精品解析：湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

炎陵县2024年上期高二期末考试·数学卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知随机变量服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则（ ） A. x与y负相关，x与z负相关 B. x与y正相关，x与z正相关 C. x与y负相关，x与z正相关 D. x与y正相关，x与z负相关 3. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（ ） A. 18种 B. 30种 C. 42种 D. 60种 6. 有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象如图所示，则（ ） A B. 1 C. D. 8. 已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设、是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列选项一定正确的是（ ） A B. C. D. 10. 设，这两个正态曲线如图所示.则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答） 13. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是__________ 14. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是______小时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知， . (1)求tanC值； (2)若a＝，求△ABC的面积． 17. 某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． （1）求甲的累计得分的分布列和期望； （2）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 18. 如图，在四棱锥，，，E为PC的中点． （1）证明：直线平面PAD； （2）若平面平面ABCD，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 19. 为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只） 药物 疾病 未患病 患病 合计 未服用 服用 合计 （1）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性； （2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为．若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望． 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2706 3.841 6635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 炎陵县2024年上期高二期末考试·数学卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知随机变量服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入二项分布的方差公式，即可求解. 【详解】由随机变量服从二项分布，可得. 故选：D. 2. 已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则（ ） A. x与y负相关，x与z负相关 B. x与y正相关，x与z正相关 C. x与y负相关，x与z正相关 D. x与y正相关，x与z负相关 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合回归方程可判断x与y正相关，再由变量y与z负相关，即可判断x与z负相关. 【详解】根据回归方程可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关， 由正相关、负相关的定义可知，x与z负相关. 故选：D 3. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解. 【详解】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，所以， 所以. 故选：D 5. 某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（ ） A. 18种 B. 30种 C. 42种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】分只有同学甲去A公司及除同学甲外还有一名同学去A公司进行讨论，结合排列数与组合数的计算即可得. 【详解】若只有同学甲去A公司，则共有种可能， 若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有种可能， 故共有种可能. 故选：B. 6. 有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案. 【详解】将4个盒子按顺序拆开有种方法， 若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中， 则前两个盒子都是白球或都是黑球，有种情况， 则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为. 故选：B 7. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用图象分析得到解析式，再计算即可. 【详解】由图象可知，，，， 时，，解得，故，故. 故选：D. 【点睛】根据图象求函数解析式： （1）利用最值确定A值； （2）利用图象求周期，根据求； （3）利用特殊点整体代入法确定值. 8. 已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由已知可得为上的增函数，从而可得恒成立，参变分离可求的取值范围. 【详解】根据 可知， 令， 可得为上的增函数， 所以恒成立，分离参数得， 而当时，， 当且仅当，即时取等号，故最大值为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设、是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件概率公式求出，再由概率加法公式求出. 【详解】因为，，所以，故A正确，B错误； 又且， 所以，故C正确，D错误. 故选：AC 10. 设，这两个正态曲线如图所示.则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知图象可得与，与的大小关系，然后利用正态分布的性质逐一分析各选项即可得解. 【详解】因为，两曲线分别关于和对称， 所以由图可知，，所以A错误； 因为X分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以 ，所以B正确； 由正态分布在区间上的概率的几何意义，有， C错误； ，D正确. 故选：BD 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D. 【详解】A：， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 所以时取得极值，故A正确； B：因为，，， 所以函数只在上有一个零点，即函数只有一个零点，故B正确； C：令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； D：令，可得，又， 当切点为时，切线方程为， 当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C，构造函数，奇函数图象关于原点对称推出的对称性是解决本题的关键. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合二项式的展开式的性质，准确计算，即可求解. 【详解】由题意，多项式的展开式中含有的项为： ， 所以的系数为． 故答案：. 13. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是__________ 【答案】3 【解析】 【分析】求出在点处的切线方程为，设该切线与切于点，求导得到，求出，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意知，，，， 则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点， 其中，则，解得， 将代入切线方程，得， 则，解得； 故答案为：3 14. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是______小时. 【答案】24 【解析】 【详解】由题意得：，所以时，. 考点：函数及其应用. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）分类讨论即可根据导函数的正负，即可求解单调性得解. 【小问1详解】 当时，，则， 故，， 故切线方程为，即， 【小问2详解】 且， 当时，，的单调增区间为，； 当时， 当时，，当时，， 所以的单调减区间为，单调增区间为，； 当时，，所以的单调减区间为， 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知， . (1)求tanC的值； (2)若a＝，求△ABC的面积． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【详解】解：(1)∵0<A<π，cosA＝， ∴sinA＝＝． 又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝cosC＋sinC， ∴tanC＝． (2)由tanC＝，得sinC＝，cosC＝． 于是sinB＝cosC＝． 由a＝及正弦定理＝，得c＝， 设△ABC的面积为S，则S＝acsinB＝． 17. 某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． （1）求甲的累计得分的分布列和期望； （2）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知：甲、乙每次答对与否互不影响，利用独立事件的概率公式求出相应概率，从而得到的分布列及期望； （2）根据题目发现该问考查条件概率，利用条件概率公式进行求解，或者利用条件概率的本质特征，样本空间缩小，进行求解. 【小问1详解】 由题意知：甲累计得分可能取值有：， 所以， ， ， ， ， ， 分布列为： 0 30 40 60 70 100 . 【小问2详解】 法一：根据题意得：得分不低于70分即可获奖， 由（1）知：甲获奖的概率为， 乙获奖的概率为：， 乙只得70分的概率为：， 所以甲、乙两人同时获奖的概率为：， 甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为：， 所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为：. 法二：已知得分不低于70分才可获奖，即甲、乙的得分应为70或100，共计4种情况，其中，甲比乙高的情况，只有甲获得100分，乙获得70分时一种情况，故概率为：. 18. 如图，在四棱锥，，，E为PC的中点． （1）证明：直线平面PAD； （2）若平面平面ABCD，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行及面面平行判定定理，面面平行性质定理可证； （2）根据面面垂直性质定理，应用空间向量法求线面角即可. 【小问1详解】 取CD的中点M，连接EM，BM， 因为，所以． 因为，，所以，，． 又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD 因为E为PC的中点，M为CD的中点，所以． 又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD 又因为，，所以平面平面PAD． 而平面BEM，故平面PAD． 【小问2详解】 因平面平面ABCD，连接AC交BD于点O，连PO，由对称性知，O为BD中点，且． 如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，过点O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，． 设，则，，得，，． 设平面PCD的一个法向量为， 由于，， 则得 令，得，，故， 设直线AB与平面PCD所成角为，由于， 则， 故直线AB与平面PCD所成角的正弦值为． 19. 为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只） 药物 疾病 未患病 患病 合计 未服用 服用 合计 （1）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性； （2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为．若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望． 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为药物对预防疾病有效果 （2）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）提出零假设为药物对预防疾病无效果，根据列联表计算出的值，结合临界值表可得出结论； （2）利用全概率公式计算出药物的治愈率，分析可知，利用二项分布列可得出随机变量的分布列，进而可得出的值. 【小问1详解】 解：零假设为药物对预防疾病无效果， 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立， 即认为药物对预防疾病有效果． 【小问2详解】 解：设A表示药物的治愈率，表示对未服用过药物，表示服用过药物， 由题意可得，， 且，， ， 药物的治愈率， 则，所以， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： X 0 1 2 3 P ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $