椭圆复习题课件-2025届高三数学一轮复习

知识点一　椭圆的定义 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹. 2.焦点：两个定点F1，F2. 3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4.几何表示：|MF1|＋|MF2|＝ (常数)且2a |F1F2|. 常数 2a > 知识点二　椭圆的标准方程   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 _________________ _________________ 图形     焦点坐标 ____________________ ____________________ a，b，c的关系 __________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) b2＝a2－c2 A.(5,0)，(－5,0) B.(0,5)，(0，－5) C.(0,12)，(0，－12) D.(12,0)，(－12,0) √ 解析　c2＝169－25＝144.c＝12，故选C. 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 解　因为椭圆的焦点在y轴上， 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 解　因为椭圆的焦点在y轴上， 由椭圆的定义知， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 解析　由直线AB过椭圆的一个焦点F1， 知|AB|＝|F1A|＋|F1B|， 所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20， 又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8. 8 解析　设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y， 如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程. 解　设动圆P和定圆B内切于点M， 动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径， 即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|， 所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆， 其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7， 解析　最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦. √ 直线y＝x＋1与椭圆x2＋ ＝1的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 √ 因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交. √ 椭圆 ＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝_____. √ 解析　由题意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)， ∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0， 解析　由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形， (1)有两个不同的公共点； (1)试求动点P的轨迹方程C； 解　设动点P的坐标是(x，y)， (2)设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝ 时，求直线l的方程. x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. A.9x－y－4＝0 B.9x＋y－5＝0 C.4x＋2y－3＝0 D.4x－2y－1＝0 √ 6.已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋ y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　由已知可得直线方程为y＝2x－2，|OF|＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为y＝x＋1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0. Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线C的标准方程； 解　由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P处的位置(即点P的坐标)? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　由于A，B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3， ∴设此时距A，B两岛的距离比为5∶3， 即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里. 设P(x，y)，B(2,0)，由|PB|＝3， ∴x＝2，y＝±3， ∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0， 由Δ≥0得b2≥4， 所以b2的最小值为4， 则b2＝4时，e取最大值，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.斜率为1的直线l与椭圆 ＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　方法一　设直线l的方程为y＝x＋t， 整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0. ∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0， 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 解析　假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况： (1)球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹， 这时第一次回到F1路程是2(a－c)； (2)球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹， 这时第一次回到F1路程是2(a＋c)； (3)球从F1沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A， 反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B， 反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a. 综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时， 小球经过的最大路程是4a，最小路程是2(a－c). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求椭圆C的方程； 解得a2＝4，b2＝3，c2＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　显然直线AB的斜率不为0， 设AB的方程为x＝ty－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144t2＋144>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得t2＝1， ∴直线方程为x＝±y－1， 即y＝x＋1或y＝－x－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 1.椭圆＋＝1的焦点坐标为 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0). 所以解得 所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1. 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 2a＝＋＝2， 即a＝， 已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1 的直线交椭圆于A，B两点.若|F2A|＋|F2B|＝12， 则|AB|＝______. 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为__________. x2＋＝1 又＋＝1. 所以＋＝1，即点Q的轨迹方程为x2＋＝1. 其轨迹方程为＋＝1. 过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是 A. B. C. D. 将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±， 故最短弦长是. 解析　联立消去y，得3x2＋2x－1＝0， 直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是 A. B. C. D. 解析　因为|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝＝， 所以|PF2|＝4－＝. 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为_____. 已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为 A. B. C. D. ∵∠ABF＝90°，∴kAB·kBF＝－1，∴＝1，即b2＝ac. ∴e＝－(舍)或e＝. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________. 所以c≥b，即c2≥a2－c2，所以a≤c， 因为e＝，0<e<1，所以≤e<1. 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： 已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－. 故点P的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±). 已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为 2 与直线方程x＋y＋4＝0联立， 得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0， 由Δ＝0，得a＝， 所以椭圆的长轴长为2. 解析　由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)， 7.过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______. 联立方程得解得A(0，－2)，B， 所以S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝. 8.已知椭圆的方程为＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点.若直线AB的倾斜角为，则弦长|AB|为____. ＝×＝. 解析　易知F1(－1,0)，∵直线AB的倾斜角为， 联立整理得7x2＋8x－8＝0， 由根与系数的关系可知x1＋x2＝－，x1·x2＝－， 则由弦长公式得|AB|＝· 当Δ＜0，即m＜－或m＞时，直线与椭圆相离. 9.对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系. 解　由消去y，得＋(x＋m)2＝1， 当Δ＞0，即－＜m＜时，此时直线与椭圆相交； 当Δ＝0，即m＝±时，此时直线与椭圆相切； 又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2， 所以曲线C的方程是＋＝1. ∴＝3， 所以y0＝±，∴k＝＝±＝±. 11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为 A. B.± C. D.± 解析　根据椭圆的离心率为，得＝. 由x0＝b，得y＝b2＝， A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　由题意设椭圆方程为＋＝1， 由e＝＝， 当x＝2时，·取得最大值6. 13.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________. 解析　由＋＝1可得，F(－1,0). 设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3 ＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2， 由消去y得＋(x＋t)2＝1， ∴－<t<. 则x1＋x2＝－，x1·x2＝. ∴|AB|＝＝＝. 当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝. 将y＝x代入＋y2＝1得交点坐标为A和B， 故|AB|＝. A. B. C. D. ∴椭圆的离心率为. ∴由题意可得4a＝7×2(a－c)，即5a＝7c，得＝. 16.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点. 解　∵椭圆过点，∴＋＝1， 又e＝＝且a2＝b2＋c2， ∴椭圆方程为＋＝1. (2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程. ＝＝＝， 联立整理得(3t2＋4)y2－6ty－9＝0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝， ＝|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|＝ $$