专题17 奇偶性（九大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题17 奇偶性 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 【典例例题】 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（　　） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【典例1-2】（2024·高一·山东·期中）已知有相同的定义域，是偶函数，是奇函数，且，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【变式1-1】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并证明. 【变式1-2】（2024·高一·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3). 【变式1-3】（2024·高一·河北·阶段练习）判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； (3) 【变式1-4】（多选题）（2024·高一·山东滨州·竞赛）已知是奇函数，是偶函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 题型二：已知函数的奇偶性求表达式 【典例2-1】（2024·高一·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【典例2-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【变式2-1】（2024·高一·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【变式2-2】（2024·高二·河南焦作·阶段练习）函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 题型三：已知函数的奇偶性求值 【典例3-1】（2024·高一·云南昆明·阶段练习）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【典例3-2】（2024·高一·安徽阜阳·阶段练习）已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（    ） A．7 B．9 C．-7 D．-9 【变式3-1】（2024·高一·江西赣州·期中）已知是上的奇函数，满足．若，则（   ） A．4 B． C．3 D． 【变式3-2】（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高一·全国·专题练习）设函数，且函数为偶函数，则（    ） A．6 B． C．2 D． 【变式3-4】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，且当时，，则 . 题型四：已知函数的奇偶性求参数 【典例4-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 【典例4-2】（2024·高一·贵州安顺·期末）已知函数是偶函数，则 . 【变式4-1】（2024·高一·江西上饶·期末）若函数是上的偶函数，则的值为 . 【变式4-2】（2024·高一·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 题型五：已知奇函数+M 【典例5-1】（2024·高一·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则 【典例5-2】（2024·高三·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【变式5-1】（2024·高一·安徽滁州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【变式5-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，且，则 ． 【变式5-3】（2024·高一·浙江·期中）已知函数，若，则 ． 题型六：抽象函数的奇偶性问题 【典例6-1】（2024·高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【典例6-2】（多选题）（2024·高三·江苏南通·期中）设奇函数与偶函数的定义域均为，且在区间上都是单调增函数，则（    ） A．不具有奇偶性，且在区间上是单调增函数 B．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不能确定 C．是奇函数，且在区间上是单调增函数 D．是偶函数，且在区间上的单调性不能确定 【变式6-1】（多选题）（2024·高一·四川乐山·阶段练习）函数对于任意实数满足，则下列关于函数奇偶性说法错误的是（    ） A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．可能是奇函数也可能是偶函数 【变式6-2】（2024·高一·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【变式6-3】（2024·高一·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 题型七：奇偶性与单调性的综合运用 【典例7-1】（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【典例7-2】（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 【变式7-1】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数： (3)解不等式． 【变式7-2】（2024·高一·全国·专题练习）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 . 【变式7-3】（2024·高一·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【变式7-4】（2024·高一·广西河池·期末）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 题型八：利用函数奇偶性识别图像 【典例8-1】（2024·高一·江苏南京·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高一·江苏南通·期中）数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·高三·宁夏银川·期中）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·天津·高考真题）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 题型九：奇偶性与对称性的综合运用 【典例9-1】（2024·高一·广东佛山·期末）定义在上的函数满足：是偶函数，且函数的图像与函数的图像共有n个交点：，，…，，则（    ） A．0 B．n C．2n D．4n 【典例9-2】（2024·高一·湖北武汉·期中）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则 . 【变式9-1】（2024·高一·广东佛山·期中）已知定义域为R的奇函数最大值为2，在上单调递增，在单调递减，且当时， (1)求函数在的单调性并证明； (2)求函数的最小值，并说明理由； (3)直接写出函数图象的对称中心坐标. 【变式9-2】（2024·高一·四川遂宁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)若（1）中的函数与的图象有4个公共点，求的值； (3)类比题目中的结论，写出：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件（写出结论即可，不需要证明）. 【变式9-3】（2024·高一·四川成都·期中）已知 ． (1)若且在上单调递减，求的取值范围； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．当时，求的对称中心． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·河南·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 2．（2024·高一·河南·专题练习）已知偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知为奇函数，则（    ） A． B．2 C．1 D． 5．（2024·高一·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．2 6．（2024·高一·江苏无锡·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高一·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（2024·高一·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 9．（2024·高一·新疆乌鲁木齐·期中）已知偶函数的定义域为，且在上为增函数，则（    ） ①；②；③；④在上为减函数． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 10．（2024·高一·河南·期中）已知函数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·高一·四川成都·期末）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高一·北京通州·期中）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·高一·重庆·期中）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   14．（2024·高三·上海静安·期中）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   15．（2024·高一·湖北·期中）函数的图像不可能是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·高一·甘肃庆阳·期末）已知函数满足，若与的图像有交点，，，则（    ） A． B．0 C．3 D．6 二、多选题 17．（2024·高一·福建泉州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数对称中心为 B．函数对称中心为 C．当时，在上单调递增 D．若，与的图象共有2022个交点，记为，则的值为4044 三、填空题 18．（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，若是偶函数，则 19．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 20．（2024·高一·江苏盐城·期中）已知函数为上的奇函数，，则 . 21．（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知函数，若，则 . 22．（2024·高一·福建福州·期中）已知与均为奇函数，（a､b为非零常数），若，则 . 23．（2024·高一·上海·期末）已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是 四、解答题 24．（2024·高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 25．（2024·高一·全国·专题练习）已知为偶函数,当时，，当时，求解析式. 26．（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 27．（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)解关于的不等式. 28．（2024·高一·云南德宏·期末）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 29．（2024·高一·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求的值． 30．（2024·高一·湖北·期中）函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. (1)根据上述材料求函数的对称中心； (2)判断的单调性（无需证明），恒成立，求的取值范围. 31．（2024·高一·山东青岛·期中）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，据此结论求图象的对称中心． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 奇偶性 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 【典例例题】 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（　　） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】C 【解析】对任意的实数x，y，，有成立， 令，则有，又， 因此，显然，得，， 又，于是， 当且时，，整理得，于是， 因此，，有且， 所以函数（）既是奇函数又是偶函数． 故选：C 【典例1-2】（2024·高一·山东·期中）已知有相同的定义域，是偶函数，是奇函数，且，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【解析】有相同的定义域，是偶函数，是奇函数，且， 所以， 因为，故A错. ，故B错. ，故C错. ，故D对. 故选：D. 【变式1-1】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并证明. 【解析】（1）由且，得或， 所以的定义域为； （2）是奇函数， 证明：的定义域关于原点对称. 因为，所以为奇函数. 【变式1-2】（2024·高一·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3). 【解析】（1）定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （2），所以定义域为，关于原点对称， 此时，所以既是奇函数又是偶函数. （3），所以定义域为， 不关于原点对称，所以为非奇非偶函数. 【变式1-3】（2024·高一·河北·阶段练习）判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； (3) 【解析】（1）由题意得的定义域为， 因为，都有， 且 所以是奇函数； （2）的定义域为，当时，， 所以，中，既不是奇函数也不是偶函数； （3）当时，，则， 当时，，则， 所以是偶函数．． 【变式1-4】（多选题）（2024·高一·山东滨州·竞赛）已知是奇函数，是偶函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【解析】是奇函数，是偶函数， 对于A，若，，满足是奇函数，是偶函数， 但是，该二次函数图象关于直线对称， 此时函数不是偶函数，错误； 对于B，，因为， 所以为奇函数，正确； 对于C，，因为， 所以为偶函数，正确； 对于D，，因为， 所以为偶函数，正确； 故选：BCD 题型二：已知函数的奇偶性求表达式 【典例2-1】（2024·高一·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【答案】 【解析】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为， 所以， 设，则，所以，又， 所以， 即当时，函数的解析式为. 故答案为：； 【典例2-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【解析】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 【变式2-1】（2024·高一·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【答案】 【解析】因为数是偶函数，且当时，， 所以当时，， 所以， 即， 所以当时，. 故答案为： 【变式2-2】（2024·高二·河南焦作·阶段练习）函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是偶函数，函数为奇函数，则，， 由可得，即， 所以，，解得，其中， 故选：A. 题型三：已知函数的奇偶性求值 【典例3-1】（2024·高一·云南昆明·阶段练习）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】根据题意，由①得， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 由①②得，所以， 则. 故选：A. 【典例3-2】（2024·高一·安徽阜阳·阶段练习）已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（    ） A．7 B．9 C．-7 D．-9 【答案】B 【解析】因为是定义域为的奇函数， 所以，，， 所以． 故选：B． 【变式3-1】（2024·高一·江西赣州·期中）已知是上的奇函数，满足．若，则（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】由函数是上的奇函数，可得， 又由及， 可得，，则． 故选：C． 【变式3-2】（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到. 故选：A. 【变式3-3】（2024·高一·全国·专题练习）设函数，且函数为偶函数，则（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设，则，所以， 又因是定义域上的偶函数，所以，所以， 所以，所以. 故选：A 【变式3-4】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，且当时，，则 . 【答案】 【解析】因为偶函数，所以. 故答案为： 题型四：已知函数的奇偶性求参数 【典例4-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 【答案】 【解析】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一·贵州安顺·期末）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【解析】，由是偶函数可得，即恒成立. 故. 故答案为：1 【变式4-1】（2024·高一·江西上饶·期末）若函数是上的偶函数，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意首先，解得， 即函数是上的偶函数， 由，解得，此时，经检验符合题意， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高一·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 【答案】-24 【解析】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 题型五：已知奇函数+M 【典例5-1】（2024·高一·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则 【答案】 【解析】， 设，， 且，则为奇函数， ， 则，所以，， 所以， 所以. 故答案为：2. 【典例5-2】（2024·高三·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【解析】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：6. 【变式5-1】（2024·高一·安徽滁州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【解析】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 因为奇函数的图象关于原点对称， 所以在上的最大值和最小值之和为0，即， 所以． 故答案为：4 【变式5-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 【变式5-3】（2024·高一·浙江·期中）已知函数，若，则 ． 【答案】6 【解析】令，， 所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 故答案为：6. 题型六：抽象函数的奇偶性问题 【典例6-1】（2024·高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【解析】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 【典例6-2】（多选题）（2024·高三·江苏南通·期中）设奇函数与偶函数的定义域均为，且在区间上都是单调增函数，则（    ） A．不具有奇偶性，且在区间上是单调增函数 B．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不能确定 C．是奇函数，且在区间上是单调增函数 D．是偶函数，且在区间上的单调性不能确定 【答案】ABD 【解析】，在区间上都是单调增函数，单调增，单调性没有办法确定，C错. 因为为奇函数，为偶函数，所以不具有奇偶性，A，B正确. ，所以为偶函数， 令，设任意，则，而所在区间无法确定， 故的正负无法判断，所以单调性不能确定，D正确. 故选：ABD. 【变式6-1】（多选题）（2024·高一·四川乐山·阶段练习）函数对于任意实数满足，则下列关于函数奇偶性说法错误的是（    ） A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．可能是奇函数也可能是偶函数 【答案】ABC 【解析】令则有， 则， 当时，再令 则有 所以， 所以是奇函数． 当，则． 再令 则有， 所以， 所以是偶函数． 故选：ABC． 【变式6-2】（2024·高一·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【解析】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 【变式6-3】（2024·高一·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 【解析】（1）令，，可得， 解得； 令，，可得，解得. （2）为奇函数，理由如下： ， 而， 得 故在上是奇函数 （3）当时，，所以当，则，得， 又在上是奇函数，所以当，则， 设，则，所以，，故 ， 在上单调递减. 题型七：奇偶性与单调性的综合运用 【典例7-1】（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【解析】由函数为偶函数，故，即， 则的图象关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 【典例7-2】（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 【解析】（1）由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； （2）在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； （3）由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 【变式7-1】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数： (3)解不等式． 【解析】（1）由，恒成立，得函数是定义在上的奇函数， 则，解得，由，得，解得，即， 此时，即函数是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 则， 由，得，则，即， 所以函数在上是增函数. （3）由（2）知, 函数是上的增函数，且是奇函数， 不等式， 因此，解，得或， 解，得，从而， 所以原不等式的解集为. 【变式7-2】（2024·高一·全国·专题练习）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 . 【答案】 【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以， 又因在R上单调递减， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立，所以， 设，对称轴， 所以当时，， 所以. 故答案为：. 【变式7-3】（2024·高一·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 【变式7-4】（2024·高一·广西河池·期末）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由， 得：， 令，则； 关于对称，， ， 为定义在上的奇函数； 又为上的增函数，为增函数， 在上单调递增， 则由， 得：， ，解得：， 即的解集为. 故答案为：. 题型八：利用函数奇偶性识别图像 【典例8-1】（2024·高一·江苏南京·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】定义域为R， ， 则是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD； 又因为，则排除选项A，选B. 故选：B． 【典例8-2】（2024·高一·江苏南通·期中）数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，函数定义域为， 所以， 所以为偶函数，排除选项A和C； 当时，， 当时，， 所以，排除选项D. 故选：B. 【变式8-1】（2024·高三·宁夏银川·期中）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，定义域为， ，所以函数为奇函数，排除选项CD； 当时，，排除选项B. 故选：A 【变式8-2】（2024·天津·高考真题）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，A选项错误； 又当时，，C选项错误； 当时，函数单调递增，故B选项错误； 故选：D. 题型九：奇偶性与对称性的综合运用 【典例9-1】（2024·高一·广东佛山·期末）定义在上的函数满足：是偶函数，且函数的图像与函数的图像共有n个交点：，，…，，则（    ） A．0 B．n C．2n D．4n 【答案】C 【解析】是偶函数，则， 则关于轴对称， 又也关于轴对称， 则两个函数的交点两两关于轴对称， 则, 故选：C. 【典例9-2】（2024·高一·湖北武汉·期中）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则 . 【答案】16 【解析】为奇函数 函数关于点对称 函数关于点对称 与图像的8个交点关于点对称 ,,, 可得 同理可知 故答案为： 【变式9-1】（2024·高一·广东佛山·期中）已知定义域为R的奇函数最大值为2，在上单调递增，在单调递减，且当时， (1)求函数在的单调性并证明； (2)求函数的最小值，并说明理由； (3)直接写出函数图象的对称中心坐标. 【解析】（1）在上单调递增， 证明：，且，则，且， 函数在上单调递增，， 为奇函数，， 即， 在上单调递增. （2）的最小值为. 理由如下：由题意可知，的最大值在处取得，即， 当时，. 设，则，， 为奇函数，，，即， 的最小值为，且在时取得. （3）函数图象的对称中心为. 理由：由于为奇函数，所以图象关于对称，则关于对称，进而可得图象关于对称，故图象的对称中心为. 【变式9-2】（2024·高一·四川遂宁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)若（1）中的函数与的图象有4个公共点，求的值； (3)类比题目中的结论，写出：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件（写出结论即可，不需要证明）. 【解析】（1）设对称中心坐标为，由题意可知，为奇函数， 对任意恒成立， 即， 所以恒成立， 则，解得. 函数图象的对称中心为. （2）对于函数，有为奇函数. 所以函数图象关于点对称， 则函数与图象4个公共点也关于对称，所以. （3）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 【变式9-3】（2024·高一·四川成都·期中）已知 ． (1)若且在上单调递减，求的取值范围； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．当时，求的对称中心． 【解析】（1）设，则 ． ∵，，∴， ∴要使，只需恒成立， 若，则当时，，不合题意； 若时，恒成立． 综上所述，a的取值范围为． （2）当时，则， 要想为奇函数， 则要， 即， 即， 所以，解得， 即的对称中心为． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·河南·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因分别是定义在上的偶函数和奇函数，则有：， 由①，将其中的取为，则可化简得：②， 由①②联立可求得：，于是. 故选：D. 2．（2024·高一·河南·专题练习）已知偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当，则，， 又为偶函数，所以，当时，． 故选：D. 3．（2024·高一·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知为奇函数，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】当时，，所以， 通过对比系数得. 故选：A 5．（2024·高一·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以定义域关于原点对称， 可得，所以， 由，可得，解得，所以． 故选：A 6．（2024·高一·江苏无锡·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 故，又，则. 故选：C 7．（2024·高一·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由函数为奇函数，可得， 可得，解得， 经检验，当时，， 满足，符合题意，所以. 故选：D. 8．（2024·高一·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则. 故选：D． 9．（2024·高一·新疆乌鲁木齐·期中）已知偶函数的定义域为，且在上为增函数，则（    ） ①；②；③；④在上为减函数． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】因为偶函数的定义域为， 所以，即，则①正确，②错误； 因为偶函数的定义域为，且在上为增函数， 所以在上为减函数， 继而，则③错误，④正确. 故选：B. 10．（2024·高一·河南·期中）已知函数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，解得：； 令，则，为奇函数， ，. 故选：C. 11．（2024·高一·四川成都·期末）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数， 其图象可由的图象向上平移1个单位得到，而的图象对称中心为， 故图象的对称中心是， 故选：B 12．（2024·高一·北京通州·期中）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，为奇函数， 定义域为关于原点对称，故，， ，即， 即，故， 故，即对称中心为. 故选：A. 13．（2024·高一·重庆·期中）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】由，得函数为奇函数，排除B项， 由，得，则排除C、D两项. 故选：A. 14．（2024·高三·上海静安·期中）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】设，则， 故为奇函数，A，D符合，排除B，C. 又，所以当时， 恒成立，故A满足，D排除. 故选：A 15．（2024·高一·湖北·期中）函数的图像不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，且， 所以该函数为偶函数，下面只讨论时的情况：， 当时，，图象为C； 当时，，图象为B； 若时，函数单调递增，图象为D； 所以函数的图象可能为：BCD. 故选：A. 16．（2024·高一·甘肃庆阳·期末）已知函数满足，若与的图像有交点，，，则（    ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】C 【解析】由可得， 函数的图像上任意一点关于点的对称点为， 即点，由也满足函数解析式，可得函数的图像关于点对称， 函数的图像可以由奇函数的图像向上平移1个单位得到，所以函数的图像也关于点对称， 若与的图像有交点，，，不妨设， 由对称性可得，，，， 所以. 故选：C 二、多选题 17．（2024·高一·福建泉州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数对称中心为 B．函数对称中心为 C．当时，在上单调递增 D．若，与的图象共有2022个交点，记为，则的值为4044 【答案】ABD 【解析】对于A：由得， 则， 所以函数对称中心为，A正确； 对于B：由得， 则， 所以函数对称中心为，B正确； 对于C：， 当，即时，，在上不单调递增，C错误； 对于D：若，关于中心对称，与的对称中心相同，即与的图象的2022个交点也关于中心对称， ，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 18．（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，若是偶函数，则 【答案】 【解析】因为，则， 若是偶函数，可知关于y轴对称， 则，解得. 故答案为：. 19．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【解析】因为， 该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 可得对任意的恒成立，故，解得. 故答案为：. 20．（2024·高一·江苏盐城·期中）已知函数为上的奇函数，，则 . 【答案】-1 【解析】由题意知函数为上的奇函数，， 故，即， 故答案为：-1 21．（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知函数，若，则 . 【答案】 【解析】令为奇函数，， . 故答案为： 22．（2024·高一·福建福州·期中）已知与均为奇函数，（a､b为非零常数），若，则 . 【答案】10 【解析】由题设，且，， ∴也为奇函数，即， ∴，而， ∴10. 故答案为：10 23．（2024·高一·上海·期末）已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是 【答案】 【解析】因为是定义域为上的偶函数，成立， 所以，， 则， 又因为在上严格减函数， 所以，平方得，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题 24．（2024·高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 【解析】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （3）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （4），的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （5）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （6）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以. 又，所以是奇函数. （7）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （8）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 25．（2024·高一·全国·专题练习）已知为偶函数,当时，，当时，求解析式. 【解析】设，则，所以 又因是定义域上的偶函数，所以， 所以. 26．（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【解析】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 27．（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【解析】（1）由奇函数的性质可知，， ， . . 经验证，满足题设. （2）函数在上单调递增， 证明：令， ， ， 即， 函数在上单调递增. （3）由已知：， 由（2）知在上单调递增， ， 不等式的解集为. 28．（2024·高一·云南德宏·期末）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【解析】（1）∵ 是定义在上的偶函数， ∴ ，，即， 又，即 ，解得， 所以，经检验符合题意． （2）由（1）知：，∴在上为单调递减函数， 因为，即， 又∵为偶函数，可得， 综上可得：，  解得或， 所以不等式的解集为． 29．（2024·高一·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求的值． 【解析】（1）由题意设函数图象的对称中心为， 由于函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． 即函数为奇函数， 而， 由于，即 ， 因为，故，解得， 即函数图象的对称中心为； （2）由（1）的结论可知， 则， 而， 故 . 30．（2024·高一·湖北·期中）函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. (1)根据上述材料求函数的对称中心； (2)判断的单调性（无需证明），恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由题意，设函数， 则函数， 整理得：， 又由是奇函数，得， 即，解得， 故函数的对称中心为. （2）函数是上的增函数 理由是：由（1）得：函数是上的增函数， 结合函数图像平移可知，函数是上的增函数， 由，得， 即， 又， 则， 是上的增函数 恒成立， ，. 31．（2024·高一·山东青岛·期中）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，据此结论求图象的对称中心． 【解析】（1）由题可知：，则， 解得. （2）设图象的对称中心为，则函数为奇函数， 因为 ， 又因为，所以对任意恒成立， 则解得， 所以图象的对称中心为点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$