专题13 代数式（新知讲练+高频易错点+六大考点讲练+培优精练）-2024年小升初数学无忧衔接（苏科版）

专题13 代数式 （新知解决+易错笔记+六大考点讲练+中等拔高分层练） 课程标准 课标解读 1、 能按要求列出代数式，会求代数式的值； 2、 掌握代数式的列法 1.理解代数式分类及定义 复习巩固 （1）比有理数a小10的数是 . （2）正方形的边长是a，这个正方形的周长是 ，面积是 。 （3）某商品的原价为a元，现降低10%销售，那么现在的销售价为 元。 （4）甲每天做a个玩具，乙每天做b个玩具，甲做了5天，乙做了3天，一共可以做 个玩具。 定义 像a－10，4a，a2,（1－20％）a，5a＋3b等式子都是代数式。(包括上节课出现的，如：n－2，，0.8a ，2n＋500，abc，2ab＋2ac＋2bc等。)单独一个数或一个字母也是代数式。 考点一：列代数式 4 考点二：规律型：数字的变化类 6 考点三：规律型：图形的变化类 7 考点四：整式 9 考点五：单项式 10 考点六：多项式 10 中档题真题训练 12 培优题真题训练 17 知识点01：代数式的定义 1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式. 【细节点拨】 带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式. 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性． 知识点02：列代数式 1.重点：用字母表示数 2.比谁的几倍多(少)几的问题 3.比谁的几分之几多(少)几的问题 4.折扣问题： 例：八折是乘0.8，八五折是乘0.85 5.提价与降价问题： 例：一个商品原价a,先提价20%,在降价20%，即a(1+20%)(1-20%) 6.路程问题： 把握s=vt 7.出租车计费问题： 分类讨论思想，将总路程切割成不同的段(例：前三公里收费7元，之后每公里1.6元，公里数x，总费用y) Y=7 x≤3 Y= Y=1.6(x-3)+7 x＞3 8.已知各数位上的数字，表示数的问题： 9.字母乘10表示在十位上，乘100表示在百位上。 10.特定字母的意义： C：周长 S：面积 V:体积 r：半径 d：直径 s：路程 t：时间 v：速度 n：正整数 【细节点拨】 代数式的书写规范： (1)字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； (2)除法运算一般以分数的形式表示； (3)字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； (4)字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； (5)如果字母前面的数字是1，通常省略不写. 苏科版数学七年级上册代数式知识点可以详细阐述如下： 知识点03：代数式的分类 单项式：由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式。例如，3x、2y、π等都是单项式。 单项式的系数：是指单项式中的数字因数（不要漏负号和分母）。 单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数的和。 多项式：几个单项式的和。 多项式的项：指多项式中的每一个单项式。 多项式的次数：指多项式中次数最高的项的次数。 常数项：指多项式中不含字母的项。 整式：单项式与多项式的统称。 易错笔记一：代数式书写方法 (1)书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面。 (2)带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数。 如：乘a  写作：，不要写成a (3)“×”号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的“×”通常简写成“•”，或省略不写；但数字与数字之间的“×”既不能写成“•”，也不能省略不写。 如： a的5倍，写作：5a  不要写成a 5； a乘b ，写成ab  或ba； 4乘5，写作4×5，不能写成4•5，更不能写成45。 (4)“÷”号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式。 如：5除以a  写作，不要写成 ； c除以 d写作 ，不要写成  (5)带单位的代数式书写要求：用“+”“—”号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位。 如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了(5+a)本 (6) 关于约定的写法：一些写法是约定俗成的，比如当数字与字母相乘，数字因数为1时，通常把1省略不写；“a与b的差”是指“a-b”，而不是“b-a”；“a、b的平方和”是指“a、b 两个数分别平方后相加的和”，即“a2+b2”，而不是“a+b2 ”；同样，“a、b的平方差”是指“a、 b两个数分别平方后相减的差”，即“a2-b2”，而不是“a-b2 ”，等等。 易错笔记二：单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，在确定单项式的系数和次数时要紧紧抓住此定义是解决问题的关键 误区一：把数字指数和字母指数混为一谈 误区二：把π当做字母 误区三：忽视“1”的省略 考点一：列代数式 【典例精讲】（2023秋•新野县期末）如图，四边形是长方形，用代数式表示图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（2024•中山市三模）某商店经销一种品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将进价提高后作为零售价销售，一段时间后，商店又按零售价的8折销售，这时该型号空气炸锅的零售价为　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【变式训练02】（2024春•郑州期末）为了弘扬尊老敬老的良好风尚，进一步加强对学生的传统美德教育，五一假期之际，某校组织部分学生分批到学校附近的敬老院慰问看望孤寡老人．敬老院里有一位李爷爷非常喜欢孩子，每当有孩子看望他时，李爷爷都要拿出糖果来招待他们．来1个孩子，李爷爷就给这个孩子1块糖；来2个孩子，李爷爷就给每个孩子2块糖；来3个孩子，就给每人3块糖 5月1日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，5月2日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，5月3日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，那么李爷爷第三天给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？请你利用所学知识和方法从“数”和“形”两个方面进行说明． 【变式训练03】（2023秋•仙居县期末）将形状相同、大小相等的长方形、和形状相同，大小相等的长方形、按图摆放，拼成一个中间含正方形的大长方形． （1）若长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为，用含的式子表示拼成的大长方形的长和宽． （2）当长方形的周长变化时，请写出拼成的大长方形的周长与长方形的周长的关系，并说明理由． 考点二：规律型：数字的变化类 【典例精讲】（2024春•三明期末）观察下列等式： 152＝225＝100×1×2+25， 252＝625＝100×2×3+25， 352＝1225＝100×3×4+25，… （1）特例感知：根据上述的运算规律填空：852＝ 　； （2）规律表示：设m为整数，且0＜m＜10，用含m的等式表示上述运算的一般规律（10m+5）2＝ ； （3）类比探究：小聪同学通过计算下列两位数的乘积： 53×57＝3021，38×32＝1216，84×86＝7224，71×79＝5609，… 她发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【变式训练01】（2024春•盐城期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 解答下列问题： （1）按规律填空：　 　； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并加以证明． 【变式训练02】（2024•广西模拟）观察下列各式： ， ， ， 回答下面的问题： （1）计算的值； （2）计算的值． 【变式训练03】（2024春•南岗区校级月考）在数轴上，点表示的数是1，现将点做如下移动：第1次将点向左移动3个单位长度至点，第2次将点向右移动6个单位长度至点，第3次将点向左移动9个单位长度至点按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 　 　． 考点三：规律型：图形的变化类 【典例精讲】（2024春•大足区期末）如图，图形中都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，第1个图中有1个黑色正方形，第2个图中有3个黑色正方形，第3个图中有5个黑色正方形，第4个图中有8个黑色正方形，，依此规律，第8个图中黑色正方形的个数是　　 A．19 B．24 C．29 D．35 【变式训练01】（2023秋•衢江区期末）图形“□”，“●”按如图所示的规律拼图案，图①中有4个“□”，4个“●”，图②中有9个“□”，12个“●”，图③中有16个“□”，24个“●”，，按此规律排列下去，则同一幅图中“□”和“●”的个数不符合规律的是　　 A．25，40 B．36，60 C．100，160 D．121，220 【变式训练02】（2023秋•斗门区期末）综合与实践：观察下图，解答下列问题， （1）图1的一些圆圈被直线分层显示前面4层，第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，，如果要你继续画下去，第6层有 　 　个圆圈；第层有 　　个圆圈． （2）对比图1图2，感受图形的转化，数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，，总结规律，从1开始的个连续奇数之和是多少？用的代数式把它表示出来：　　． （3）运用（2）中的规律计算：． 【变式训练03】（2023秋•梁溪区期末）让我们一起探索有趣的“皮克定理”：用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数和为． （1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请完成下表，并写出与之间的关系式：　　． 多边形的序号 ① ② ③ ④ 多边形的面积 2 　　 　　 4 各边上格点的个数和 4 5 6 8 （2）探索：在上面网格图中画出四个格点多边形，其内部都只有两个格点，并写出所画的各个多边形的面积与它各边上格点的个数和之间的关系式：　　； （3）猜想：当格点多边形内部有且只有个格点时，与之间的关系式是：　　． 考点四：整式 【典例精讲】（2024春•金沙县校级月考）若，则代表的整式是　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（2023秋•建华区校级期中）在式子：，，，，，中，整式的个数是　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【变式训练02】（2023秋•翁源县期中）下列式子：，，，1，，中，整式有 　 　个． 【变式训练03】（2023秋•沈丘县期末）代数式，，，，，中整式的个数　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 考点五：单项式 【典例精讲】（2023秋•川汇区期末）单项式的意义可以是　　 A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 【变式训练01】（2024•南昌县一模）单项式的次数是　 　． 【变式训练02】（2023•玉溪三模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、，根据其中的规律得出的第8个单项式是　　 A． B． C． D． 【变式训练03】（2023秋•海沧区期中）给出以下七个代数式：，，，，，，，请按要求进行分类： （1）分成两类，分类方法是： ． 其中①含字母的有：　 ； ②不含字母的有：　　； （2）模仿（1）的分类方式： 分成三类，分类方法是 　　 ； 其中①　　 ； ②　　 ； ③　　 ． 考点六：多项式 【典例精讲】（2023秋•巴东县期末）已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且，在数轴上对应的点分别为，，点为数轴上任意一点，对应的数为． （1）　　，　　，并在数轴上标出，； （2）当点为线段的三等分点时，求的值； （3）在（2）的条件下，若点离点较近时，点、、分别从点、、同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练01】（2023秋•徐闻县期末）已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点，对应的数分别为，． （1）　　，　　，线段　　； （2）若数轴上有一点，使得，点为的中点，求的长； （3）有一动点从点出发，以1个单位每秒的速度向终点运动，同时动点从点出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为秒，点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上且，在，的运动过程中，求的值． 【变式训练02】（2023秋•惠民县期末）下列语句中错误的是　　 A．数字0也是单项式 B．单项式的系数与次数都是1 C．是二次单项式 D．是三次三项式 【变式训练03】（2024春•九龙坡区校级期末）已知3个多项式分别为：，，，下列结论正确的个数有　　 ①若，则； ②若的结果为单项式，则； ③若关于的方程无解，则； ④代数式化简后共有3种不同表达式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024七上·庐江期末）用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024七上·安顺期末）如图，把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)，不重叠地放在一个长为、宽为长方形内(如图2)，未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（　　） A． B． C． D． 3．（2024七上·仙居期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（　　） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是2 C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是2 4．（2024七上·惠城期末）如图所示，边长为 的正方形中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2024九下·朝阳月考）有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块，这a名男生和b名女生一共搬了　 　块砖（用含a、b的代数式表示） 6．（2024七下·渝北开学考）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为 ，宽为 ）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图2中两块阴影部分周长的和是　 　 .（用含 或 的代数式来表示） 7．（2024七上·通道期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是　 　，第（是正整数）个式子是　 　． 8．（2024七上·毕节期中）若关于、的多项式中不含二次项，则　 　 ． 9．（2024七上·湛江期末）阅读下面方框内的材料，解答相应的问题： 对称式： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式而式子中字母，交换位置，得到式子，因为，所以不是对称式． 问题： （1）给出下列式子：，，，，其中是对称式的是______填序号即可； （2）写出一个系数为，只含有字母，且次数为的单项式，使该单项式是对称式； 写出一个只含有字母，的三次三项式，使该多项式是对称式； （3） 已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． 10．（2024七上·峡江期末）小明准备完成化简：，发现系数“□”印刷不清楚． （1）她把“□”猜成4，请你化简； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”请通过计算说明原题中“□”是什么数． 11． （2024七上·农安期末）已知：关于x、 的多项式 与多项式 的差的值与字母x的取值无关，求代数式 的值. 12．（2024七上·东莞期末）如图所示，池塘边有块长为20米，宽为10米的长方形土地，现在将其余三面留出宽都是x米的小路，中间余下的长方形部分做菜地． （1）用含x的式子表示菜地的周长． （2）求当米时，菜地的周长． 13．（2024七上·游仙期末）用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分）．设小长方形的长和宽分别为a和b（）． （1）由图1，可知a，b满足的等量关系是　 　； （2）若图2中小正方形的边长为3，求小长方形的面积； （3）用含b的代数式表示图2中小正方形的面积． 14．（2024七上·嘉兴期末）某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过40立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过40立方米时，其中的40立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按3.5元/立方米计费.设每户家庭月用水量为x立方米. （1）当x不超过40时，应收水费为　 　（用x的代数式表示）；当x超过40时，应收水费为　 　（用x的代数式表示化简后的结果）； （2）小明家四月份用水26立方米，五月份用水52立方米，请帮小明计算一下他家这两个月一共应交多少元水费？ （3）小明家六月份交水费150元，请帮小明计算一下他家这个月用水量多少立方米？ 15．（2023七上·渝北期中）已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（　　） 若，则；若的值与的值无关，则；若，则；若关于的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有个． A．个 B．个 C．个 D．个 16．（2023七上·鄞州期末）如图，用三个同图①的长方形和两个同图②的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分(阴影部分)的周长相等，那么图①中长方形的面积S1与图②中长方形的面积S2的比是（　　） A．2：3 B．1：2 C．3：4 D．1：1 17．（2022七上·南宁月考）按如图所示的运算程序，若开始输入x的值为343，则第2022次输出的结果为（　　） A．343 B．1 C．7 D．49 18．（2023七上·包河期中）设为自然数，且，，则的最小值是　 　. 19．（2021七上·诸暨期中）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为acm，宽为bcm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是　 　. 20．（2021七上·平阳期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了34×25=850的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为　 　，该图表示的乘积结果为　 　． 21．（2021七上·平阳期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 .当 ＋ ＝40时，则图3中阴影部分的面积 　 　. 22．（2023七上·恩平期末）已知多项式中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发． （1）求a（b﹣c）的值； （2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？ （3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点E、F，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 23．（2024七上·长沙期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c. （1）　 　，　 　，　 　； （2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与某数表示的点重合，则此数为　 　； （3）若这三条线段的长度之比为2∶2∶5，则折痕处对应的点在数轴上所表示的数可能是多少？ 24．（2023七上·赵县期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予八折优惠， 超过500元部分给予七折优惠 （1）若王老师一次性购物600元，他实际付款　 　元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是　 　元； （2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款　 　元，当x大于或等于500元时，他实际付款　 　元（用含x的代数式表示并化简）； （3）如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（200＜a＜300，用含a的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当a＝250元时，王老师两天一共节省了多少元？ 25．（2024七上·高州期末）【材料阅读】 已知是关于的二次二项式，A，B是如图1数轴上两点，且A，B对应的数分别为a，b.C是线段AB的中点. （1）A点对应的数　 　，点对应的数　 　，点表示的数是　 　； （2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则秒后，点P、Q表示的数分别是　 　、　 　（用含t的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为2，求的值. 【方法迁移】 如图2，平分.现有射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两条射线都停止旋转.问经过几秒后，射线OP、OQ的夹角为 【生活运用】 周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过多少分钟后，分针与时针的夹角首次变成 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 第 45 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 代数式 （新知解决+易错笔记+六大考点讲练+中等拔高分层练） 课程标准 课标解读 1、 能按要求列出代数式，会求代数式的值； 2、 掌握代数式的列法 1.理解代数式分类及定义 复习巩固 （1）比有理数a小10的数是 . （2）正方形的边长是a，这个正方形的周长是 ，面积是 。 （3）某商品的原价为a元，现降低10%销售，那么现在的销售价为 元。 （4）甲每天做a个玩具，乙每天做b个玩具，甲做了5天，乙做了3天，一共可以做 个玩具。 定义 像a－10，4a，a2,（1－20％）a，5a＋3b等式子都是代数式。(包括上节课出现的，如：n－2，，0.8a ，2n＋500，abc，2ab＋2ac＋2bc等。)单独一个数或一个字母也是代数式。 考点一：列代数式 4 考点二：规律型：数字的变化类 6 考点三：规律型：图形的变化类 10 考点四：整式 14 考点五：单项式 16 考点六：多项式 18 中档题真题训练 23 培优题真题训练 31 知识点01：代数式的定义 1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式. 【细节点拨】 带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式. 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性． 知识点02：列代数式 1.重点：用字母表示数 2.比谁的几倍多(少)几的问题 3.比谁的几分之几多(少)几的问题 4.折扣问题： 例：八折是乘0.8，八五折是乘0.85 5.提价与降价问题： 例：一个商品原价a,先提价20%,在降价20%，即a(1+20%)(1-20%) 6.路程问题： 把握s=vt 7.出租车计费问题： 分类讨论思想，将总路程切割成不同的段(例：前三公里收费7元，之后每公里1.6元，公里数x，总费用y) Y=7 x≤3 Y= Y=1.6(x-3)+7 x＞3 8.已知各数位上的数字，表示数的问题： 9.字母乘10表示在十位上，乘100表示在百位上。 10.特定字母的意义： C：周长 S：面积 V:体积 r：半径 d：直径 s：路程 t：时间 v：速度 n：正整数 【细节点拨】 代数式的书写规范： (1)字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； (2)除法运算一般以分数的形式表示； (3)字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； (4)字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； (5)如果字母前面的数字是1，通常省略不写. 苏科版数学七年级上册代数式知识点可以详细阐述如下： 知识点03：代数式的分类 单项式：由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式。例如，3x、2y、π等都是单项式。 单项式的系数：是指单项式中的数字因数（不要漏负号和分母）。 单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数的和。 多项式：几个单项式的和。 多项式的项：指多项式中的每一个单项式。 多项式的次数：指多项式中次数最高的项的次数。 常数项：指多项式中不含字母的项。 整式：单项式与多项式的统称。 易错笔记一：代数式书写方法 (1)书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面。 (2)带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数。 如：乘a  写作：，不要写成a (3)“×”号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的“×”通常简写成“•”，或省略不写；但数字与数字之间的“×”既不能写成“•”，也不能省略不写。 如： a的5倍，写作：5a  不要写成a 5； a乘b ，写成ab  或ba； 4乘5，写作4×5，不能写成4•5，更不能写成45。 (4)“÷”号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式。 如：5除以a  写作，不要写成 ； c除以 d写作 ，不要写成  (5)带单位的代数式书写要求：用“+”“—”号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位。 如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了(5+a)本 (6) 关于约定的写法：一些写法是约定俗成的，比如当数字与字母相乘，数字因数为1时，通常把1省略不写；“a与b的差”是指“a-b”，而不是“b-a”；“a、b的平方和”是指“a、b 两个数分别平方后相加的和”，即“a2+b2”，而不是“a+b2 ”；同样，“a、b的平方差”是指“a、 b两个数分别平方后相减的差”，即“a2-b2”，而不是“a-b2 ”，等等。 易错笔记二：单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，在确定单项式的系数和次数时要紧紧抓住此定义是解决问题的关键 误区一：把数字指数和字母指数混为一谈 误区二：把π当做字母 误区三：忽视“1”的省略 考点一：列代数式 【典例精讲】（2023秋•新野县期末）如图，四边形是长方形，用代数式表示图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】从图中得到三角形的底为，高为3，三角形的底为3，高为，再用三角形面积公式表示出阴影部分的面积． 【规范解答】解： ， 故选：． 【考点评析】本题考查了列代数式的应用，关键根据三角形面积公式列代数式． 【变式训练01】（2024•中山市三模）某商店经销一种品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将进价提高后作为零售价销售，一段时间后，商店又按零售价的8折销售，这时该型号空气炸锅的零售价为　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【思路点拨】根据题意可以得到最后打折后的零售价，从而可以解答本题． 【规范解答】解：由题意可得， 该型号空调的零售价：（元， 故选：． 【考点评析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【变式训练02】（2024春•郑州期末）为了弘扬尊老敬老的良好风尚，进一步加强对学生的传统美德教育，五一假期之际，某校组织部分学生分批到学校附近的敬老院慰问看望孤寡老人．敬老院里有一位李爷爷非常喜欢孩子，每当有孩子看望他时，李爷爷都要拿出糖果来招待他们．来1个孩子，李爷爷就给这个孩子1块糖；来2个孩子，李爷爷就给每个孩子2块糖；来3个孩子，就给每人3块糖 5月1日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，5月2日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，5月3日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，那么李爷爷第三天给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？请你利用所学知识和方法从“数”和“形”两个方面进行说明． 【思路点拨】根据作差法比较大小． 【规范解答】解：从“数”方面分析： ， ， 从“形”方面分析： 第三天给出去的糖果大于前两天给出去的糖果总数； 【考点评析】本题考出来列代数式，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【变式训练03】（2023秋•仙居县期末）将形状相同、大小相等的长方形、和形状相同，大小相等的长方形、按图摆放，拼成一个中间含正方形的大长方形． （1）若长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为，用含的式子表示拼成的大长方形的长和宽． （2）当长方形的周长变化时，请写出拼成的大长方形的周长与长方形的周长的关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据题中图形，如图所示，长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为，则拼成的长方形宽为，长为； （2）设长方形的长为，宽为，中间正方形的边长为，则拼成的大长方形长、宽分别为，根据题意列式化简即可得到答案． 【规范解答】解：（1）由题意可知，长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为， 大长方形长为，大长方形的宽为； （2）拼成的大长方形的周长始终是长方形的周长的2倍， 设长方形的长为，宽为，中间正方形的边长为，则拼成的大长方形长、宽分别为， 由题意得：大长方形的周长为 ， 答：拼成的大长方形的周长始终是长方形的周长的2倍． 【考点评析】本题考查代数式表示图形边长及周长变化，读懂题意，数形结合表示出相应线段长度是解决问题的关键． 考点二：规律型：数字的变化类 【典例精讲】（2024春•三明期末）观察下列等式： 152＝225＝100×1×2+25， 252＝625＝100×2×3+25， 352＝1225＝100×3×4+25，… （1）特例感知：根据上述的运算规律填空：852＝　7225＝100×8×9+25　； （2）规律表示：设m为整数，且0＜m＜10，用含m的等式表示上述运算的一般规律（10m+5）2＝　（10m+5）2＝100m（m+1）+25　； （3）类比探究：小聪同学通过计算下列两位数的乘积： 53×57＝3021，38×32＝1216，84×86＝7224，71×79＝5609，… 她发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【思路点拨】（1）根据题目给出的等式，结合发现的规律计算即可； （2）根据题目给出的等式，即可发现一般规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，再证明等式左边＝等式右边即可． 【规范解答】解：（1）152＝225＝100×1×2+25； 252＝625＝100×2×3+25； 352＝1225＝100×3×4+25； ∴852＝7225＝100×8×9+25 故答案为：7225＝100×8×9+25； （2）设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且0＜m＜10， 则（10m+5）2＝100m（m+1）+25， 故答案为：（10m+5）2＝100m（m+1）+25； （3）53×57＝100×5×6+3×7＝3021； 38×32＝100×3×4+2×8＝1216； 84×86＝100×8×9+4×6＝7224； 71×79＝100×7×8+1×9＝5609； ⋯⋯， ∴（10a+b）（10a+10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b）； ∵等式左边＝（10a+b）（10a+10﹣b） ＝10a（10a+10﹣b）+b（10a+10﹣b） ＝100a2+100a﹣10ab+10ab+10b﹣b2 ＝100a（a+1）+b（10﹣b） ＝等式右边， ∴等式成立． 【考点评析】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，熟练找出题目中数字间的变化规律是解题的关键． 【变式训练01】（2024春•盐城期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 解答下列问题： （1）按规律填空：　6　； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并加以证明． 【思路点拨】（1）根据题目中的等式特点猜想、求解； （2）根据题目中的等式特点猜想、证明． 【规范解答】解：（1）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， 可得，第5个等式：； 第6个等式：， 故答案为：6； （2）由题意可猜想得， 第个等式为， 证明： ， 第个等式为． 【考点评析】此题考查了算式变化类规律问题的解决能力，关键是能准确根据题意猜想、归纳和证明． 【变式训练02】（2024•广西模拟）观察下列各式： ， ， ， 回答下面的问题： （1）计算的值； （2）计算的值． 【思路点拨】观察题目给的三个式子得到规律后，再按规律计算即可． 【规范解答】解：观察题目给的三个式子得到规律：． （1） ． （2） ． 【考点评析】本题考查了数字的变化知识，运用规律计算是解题关键． 【变式训练03】（2024春•南岗区校级月考）在数轴上，点表示的数是1，现将点做如下移动：第1次将点向左移动3个单位长度至点，第2次将点向右移动6个单位长度至点，第3次将点向左移动9个单位长度至点按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 　796　． 【思路点拨】奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第次移动个单位．每左移右移各一次后，点右移3个单位，故第530次右移后，点向右移动个单位，据此求解即可． 【规范解答】解：第次移动个单位，每左移右移各一次后，点右移3个单位， 故第530次右移后，点表示的数是． 故答案为：796． 【考点评析】本题考查数轴上点的移动规律及数轴，发现规律是关键． 考点三：规律型：图形的变化类 【典例精讲】（2024春•大足区期末）如图，图形中都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，第1个图中有1个黑色正方形，第2个图中有3个黑色正方形，第3个图中有5个黑色正方形，第4个图中有8个黑色正方形，，依此规律，第8个图中黑色正方形的个数是　　 A．19 B．24 C．29 D．35 【思路点拨】根据所给图形，分别求出黑色正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由所给图形可知， 第2个图中黑色正方形的个数是：； 第4个图中黑色正方形的个数是：； 第6个图中黑色正方形的个数是：； ， 所以第个图中黑色正方形的个数是：， 当时，， 所以（个， 即第8个图中黑色正方形的个数是24个． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现第个图中黑色正方形的个数是是解题的关键． 【变式训练01】（2023秋•衢江区期末）图形“□”，“●”按如图所示的规律拼图案，图①中有4个“□”，4个“●”，图②中有9个“□”，12个“●”，图③中有16个“□”，24个“●”，，按此规律排列下去，则同一幅图中“□”和“●”的个数不符合规律的是　　 A．25，40 B．36，60 C．100，160 D．121，220 【思路点拨】通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律即可解决问题．据此可以求得答案． 【规范解答】解：第1个图形中有个“□”，个“●”； 第2个图形中有个“□”，个“●”； 第3个图形中有个“□”，个“●”； ； 第个图形中有个“□”，个“●”为正整数）； 当时，； 当时，； 当时，不是正整数； 当时，； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，发现规律是关键． 【变式训练02】（2023秋•斗门区期末）综合与实践：观察下图，解答下列问题， （1）图1的一些圆圈被直线分层显示前面4层，第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，，如果要你继续画下去，第6层有 　11　个圆圈；第层有 　　个圆圈． （2）对比图1图2，感受图形的转化，数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，，总结规律，从1开始的个连续奇数之和是多少？用的代数式把它表示出来：　　． （3）运用（2）中的规律计算：． 【思路点拨】（1）观察每层中圆圈的个数，发现规律即可解决问题． （2）理解题中所给表示方式即可解决问题． （3）根据（2）的发现即可解决问题． 【规范解答】解：（1）由题知， 第一层的圆圈个数为：； 第二层的圆圈个数为：； 第三层的圆圈个数为：； ， 所以第层的圆圈个数为个， 当时， （个， 即第6层的圆圈个数为11分． 故答案为：11，． （2）因为； ； ， ， 所以． 故答案为：． （3）由（2）的发现可知， 原式 ． 【考点评析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现从1开始连续奇数和的特征是解题的关键． 【变式训练03】（2023秋•梁溪区期末）让我们一起探索有趣的“皮克定理”：用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数和为． （1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请完成下表，并写出与之间的关系式：　　． 多边形的序号 ① ② ③ ④ 多边形的面积 2 　　 　　 4 各边上格点的个数和 4 5 6 8 （2）探索：在上面网格图中画出四个格点多边形，其内部都只有两个格点，并写出所画的各个多边形的面积与它各边上格点的个数和之间的关系式：　　； （3）猜想：当格点多边形内部有且只有个格点时，与之间的关系式是：　　． 【思路点拨】（1），；多边形的面积各边上格点个数和的一半，即； （2）内部有2个格点就是指图形的中间有2个小正方形的顶点，由此画图；并根据图找出与的关系． （3）由图可知多边形内部都有而且只有格点时，面积为：． 【规范解答】解：（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表： 多边形的序号 ① ② ③ ④ 多边形的面积 2 2.5 3 4 各边上格点的个数和 4 5 6 8 根据以上信息，多边形的面积各边上格点个数和的一半，即； （2）如图所示： 根据图可知： 长方形的面积是6，它的各边上格点的个数和是10，中间格点数是2， ； 三角形的面积是3，它的各边上格点的个数和是4，中间格点数是2， ； 梯形的面积是5，它的各边上格点的个数和是8，中间格点数是2， ； 那么； （3）通过上题探究可知： 最后的1就是内部的格点数而得； 所以格点多边形面积各边上格点的个数和（多边形内部格点数；即： ； 故答案为：；；． 【考点评析】此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算． 考点四：整式 【典例精讲】（2024春•金沙县校级月考）若，则代表的整式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据乘法的意义，先列式再计算即可． 【规范解答】解：由题意可得：所代表的整式是：， 故选：． 【考点评析】本题考查的是整式的运算，掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练01】（2023秋•建华区校级期中）在式子：，，，，，中，整式的个数是　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【思路点拨】根据单项式和多项式统称为整式，判断即可．数与字母的积叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式的和叫做多项式． 【规范解答】解：在式子：，，，，，中， ，，，是整式， 整式的个数是4个． 故选：． 【考点评析】本题考查了整式，熟练掌握单项式和多项式统称为整式是解题的关键． 【变式训练02】（2023秋•翁源县期中）下列式子：，，，1，，中，整式有 　5　个． 【思路点拨】“单项式和多项式统称为整式”，据此逐个进行判断即可． 【规范解答】解：，，1，，是整式，符合题意； 不是整式，不符合题意； 综上：整式有5个． 故答案为：5． 【考点评析】本题考查了整式的定义，掌握“单项式和多项式统称为整式”是解题关键． 【变式训练03】（2023秋•沈丘县期末）代数式，，，，，中整式的个数　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】根据整式的概念对式子逐个判断即可，单项式和多项式统称为整式． 【规范解答】解：不是单项式也不是多项式，因此不是整式； 是多项式，为整式； 为单项式，为整式； 为多项式，为整式； 不是单项式也不是多项式，因此不是整式； 是单项式，为整式； 整式的个数为4个． 故选：． 【考点评析】本题考查了整式的概念，掌握整式的概念是解题的关键． 考点五：单项式 【典例精讲】（2023秋•川汇区期末）单项式的意义可以是　　 A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 【思路点拨】根据单项式的系数是它的数字因数，进行解答即可． 【规范解答】解：单项式的系数为， 单项式表示的意义是与的积， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了单项式，解题关键是熟练掌握单项式的有关概念． 【变式训练01】（2024•南昌县一模）单项式的次数是　3　． 【思路点拨】直接利用单项式次数的定义得出答案． 【规范解答】解：的次数为：． 故答案为：3． 【考点评析】此题主要考查了单项式，正确把握单项式次数的确定方法是解题关键． 【变式训练02】（2023•玉溪三模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、，根据其中的规律得出的第8个单项式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据符号的规律：为奇数时，单项式为正号，为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是．指数的规律：第个对应的指数是解答即可． 【规范解答】解：根据题意得： 第8个单项式是． 故选：． 【考点评析】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 【变式训练03】（2023秋•海沧区期中）给出以下七个代数式：，，，，，，，请按要求进行分类： （1）分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类． 其中①含字母的有：　、、、、　； ②不含字母的有：　　； （2）模仿（1）的分类方式： 分成三类，分类方法是 　　； 其中①　　； ②　　； ③　　． 【思路点拨】（1）分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类即可； （2）模仿（1）的分类方式分成三类，分类方法是：分成单项式次数为0、1、3三类即可． 【规范解答】解：（1）分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类， 其中①含字母的有：、、、、， ②不含字母的有：，； （2）模仿（1）的分类方式分成三类，分类方法是：分成单项式次数为0、1、3三类． 其中①单项式次数为0的有：，； ②单项式次数为1的有：，， ③单项式次数为3的有：、、． 【考点评析】本题主要考查了单项式的分类，解题关键是正确分类． 考点六：多项式 【典例精讲】（2023秋•巴东县期末）已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且，在数轴上对应的点分别为，，点为数轴上任意一点，对应的数为． （1）　　，　　，并在数轴上标出，； （2）当点为线段的三等分点时，求的值； （3）在（2）的条件下，若点离点较近时，点、、分别从点、、同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据多项式的系数和次数的定义得出即可； （2）由（1）得出线段的长度，再根据三等分点的定义得出的值； （3）根据已知条件得出线段、的长度，设运动时间为秒，代入，分类讨论得出代数式中含有的项，因为为定值，所以含有项的系数为0，得出的值即可． 【规范解答】解：（1）二项式中，系数是，次数是5， 故答案为：，5． （2），， ， 当点为线段的三等分点， 点表示的数为1或3． 的值为1或3． （3）存在， 在（2）的条件下，若点离点较近， ， 设运动时间为秒， 根据题意得，，， 当时， ， 为定值， ， ， 不符合题意，舍去； 当时， ， 为定值， ， ． 【考点评析】本题考查了数轴，多项式的系数和次数，解题关键是能够利用数轴表示出线段的长度． 【变式训练01】（2023秋•徐闻县期末）已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点，对应的数分别为，． （1）　　，　　，线段　　； （2）若数轴上有一点，使得，点为的中点，求的长； （3）有一动点从点出发，以1个单位每秒的速度向终点运动，同时动点从点出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为秒，点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上且，在，的运动过程中，求的值． 【思路点拨】（1）由题意直接可求解； （2）①当点在之间时，如图1，②当点在点的右侧时，如图2，分别计算和的长，相减可得结论； （3）本题有两个动点和，根据速度和时间可得点表示的数为：，点表示的数为：，根据中点的定义得点和表示的数，由得的长和点表示的数，根据数轴上两点的距离可得和的长，相加可得结论． 【规范解答】解：（1）由题意知：，， ， 的距离为； 故答案为，20，30； （2）分两种情况： ①当点在之间时，如图1， ，， ， 是的中点， ， ； ②当点在点的右侧时，如图2， ，， ， ， ； 综上，的长是3或75； （3）由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：， ，， 点在线段之间， 为的中点， 点表示的数为：， 是的中点， 点表示的数为：， ， ， ， 点表示的数为：， ． 【考点评析】本题考查多项式和数轴；根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是关键． 【变式训练02】（2023秋•惠民县期末）下列语句中错误的是　　 A．数字0也是单项式 B．单项式的系数与次数都是1 C．是二次单项式 D．是三次三项式 【思路点拨】根据单项式的定义、单项式的次数，多项式的项的概念，可得答案． 【规范解答】解：、数字0也是单项式，故说法正确，不符合题意； 、单项式的系数是，次数是1，故说法错误，符合题意； 、是二次单项式，故说法正确，不符合题意； 、是三次三项式，故说法正确，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了单项式、多项式，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 【变式训练03】（2024春•九龙坡区校级期末）已知3个多项式分别为：，，，下列结论正确的个数有　　 ①若，则； ②若的结果为单项式，则； ③若关于的方程无解，则； ④代数式化简后共有3种不同表达式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】将、、按要求代入各选项计算即可． 【规范解答】解：①， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，故①错误； ② ， 若为单项式，则， 解得：，故②正确； ③， ， ， ， 方程无解， ， ，故③正确； ④ ， 若， 原式 ， 若， 原式 ， 若， 原式， ， 代数式化简后共有3种不同表达式，故④正确． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了去绝对值，整式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 58．（2023秋•伊金霍洛旗期末）当　3　时，多项式中不含项． 【思路点拨】不含有项，说明整理后其项的系数为0． 【规范解答】解：整理只含的项得：， ，． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查多项式的概念．不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0． 1．（2024七上·庐江期末）用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：a的2倍为2a，b的平方为b2，它们的和为2a+b2． 故答案为：C． 【思路点拨】先求出a的2倍为2a，再求解即可。 2．（2024七上·安顺期末）如图，把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)，不重叠地放在一个长为、宽为长方形内(如图2)，未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】如图： 设小长方形卡片的宽为，则，，， ∵， ∴， ∴两块阴影部分的周长和是： cm， 故答案为：B． 【思路点拨】设小长方形卡片的宽为，求出AB、BC和EF的长，再利用长方形的周长公式列出整式计算即可。 3．（2024七上·仙居期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（　　） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是2 C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是2 【答案】C 【规范解答】解：单项式的系数为，次数为3. 故答案为：C. 【思路点拨】根据单项式的系数：单项式中的数字因式，次数：所有字母的指数和，即可得解． 4．（2024七上·惠城期末）如图所示，边长为 的正方形中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】由图可知，阴影部分的面积为： . 故答案为：A. 【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积等于正方形的面积减去直径为a的圆的面积，进行解答即可． 5．（2024九下·朝阳月考）有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块，这a名男生和b名女生一共搬了　 　块砖（用含a、b的代数式表示） 【答案】 【规范解答】解：∵男生每人搬了40块，共有a名男生， ∴男生共搬运的砖数是：40a， 女生每人搬了30块，共有b名女生， ∴女生共搬运的砖数是：30b， ∴男女生共搬运的砖数是：40a+30b． 故答案为40a+30b． 【思路点拨】首先表示出男生共搬运的砖数，再表示出女生共搬运的砖数，然后相加即可． 6．（2024七下·渝北开学考）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为 ，宽为 ）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图2中两块阴影部分周长的和是　 　 .（用含 或 的代数式来表示） 【答案】4x 【规范解答】解：设小长方形的短边长是a，则长边长是 ， 右上角阴影部分的周长是 ， 左下角阴影部分的周长是 ， . 故答案是：4x. 【思路点拨】设小长方形的短边长为a，用含y，a，x的代数式表示出长边，由此可表示出右上角阴影部分的周长，左下角阴影部分的周长；然后取出图2中阴影部分的周长和，化简即可。 7．（2024七上·通道期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是　 　，第（是正整数）个式子是　 　． 【答案】； 【规范解答】解：由题意得每一项都是单项式，其中系数为，字母是，的指数为． 则第项为， ∴第2023个式子是， 故答案为：，． 【思路点拨】先观察，，，，…，，，…，进而根据单项式即可得到其中系数为，字母是，的指数为，则第项为，再代入2023即可求解， 8．（2024七上·毕节期中）若关于、的多项式中不含二次项，则　 　 ． 【答案】2 9．（2024七上·湛江期末）阅读下面方框内的材料，解答相应的问题： 对称式： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式而式子中字母，交换位置，得到式子，因为，所以不是对称式． 问题： （1）给出下列式子：，，，，其中是对称式的是______填序号即可； （2）写出一个系数为，只含有字母，且次数为的单项式，使该单项式是对称式； 写出一个只含有字母，的三次三项式，使该多项式是对称式； （3）已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． 【答案】（1） （2）， （3）不是对称式 10．（2024七上·峡江期末）小明准备完成化简：，发现系数“□”印刷不清楚． （1）她把“□”猜成4，请你化简； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”请通过计算说明原题中“□”是什么数． 【答案】（1）解：原式； （2）解：设“□”为a， ∴原式=ax2+6x+8-6x-5x2-2 ， ， ∴原题中“□”是5. 【思路点拨】（1）先去括号，再利用整式的加减法分析求解即可； （2）先去括号，再利用整式的加减法可得，再根据“ 结果是常数 ”可得a-5=0，再求出a的值即可. 11．（2024七上·农安期末）已知：关于x、 的多项式 与多项式 的差的值与字母x的取值无关，求代数式 的值. 【答案】解： - =（1-b）x2+（a+3）x-7y+3+b 由于与字母x的取值无关所以1-b=0 ，a+3=0得b=1，a=-3 原式=-a2-7ab-4b2 当b=1，a=-3时 原式=-9+21-4=8 【思路点拨】根据整式的加减法法则可得(x2+ax-y+b)-(bx2-3x+6y-3)=(1-b)x2+(a+3)x-7y+3+b，根据题意可得1-b=0，a+3=0，求出a、b的值，利用去括号法则以及合并同类项法则对待求式进行化简，然后将a、b的值代入计算即可. 12．（2024七上·东莞期末）如图所示，池塘边有块长为20米，宽为10米的长方形土地，现在将其余三面留出宽都是x米的小路，中间余下的长方形部分做菜地． （1）用含x的式子表示菜地的周长． （2）求当米时，菜地的周长． 【答案】（1）解：设菜地的长米，菜地的宽米 菜地的长米， 菜地的宽米， 所以菜地的周长为米． （2）解：当时，菜地的周长米． 【思路点拨】（1）先表示出菜地的长和宽，再利用矩形的周长公式计算即可； （2）将x=1代入（1）中的代数式求解即可。 13．（2024七上·游仙期末）用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分）．设小长方形的长和宽分别为a和b（）． （1）由图1，可知a，b满足的等量关系是　 　； （2）若图2中小正方形的边长为3，求小长方形的面积； （3）用含b的代数式表示图2中小正方形的面积． 【答案】（1） （2）解：∵3a=5b， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴小长方形的面积； （3）解：∵小正方形的边长， ∴小正方形的面积． 【规范解答】解：（1）∵图1是长方形， ∴， 【思路点拨】（1）由长方体的对边相等，即可求解； （2）由“小正方形的边长为3”列出方程，即可求解； （3）先求出小正方形的边长，即可求解。 14．（2024七上·嘉兴期末）某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过40立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过40立方米时，其中的40立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按3.5元/立方米计费.设每户家庭月用水量为x立方米. （1）当x不超过40时，应收水费为　 　（用x的代数式表示）；当x超过40时，应收水费为　 　（用x的代数式表示化简后的结果）； （2）小明家四月份用水26立方米，五月份用水52立方米，请帮小明计算一下他家这两个月一共应交多少元水费？ （3）小明家六月份交水费150元，请帮小明计算一下他家这个月用水量多少立方米？ 【答案】（1）2x；（3.5x－60） （2）解：当x=26时，2x=2×26=52（元）； 当x=52时，3.5x-60=3.5×52-60=122（元） 52+122=174（元） 所以，两个月一共应交174元水费； （3）解：∵150元＞80元 ∴小明家六月份用水量超过40立方米， 因此，设小明家六月份用水x立方米，根据题意得， 3.5x-60=150 解得，x=60 故，小明家六月份用水60立方米. 【规范解答】解：（1）设每户家庭月用水量为x立方米，当x不超过40时，应收水费为：2x元； 当x超过40时，应收水费为：2×40+3.5×（x-40）=3.5x-60； 故答案为：2x；3.5x-60； 【思路点拨】（1）因为月用水量不超过40立方米时，按每立方米2元计费，所以当0≤x≤40时，消费为2x元；当用水量超过40立方米时，其中的40立方米仍按每立方米2元收费，超过部分按3.5元/立方米计费，所以，当x＞40时，消费为2×40+3.5×（x-40）=3.5x-60；（2）由题意可得：四月份用水26立方米，所以用2x计算水费；五月份用水52立方米，所以用3.5x－60计算水费；（3）根据题意知用水量超过40立方米，可列方程3.5x-60=150求解即可. 15．（2023七上·渝北期中）已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（　　） 若，则；若的值与的值无关，则；若，则；若关于的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【规范解答】解：，， ①， ， ， ，①正确； ②， 的值与x的值无关， 的值与x的值无关， ，， ，， ，②正确； ③ ，， 当时，， 当时，， 当时，， 若，即， 当时，满足条件，③正确； ④， ， ， 若关于y的方程的解为整数，则符合条件的非负整数m有0、2、3、5，共4个，④错误， 故结论中正确的是①②③， 故答案为：C 【思路点拨】代入多项式化简得，求解一元二次方程即可判断①；代入多项式化简得，结合“若的值与x的值无关”可得、的值，即可判断②；代入多项式列绝对值方程，然后分类讨论x得取值范围，结合“若”即可判断③；代入多项式化简得即，结合题意进行分析即可判断④。 16．（2023七上·鄞州期末）如图，用三个同图①的长方形和两个同图②的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分(阴影部分)的周长相等，那么图①中长方形的面积S1与图②中长方形的面积S2的比是（　　） A．2：3 B．1：2 C．3：4 D．1：1 【答案】A 【规范解答】解：设①中长方形的长为a，宽为b，②中长方形的长为y，宽为x； 则AD＝3b＋2y＝a＋x， 第一种覆盖方式中阴影部分的周长为：2（3b＋2y＋DC−x）＝6b＋4y＋2DC−2x＝2a＋2DC， 第二种覆盖方式中有一部分的周长为：2（a＋x＋DC−3b）＝2a＋2x＋2DC−6b＝2a＋2x＋2DC−2（a＋x−2y）＝2DC＋4y； ∵两种方式周长相同， ∴2a＋2DC＝2DC＋4y， ∴a＝2y， ∵3b＋2y＝a＋x， ∴x＝3b， ∴S1：S2＝ab：xy＝2y×：（xy）＝． 故答案为：． 【思路点拨】设①中长方形的长为a，宽为b，②中长方形的长为y，宽为x；则AD＝3b＋2y＝a＋x，先表示出两个图形中阴影部分的周长，由周长相等建立方程可得a＝2y，进而即可推出x＝3b，再求面积的比值． 17．（2022七上·南宁月考）按如图所示的运算程序，若开始输入x的值为343，则第2022次输出的结果为（　　） A．343 B．1 C．7 D．49 【答案】C 【规范解答】解：由图所示的运算程序可知： 第1次输入x＝343≠1，输出49， 第2次输入x＝49≠1，输出7， 第3次输入x＝7≠1，输出1， 第4次输入x＝1，输出7， 第5次输入x＝7≠1，输出1， 第6次输入x＝1，输出7， ∴第2022次输出为7， 故答案为：C． 【思路点拨】根据给定的运算程序从输入343开始，找出输出的规律，即可确定第2022次输出的结果． 18．（2023七上·包河期中）设为自然数，且，，则的最小值是　 　. 【答案】618 【规范解答】解：∵x1+x2+x3+...+x10=2023， ∴x8+x9+x10的值最小，则x1+x2+x3+...+x7最大， 即x7-6+x7-5+x7-4+x7-3+x7-2+x7-1+x7=7x7-21，=x7+1+x7+2+x7+3=3x7+6， ∴7x7-21+3x7+6=2023， ∴x7=203.8. ∵x7是自然数， ∴x7=203或204， 当x7=203时， 的值分别为：197，198，199，200，201，202，203，204，205，206， 此时， 197+198+199+200+201+202+203+204+205+206=2015， 2023-2015=8， ∴需要从后8个数中各加上1， ∴ =205+206+207=618； 当当x7=204时， 的值分别为：198，199，200，201，202，203，204，205，206，207， 此时， 198+199+200+201+202+203+204+205+206+207=2025， 2025-2023=2， ∴需要从前面的两个数中减1， ∴ =205+206+207=618； 综上， 的最小值是 618. 故答案为：618. 【思路点拨】取x7为中间量，求出x7的值，再分情况进行讨论即可。 19．（2021七上·诸暨期中）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为acm，宽为bcm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是　 　. 【答案】4b 【规范解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 由题意得：x+3y=a， 则图②中两块阴影部分周长和是：2a+2 (b-3y) +2 (b-x) =2a+2b-6y+2b-2x =2a+4b-2 (x+3y) =2a+4b-2a =4b (cm) . 故答案为：4b. 【思路点拨】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形可得a=x+3y，然后根据周长的定义把两块阴影部分周长和用含x、y的代数式表示，然后化简，把x+3y=a代入其中再化简，即得结果. 20．（2021七上·平阳期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了34×25=850的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为　 　，该图表示的乘积结果为　 　． 【答案】3；728 【规范解答】解：根据题意可得5×a≤6， ∴a=1， ∴6的下方为0，a的左边为6，d的斜上方为：6-5=1，如图， ∴5b=10×1+d，6b≥c， ∵a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8， ∴， ∴c=8，c的斜上方为1，如图， 结果为：600+128=728. 故答案为：3， 728. 【思路点拨】先根据a为自然数，根据 ③ 的条件得到5×a≤6，则可推出a值，然后根据 ② 的条件把求出的数分别填入小方格内，再根据5b=10×1+d，6b≥c，结合a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，求出b、d值，然后再根据② 的条件把求出的数分别填入小方格内，再根据 ③ 的条件填上各数，则可解答. 21．（2021七上·平阳期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 .当 ＋ ＝40时，则图3中阴影部分的面积 　 　. 【答案】20 【规范解答】解：∵S1=a2-b2，S2=2b2-ab， ∴S1+S2=a2-b2-ab=40， ∵S3=a2+b2-a2-(a+b)b=a2+b2-ab =(a2-b2​​​​​​​-ab) =20. 故答案为：20. ​​​​​​​ 【分析观察图形分别把S1和S2用含a、b的代数式表示，代入等式，则可得出a2-b2​​​​​​​-ab=40，然后把S3用含a、b的代数式表示，将其变形代值计算即可. 22．（2023七上·恩平期末）已知多项式中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发． （1）求a（b﹣c）的值； （2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？ （3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点E、F，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 【答案】（1）解：∵多项式中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c， ∴， ∴a（b-c）=3×（-8+2）=-18； （2）解：设经过秒P、Q两点相距5， 根据题意得：， 当点P在点Q的左侧时，， 即， 解得：， 当点P在点Q的右侧时，， 即， 解得：， 综上所述，经过或4秒P、Q两点相距5. （3）解：没有变化，理由如下： 如图： 设， ∵OA=3 ∴， ∵点E为OP的中点， ∴， ∵A对应的数为3，C对应的数为-2，AC的中点为F， ∴OC=2，点F对应的数为， ∴， ∴， ∴， ∴的值是不变，为2 【思路点拨】（1）根据多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，得出a，b，c的值，代入计算即可； （2）相向问题，根据题意得等量关系：相遇前相距5，各自走的路程+5=总路程；相遇后相距5，各自走的路程－5=总路程，据此列方程求解即可； （3）设OP=m，据此表示AP，OE的长，根据A，C两点对应的数字求出AC中点F对应的数字以及OC长，从而得到OF长，于是可得EF长，再分别代入 ，化简即可得到结果. 23．（2024七上·长沙期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c. （1）　 　，　 　，　 　； （2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与某数表示的点重合，则此数为　 　； （3）若这三条线段的长度之比为2∶2∶5，则折痕处对应的点在数轴上所表示的数可能是多少？ 【答案】（1）；1；9 （2）6 （3）解：这条线段的长是11，且剪断后三条线段的长度之比为2∶2∶5，，故这三条线段的长分别为：，，. 如图1，当时，折痕处的数为：. 如图2，当时，AM折痕处的数为：. 如图3，当时，折痕处的数为：. 综上所述：折痕处对应的点在数轴上所表示的数可能是，， 【规范解答】解：（1）b是最小的正整数，b=1， 是关于x的二次多项式，且一次项系数为c， a+2=0，c=9， a=-2， 综上所述，a=-2，b=1，c=9. 故答案为：-2；1；9. （2）设折叠后折痕上的点表示的数为M， a=-2，c=9， 点M表示的数为， 设此时与点B重合的点表示的数为x， 依题由：， 解得：x=6， 此数为6. 故答案为：6. 【思路点拨】（1）根据最小的正整数是1以及多项式的系数和次数的定义即可求出a、b、c的值； （2）根据数轴上两点间中点的表示方法即可解决； （3）先根据三条线段的长度之比为2∶2∶5，求得三条线段的长分别为，，，再根据数轴上点的表示及线段中点的定义分类讨论即可. 24．（2023七上·赵县期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予八折优惠， 超过500元部分给予七折优惠 （1）若王老师一次性购物600元，他实际付款　 　元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是　 　元； （2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款　 　元，当x大于或等于500元时，他实际付款　 　元（用含x的代数式表示并化简）； （3）如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（200＜a＜300，用含a的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当a＝250元时，王老师两天一共节省了多少元？ 【答案】（1）470；160或200 （2）0.8x；0.7x＋50 （3）解：因为第一天购物原价为a元（200＜a＜300）则第二天购物原价为（900－a）元， 则900－a＞500 第一天购物优惠后实际付款a×0.8＝0.8a（元） 第二天购物优惠后实际付款500×0.8＋[（900－a）－500]×0.7＝680－0.7a（元） 则一共付款0.8a＋680－0.7a＝0.1a＋680（元） 当a＝250元时，实际一共付款680＋0.1×250＝680＋25＝705（元） 一共节省900－705＝195（元） 【规范解答】解：（1）由题意可得：500×0.8+（600-500）×0.7=470（元）， 分类讨论：①一次性购物160元，没有优惠； ②一次性购物x元（x≥200），有八折优惠， 由题意可得：0.8x=160， 解得：x=200， 即王老师一次性购物可能是160元或200元； （2） 当x小于500元但不小于200时，他实际付款0.8x元； 当x大于或等于500元时，他实际付款：500×0.8+0.7（x-500）=（0.7x+50）元； 故答案为：0.8x；0.7x+50. 【思路点拨】（1）根据表格中的数据计算求解即可； （2）根据所给的优惠方案计算求解即可； （3）根据题意列式，再将a的值代入计算求解即可。 25．（2024七上·高州期末）【材料阅读】 已知是关于的二次二项式，A，B是如图1数轴上两点，且A，B对应的数分别为a，b.C是线段AB的中点. （1）A点对应的数　 　，点对应的数　 　，点表示的数是　 　； （2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则秒后，点P、Q表示的数分别是　 　、　 　（用含t的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为2，求的值. 【方法迁移】 如图2，平分.现有射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两条射线都停止旋转.问经过几秒后，射线OP、OQ的夹角为 【生活运用】 周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过多少分钟后，分针与时针的夹角首次变成 【答案】（1）-1；7；3 （2）3+3t；7+t （3）∵P、Q两点之间的距离为2， ∴（7+t）﹣（3t+3）＝2或（3t+3）﹣（7+t）＝2．（绝对值|（7+t）﹣（3t+3）|＝2也给分） 解得：t＝1或t＝3． ∴若P、Q两点之间的距离为2，t的值为1秒或3秒． 【方法迁移】∵∠AOB＝140°，OC平分∠AOB， ∴∠COB＝∠AOB＝70°， 设经过x秒后，射线OP、OQ的夹角为30°， ∴70°﹣15°x+10°x＝30°或15°x﹣70°﹣10°x＝30°， 解得：x＝8或x＝20． （∵射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒15°和每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两条射线都停止旋转， ∴0°≤15°x≤360°， ∴0≤x≤24． ∴经过8秒或20秒后，射线OP、OQ的夹角为30°．（此过程不作要求） 【生活运用】设经过x分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°， ∵分针每分钟旋转6°，时针每分钟旋转0.5°， ∴90°﹣6°x+0.5°x＝45°， 解得：x＝， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°． 【规范解答】解：（1）由题意可知，a+1=0，解得a=-1；b-7=0，解得b=7； ∵AB=7-（-1）=8 ∴BC=AB=4 ∴点C表示的数为7-4=3 故答案为：-1；7；3. 【思路点拨】（1）根据多项式的性质，可列一元一次方程求出a和b的值；根据线段中点的性质，可得点C表示的数； （2）根据有理数的加法计算即可； （3）根据数轴上两点间的距离公式，直接列一元一次方程即可；根据角平分线的性质和角的和差性质，列一元一次方程即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 第 45 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$