专题16 单调性与最大（小）值（九大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题16 单调性与最大（小）值 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 【典例例题】 题型一：单调性的概念 【典例1-1】（2024·高一·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【典例1-2】（2024·高一·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：函数的单调性的证明 【典例2-1】（2024·高一·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【典例2-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【变式2-1】（2024·高一·新疆喀什·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； 【变式2-2】（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【变式2-3】（2024·高一·全国·课后作业）（1）证明：函数在R上是增函数． （2）证明：函数在区间上单调递减． 题型三：求函数的单调区间 【典例3-1】（2024·高一·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 【典例3-2】（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 【变式3-1】（2024·高一·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． 【变式3-2】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【变式3-3】（2024·高一·广东广州·期中）函数的单调递减区间是 ． 题型四：利用函数单调性求参数的取值范围 【典例4-1】（2024·高一·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数是增函数，则实数的取值范围为 . 【典例4-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【变式4-1】（2024·高一·广东河源·阶段练习）已知函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 ． 【变式4-2】（2024·高一·广东潮州·期中）已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是 . 【变式4-3】（2024·高一·广东深圳·期末）函数在上单调递增，则k的取值范围为 ． 题型五：利用函数单调性的性质解不等式 【典例5-1】（2024·高一·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【典例5-2】（2024·高一·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【变式5-1】（2024·高一·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 【变式5-2】（2024·高一·北京海淀·阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是 . 【变式5-3】（2024·高一·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 【典例6-1】（2024·高一·全国·假期作业）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高三·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高一·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·高一·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型七：求函数的最值 【典例7-1】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【典例7-2】（2024·高一·全国·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求函数的值域． 【变式7-1】（2024·高一·黑龙江鹤岗·期中）1.给定函数. (1)在同一直角坐标系中画出函数图象; (2)用表示中的最大者，记为请分别用图象法和解析法表示函数，并写出函数的单调区间和最值. 【变式7-2】（2024·高一·湖北黄冈·期中）函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为 . 【变式7-3】（2024·高一·浙江金华·阶段练习）函数y=+的最大值为 . 题型八：抽象函数单调性的证明 【典例8-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有.试说明：函数是上的单调递减函数； 【典例8-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性. 【变式8-1】（2024·高一·上海·期末）已知函数是上的严格增函数，是上的严格减函数，判断函数的单调性，并利用定义证明． 【变式8-2】（2024·高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 【变式8-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 【变式8-4】（2024·高一·安徽·期末）已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于x的不等式的解集. 题型九：二次函数在闭区间上的最值问题 【典例9-1】（2024·高一·重庆巴南·阶段练习）已知二次函数，且对任意实数均有成立． (1)若函数的解析式； (2)若函数在的最大值为13，求实数m的值． 【典例9-2】（2024·高一·四川达州·期中）已知二次函数满足的解集为，且. (1)求的解析式； (2)当时，若函数的最大值为，求的值. 【变式9-1】（2024·高一·北京昌平·期中）二次函数，且， (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)当时，求函数的最小值的解析式. 【变式9-2】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合,不等式的解集为． (1)当，求实数的取值范围； (2)已知函数,且,求此函数的最小值构成的函数． 【变式9-3】（2024·高一·云南昆明·期中）已知函数的定义域为D． (1)求D； (2)讨论函数的最小值． 【变式9-4】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12． (1)求的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高二·浙江嘉兴·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·上海徐汇·期末）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．（2024·高一·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为，若，当时，，则函数是上的减函数 B．函数的定义域为，若，当时，，则函数不是上的增函数 C．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数在上是增函数 D．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数在上是增函数 4．（2024·高一·四川遂宁·阶段练习）定义在上的函数，对任意有，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·全国·课后作业）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（    ） A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在减区间 6．（2024·高一·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2024·高一·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 8．（2024·高一·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高一·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高一·广东珠海·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·高一·全国·专题练习）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·高一·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·高一·全国·专题练习）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．（2024·高一·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 15．（2024·高一·上海浦东新·期末）函数的增区间为 ． 16．（2024·高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 17．（2024·高一·山东聊城·期中）对于任意实数a，b，定义设函数，，则函数的最小值为 ． 18．（2024·高一·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 三、解答题 19．（2024·高一·山东·期中）已知函数（），其中. (1)若，求函数的最小值； (2)若，讨论并证明函数的单调性. 20．（2024·高一·河南·开学考试）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 21．（2024·高三·宁夏银川·阶段练习）给定函数.      (1)在同一坐标系中画出函数的图像， (2)若表示中的较小者，例如.记. （i）请分别用图像法和解析法表示函数，并指出函数的单调区间， （ii）当时，求的最大值和最小值 22．（2024·高一·全国·阶段练习）定义在上的函数，满足，且当时，. (1)求证：； (2)若，解不等式. 23．（2024·高一·北京·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值． 24．（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）已知函数，． (1)若，求方程的解； (2)若方程有两解，求出实数a的取值范围； (3)若，记，试求函数在区间上的最大值． 25．（2024·高一·全国·课后作业）已知一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，且图象的对称轴为，且过点. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 单调性与最大（小）值 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 【典例例题】 题型一：单调性的概念 【典例1-1】（2024·高一·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，，显然满足，但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得.则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高一·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 【变式1-1】（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增，且， 由增函数的定义可知，当时，有， 充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾， 若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立. 即对实数，“”是“”的充要条件. 故选：C 【变式1-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是上的增函数，函数是上的减函数， 所以函数是上的增函数， 函数是上的减函数， 函数，的单调性无法判断. 故选：B. 题型二：函数的单调性的证明 【典例2-1】（2024·高一·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【解析】（1），； （2）设， ， ，即 则函数在上是增函数 【典例2-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【解析】（1）要使函数有意义，当且仅当， 由得， 所以函数的定义域为. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，， 所以. 因为，，所以，，， 又，所以，故，即， 因此函数在上单调递减. 【变式2-1】（2024·高一·新疆喀什·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； 【解析】（1）由分式性质可知，，故函数定义域为： （2）函数在上是增函数，证明如下： 设，， ， 因为，则，， 可得，即， 所以在上是增函数. 【变式2-2】（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【解析】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴，∴，在上的单调递减. 【变式2-3】（2024·高一·全国·课后作业）（1）证明：函数在R上是增函数． （2）证明：函数在区间上单调递减． 【解析】（1）任取，且，则 ∵，∴．又∵， ∴，即， ∴函数在R上是增函数． （2）任取，且，则 ． ∵，∴． 又∵，∴，，， ∴，即． ∴函数在区间上单调递减． 题型三：求函数的单调区间 【典例3-1】（2024·高一·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【解析】二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 【典例3-2】（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】，画出函数图象， 结合图象得函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【变式3-1】（2024·高一·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】由二次函数的性质可知的对称轴为，开口向上， 所以其单调区间为. 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【解析】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 【变式3-3】（2024·高一·广东广州·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【解析】设，由可得，或， 则函数，由在单调递减，在单调递增， 而在单调递增，由复合函数的单调性可知， 函数的单调递减区间是. 故答案为： 题型四：利用函数单调性求参数的取值范围 【典例4-1】（2024·高一·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为为增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-1】（2024·高一·广东河源·阶段练习）已知函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 由函数在区间上具有单调性， 可得或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高一·广东潮州·期中）已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，对称轴为， 令，此时，满足要求， 令，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-3】（2024·高一·广东深圳·期末）函数在上单调递增，则k的取值范围为 ． 【答案】 【解析】若，则在上单调递增， 所以函数在上单调递增，符合题意； 若，则函数在上单调递增，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 综上所述：k的取值范围为. 故答案为：. 题型五：利用函数单调性的性质解不等式 【典例5-1】（2024·高一·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因是定义在R上的增函数，故由可得 ，即，解得. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高一·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式5-1】（2024·高一·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高一·北京海淀·阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，因此函数在R上单调递增， 则不等式等价于，即，解得， 所以所求的取值范围是. 故答案为： 【变式5-3】（2024·高一·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即， 故选：D 题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 【典例6-1】（2024·高一·全国·假期作业）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误； 故选：C． 【典例6-2】（2024·高三·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，结合在上单调递减， 则必有，显然B正确，A错误， 而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误. 故选：B 【变式6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 【变式6-2】（2024·高一·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 因为在区间上单调递减，所以，即. 故选：A 【变式6-3】（2024·高一·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数图象关于轴对称， 则，， 又函数在区间是单调递减函数， 所以， 即， 故选：B. 题型七：求函数的最值 【典例7-1】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）因为， 因为在单调递减， 所以在单调递增. 定义法证明如下： 任取，，则， ， 所以，故在单调递增. （2）由（1）得在区间上单调递增， 所以，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【典例7-2】（2024·高一·全国·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求函数的值域． 【解析】（1）函数在上是增函数. 证明如下： 任取，且， 则 因为，且，所以，， 所以，即， 所以函数在上是增函数． （2）令，则， 则的值域即为求的值域， 由（1）知函数在是单调递增， 所以当时，即，即时，取最小值， 所以，所以函数的值域为. 【变式7-1】（2024·高一·黑龙江鹤岗·期中）1.给定函数. (1)在同一直角坐标系中画出函数图象; (2)用表示中的最大者，记为请分别用图象法和解析法表示函数，并写出函数的单调区间和最值. 【解析】（1） （2）第一问已经画出了在同一直角坐标系中画出函数图象，选取一个函数图象位于另一个函数图象的上方部分，即为的图象，如图所示 由，解得， 所以的解析式为        单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为1，无最大值 【变式7-2】（2024·高一·湖北黄冈·期中）函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为 . 【答案】 【解析】函数的图象如下， 当时，令，得舍，， 当时，令，得，舍， 结合图象可得 故答案为： 【变式7-3】（2024·高一·浙江金华·阶段练习）函数y=+的最大值为 . 【答案】 【解析】由，解得， 即函数的定义域为， ， 当时，取得最大值， 即. 故答案为： 题型八：抽象函数单调性的证明 【典例8-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有.试说明：函数是上的单调递减函数； 【解析】设是上的任意两个实数，且， 所以， 因为且，所以，所以， 所以，即， 所以是上的单调递减函数. 【典例8-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性. 【解析】设是区间上的任意两个实数，且， 所以， 因为且，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 【变式8-1】（2024·高一·上海·期末）已知函数是上的严格增函数，是上的严格减函数，判断函数的单调性，并利用定义证明． 【解析】函数是上的单调递增函数. 证明如下：任取且， 因为函数 是上的严格增函数， 是上的严格减函数， 可得， 则， 即， 所以函数为上的严格增函数. 【变式8-2】（2024·高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 【解析】（1）令，得，则， 而， 又，所以； （2）任取，且，， 当时，，， ，即 在上为减函数． 【变式8-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 【解析】函数在上单调递增，证明如下： 设，则，所以，即， 任取，且，则， 所以， 即，所以在上单调递增. 【变式8-4】（2024·高一·安徽·期末）已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于x的不等式的解集. 【解析】（1）在上单调递减，证明如下： 因为，，总有成立，当时，， ，且，则， 则，即， 所以在上单调递减. （2）因为因为，，总有成立， 所以，则， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得. 所以不等式的解集为. 题型九：二次函数在闭区间上的最值问题 【典例9-1】（2024·高一·重庆巴南·阶段练习）已知二次函数，且对任意实数均有成立． (1)若函数的解析式； (2)若函数在的最大值为13，求实数m的值． 【解析】（1），，，故， ， 对任意实数均有成立，，故，解得. . （2）， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述：或. 【典例9-2】（2024·高一·四川达州·期中）已知二次函数满足的解集为，且. (1)求的解析式； (2)当时，若函数的最大值为，求的值. 【解析】（1）设二次函数，又 的解集为，即的解集为 则方程的两根为1和3，且 所以，解得，所以； （2）由于，又 当时，在上单调递减，所以； 当，即时，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以； 所以 由，得或，解得或 【变式9-1】（2024·高一·北京昌平·期中）二次函数，且， (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)当时，求函数的最小值的解析式. 【解析】（1）由题意，∵，∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，解得：，则，. （2）由题意，关于的方程在上有解， 即在上有解，则， ∵，∴，则， 解得：，即实数的取值范围为. （3） 如上图，函数的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线， 当时，函数在上单调递增，则； 当即时，函数在上单调递减，则； 当即时，； 综上，. 【变式9-2】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合,不等式的解集为． (1)当，求实数的取值范围； (2)已知函数,且,求此函数的最小值构成的函数． 【解析】（1）由，得，解得或，即， 当时，即时，，满足， 当时，由，则，解得， 综上：实数的取值范围或. （2）由（1）得函数,， 图像开口向上，对称轴为， 当或时，即或时， ， 当，即时，， 当，即时，， 综上，则函数的最小值构成的函数为. 【变式9-3】（2024·高一·云南昆明·期中）已知函数的定义域为D． (1)求D； (2)讨论函数的最小值． 【解析】（1）由，即，得，所以． （2）， 当时，为减函数，则． 当时，． 当时，为增函数， 则． 综上， 【变式9-4】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12． (1)求的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【解析】（1）设， 因为不等式的解集是， 所以且方程的根为， 则，所以， 所以，其对称轴为， 故在区间上的最大值为， 所以，解得， 所以； （2）由（1）得，其对称轴为， 当时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上所述，， 当时，，当时取等号， 当时，，当时取等号， 当时，， 综上所述，当时，取最小值． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高二·浙江嘉兴·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确； 对于B，函数在区间上是减函数，故B正确； 对于C，函数在上是增函数，故C不正确； 对于D，函数在上是增函数，故D不正确. 故选：B． 2．（2024·高一·上海徐汇·期末）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】若函数在上严格递增，对任意的、且，， 由不等式的性质可得，即， 所以，在上严格递增， 所以，“在上严格递增”“在上严格递增”； 若在上严格递增，不妨取， 则函数在上严格递增，但函数在上严格递减， 所以，“在上严格递增”“在上严格递增”. 因此，“在上严格递增”是“在上严格递增”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·高一·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为，若，当时，，则函数是上的减函数 B．函数的定义域为，若，当时，，则函数不是上的增函数 C．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数在上是增函数 D．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数在上是增函数 【答案】C 【解析】由减函数的定义，知A说法正确； 对于B，，当时，，所以不是上的增函数，B说法正确； 对于C，若，则在[0，1]和（1，2]上均是增函数，但在[0，2]上不是增函数，C说法错误； 对比C选项，D选项两区间有重合部分，正确. 故选：C． 4．（2024·高一·四川遂宁·阶段练习）定义在上的函数，对任意有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，对任意有， 故任取，有 即在上单调递减 由于 故选：A 5．（2024·高一·全国·课后作业）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（    ） A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在减区间 【答案】C 【解析】因为函数在区间和上均为增函数， 对于A，符合条件的图像如图所示， 函数在区间上不是增函数，，但，故A错误； 对于B，符合条件的图像如图所示， 函数在区间和上连续，此时在区间上是增函数，故B错误； 对于CD，函数在区间和上不论是否连续，都不可能是减函数，所以不存在减区间，故C正确，D错误； 故选：C 6．（2024·高一·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， ，解得，所以的取值范围是. 故选：A. 7．（2024·高一·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 8．（2024·高一·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设，则，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，则有，解得， 故选：B． 9．（2024·高一·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的单调递减区间是，依题意，，则，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：D 10．（2024·高一·广东珠海·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使在上单调递增， 故在上递增，在上递增，且， 所以. 故选：C 11．（2024·高一·全国·专题练习）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在单调递增，且， 所以，即，解得. 故选：D. 12．（2024·高一·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 13．（2024·高一·全国·专题练习）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令函数， 因为函数在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减， 又因为，所以，即. 故选：C. 二、填空题 14．（2024·高一·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 15．（2024·高一·上海浦东新·期末）函数的增区间为 ． 【答案】 【解析】若的单调递增区间为， 任取，， 因为，，可得恒成立， 即，解得或（舍去）， 所以函数的增区间为． 故答案为： 16．（2024·高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 【答案】 【解析】由题意知函数均在上单调递增， 故在定义域上为增函数， 所以，， 即的值域为， 故答案为： 17．（2024·高一·山东聊城·期中）对于任意实数a，b，定义设函数，，则函数的最小值为 ． 【答案】1 【解析】令，，即，，得， 当，，当，， 所以 当时，单调递减，当时，函数单调递增， 所以当时，． 故答案为： 18．（2024·高一·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为， 当时，； 当时，开口向上，对称轴为， 又是的最小值，， 所以，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 19．（2024·高一·山东·期中）已知函数（），其中. (1)若，求函数的最小值； (2)若，讨论并证明函数的单调性. 【解析】（1）因为，所以，满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以取得最小值. （2）因为，所以 ，，且，则 . 由，得，， 于是，即. 所以，函数在区间上单调递减. 20．（2024·高一·河南·开学考试）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【解析】（1）令，得， 则， 故的解析式为． （2）由题意得， 函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 故在上的值域为． 21．（2024·高三·宁夏银川·阶段练习）给定函数.      (1)在同一坐标系中画出函数的图像， (2)若表示中的较小者，例如.记. （i）请分别用图像法和解析法表示函数，并指出函数的单调区间， （ii）当时，求的最大值和最小值 【解析】（1）函数，图象如下： （2）（i）由，得，解得或， 则由题意可知：， 的图象如下： 由图象可知：的单调递增区间为和； 的单调递减区间为； （ii）因为，结合图象可知在上连续， 且，， ，， 所以，， 22．（2024·高一·全国·阶段练习）定义在上的函数，满足，且当时，. (1)求证：； (2)若，解不等式. 【解析】（1），即 （2）任取，，且，则. 由（1）得， 即.∴在上是增函数 ∵，∴， 又在上为增函数，∴，解得 故不等式的解集为. 23．（2024·高一·北京·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值． 【解析】（1）当时，， 又，所以，， 所以函数的最大值为12，最小值为-4. （2）的对称轴为，开口向上， ①    当，即时， ，即，符合题意； ②    当，即时， ，即，不符合题意； ③    当，即时， ，无解，不符合题意； 综上，可得. 24．（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）已知函数，． (1)若，求方程的解； (2)若方程有两解，求出实数a的取值范围； (3)若，记，试求函数在区间上的最大值． 【解析】（1），，，即，即， 解得. （2），，，即， 当时，，方程在有两解， 则，解得； 当时，，不成立； 当时，，方程在有两解， 则，解得； 综上所述： （3）， ①当时，则，对称轴 ，函数在上是增函数， 函数的最大值为； ②当时，， 对称轴，所以函数在上是减函数，在上是增函数， ，，若，即，函数的最大值为； 若，即，函数的最大值为. ③当时，对称轴，此时； ④当时，对称轴，.综上所述： 函数在区间上的最大值 25．（2024·高一·全国·课后作业）已知一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，且图象的对称轴为，且过点. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【解析】（1）因为一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同， 且图象的对称轴为， 设， 因为函数的图象过点，则有，解得. 所以，函数的解析式为. （2）因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取最大值， 当时，；当时，，则. 故函数在上的最大值为，最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$