则  为平行四边形，可得   ， 且  平面  ，  平面  ，所以  平面  ， 又因为点 P 在线段  上运动，则 P 到平面  的距离为定值， 且  的面积是定值，所以三棱锥  的体积为定值，故B正确； 对在选项C：由选项B可知：   ， 所以异面直线 AP 与  所成角为直线 AP 与直线  的夹角. 又因为  ，则  为等边三角形， 当 P 为  的中点时，直线 AP 与直线  的夹角最大， 可得  ，即直线 AP 与直线  的夹角为  ； 当 P 与点  或 C 重合时，直线 AP 与直线  的夹角最小， 可得直线 AP 与直线  的夹角为  ； 所以异面直线 AP 与  所成角的取值范围是  ，故C错误； 对于选项D：当P为  的中点时，直线  即为直线  ， 所以直线  与平面  所成角即为直线  与平面  所成角， 设点 B 到平面  的距离为d，正方体的棱长为2， 因为  ， 由等体积法可得  ，解得  ， 所以直线  与平面  所成角的正弦值为  ， 即直线  与平面  所成角的正弦值为  ，故D错误； 故选： 12.【答案】②④  【解析】【分析】 本题考查互斥事件，对立事件，属于基础题. 根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可. 【解答】 解：事件 “选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科”， 所以事件  “选择政治学科”，包含于事件 H ， 故事件 可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确； 事件“选择一门理科学科”，与事件 “选择一门文科学科”， 不能同时发生，且必有一个事件发生，故 F 和 H 是互斥事件，也是对立事件，故②正确； 由题意可知  ，所以  ，故③不正确； 事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”， 不能同时发生，故 E 和 H 是互斥事件，所以 ，故④正确. 故答案为：②④. 13.【答案】  【解析】【分析】本题考查余弦两角差公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题. 通过余弦两角差公式和正弦定理化简等式，可得，可以求出B的大小； 然后利用余弦定理结合基本不等式求出ac的最大值，进而得到面积的最大值. 【解答】 解：由，得， 所以，即， 又由正弦定理有， 又，所以， 又， 所以，因为，，即， 所以，当且仅当时，取等号， 所以， 所以面积的最大值为， 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间中点到直线距离最值问题，属于较难题. 由题意，根据面面垂直的性质可得 平面 ， 利用线面垂直的性质可得  CP ，进而  ，由三角形的面积公式可得  ，即可求解. 【解答】 解：在  中，  ，则  ， 又平面 ，平面 平面ABC ， 所以 平面 ，连接CP ， ，所以 ， 得  ，设   ， 则  ，即  ，得  ， 当  即  即  时， BP 取到最小值1， 此时 CP 取到最小值  . 故答案为：     15.【答案】解：由频率分布直方图知，分数在的频率为， 所以分数在的频率为，分数在的频率为， 所以中位数落在内，设其为x， 则， 解得， 即中位数为； 由频率分布直方图知，分数在的频率为， 在样本中分数在的人数为人， 所以在样本中分数在的人数为95人， 所以估计总体中分数在的人数为人，总体中分数小于40的人数为20人； 总样本的均值为， 所以总样本的方差为  【解析】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数、均值和方差的计算，属于中档题． 根据中位数的定义求解； 利用频率分布直方图求出在样本中分数在的频率，用样本估计总体，估计出总体中分数在的人数，从而求出总体中分数小于40的人数； 由平均数与方差的计算公式求解． 16.【答案】解：①在中，由，又，所以， 所以， ， ②因为B，O，D三点共线． 所以， 所以， 又因为， 所以，解得； 因为  ，又  三点共线， 设  ， 所以   ， 又因为  ，所以  ， 所以   ， 当且仅当  ，即  时取得等号， 所以  的最小值为  .   【解析】本题考查平面向量的线性运算与平面向量基本定理，同时考查三点共线问题，属于中档题． ①根据平面向量的线性运算的几何意义求解即可；②利用三点共线时向量表示的充要条件，列出关于的方程求解； 根据，结合A，O，E三点共线，引入参数t，用t表示x，y，构造关于t的函数，利用基本不等式求最值． 17.【答案】解：Ⅰ已知总可能发生的情况的总数为， 若方程没有实根， 此时，即， 当时，，2，3，4，5，6； 当时，，3，4，5，6； 当时，，4，5，6； 当时，，6 此时事件个数为， 所以“方程没有实根”的概率； 若方程有两个相等实根， 此时，即， 因为b，， 只有当时，；当时，这两组满足条件， 所以“方程有且仅有一个实根”的概率， 则； Ⅱ因为这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为， 则仅甲同学单独解决了这个问题的概率， 仅乙同学单独解决了这个问题的概率， 仅丙同学单独解决了这个问题的概率， 则  【解析】本题考查概率的计算，古典概型，属于一般题. Ⅰ由题意，求出所有可能出现的情况，将方程没有实根和方程有且仅有一个实根转化成b和c的大小关系，列出所有满足条件的事件，进而即可求解． Ⅱ分别求出仅甲同学单独解决了这个问题的概率，仅乙同学单独解决了这个问题的概率和仅丙同学单独解决了这个问题的概率，即可求解． 18.【答案】解：在中，， ， ，， 设，则，， ，， 当，时，线段AC的长度最大，最大值为； 在中，， 在中，， 可得：， 即①， 则四边形ABCD面积， 即②， ①②得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即， 所以四边形ABCD面积S的最大值为  【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，考查方程思想和化简运算能力，属于较难题．设，由余弦定理可得，利用辅助角公式即可求解； 由余弦定理可得，又，即可得，即可求解． 19.【答案】证明：在正方形ABCD中，， 又侧面底面ABCD，侧面底面，平面ABCD， 所以平面QAD，又平面QAD， 所以， 因为是正三角形，M是QD的中点，则， 又，CD，平面QCD， 所以平面QCD； 解：取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，QE，QF， 则，，所以， 在正中，， 因为，EF，平面QEF， 则平面QEF， 在正方形ABCD中，， 故平面QEF，QF，平面QEF， 所以，， 所以是侧面QBC与底面ABCD所成二面角的平面角， 由平面QAD，， 则平面QAD，又平面QAD， 所以， 设正方形ABCD的边长，则，， 所以， 则， 故侧面QBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为 解：当时，平面平面 设AC于BD交于点O，由正方形ABCD可得 由知平面QAD，平面QAD， 即有，所以 连接ON，在中，， ， 在中， 则， 由，可得， 又，ON，平面BDN， 所以平面BDN，而平面AMC， 所以平面平面 综上所述，当时，平面平面  【解析】本题考查面面垂直和线面垂直的判定和性质，以及二面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于较难题． 利用面面垂直的性质定理证明平面QAD，从而得到，由正三角形的性质可得，再利用线面垂直的判定定理证明即可； 取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，QE，QF，利用线面垂直的判定定理证明平面QEF，则可得平面QEF，由二面角的平面角的定义可知，是侧面QBC与底面ABCD所成二面角的平面角，在三角形中，由边角关系求解即可； 考虑平面BDN，由，只需，由余弦定理和面面垂直的性质可得所求结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$