22.1.4 二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)（分层作业）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第二课时) 基础训练 1．（2023·四川广安·一模）如图，直线l为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象与系数符号的关系是解题关键．由二次函数对称轴位置可知，、异号，即可得到答案． 【详解】解：由图像可知，二次函数对称轴l在轴右侧， 、异号， ， 故选：C． 2．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知：如图为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（　　）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象和一次函数图象与系数的关系．根据抛物线的开口向上可得：，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以．所以直线不经过第四象限． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左边， ∴a，b同号，即， ∴直线不经过第四象限， 故选：D． 3．（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论∶①②；③；④其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象可确定和的符号，根据 的函数值和对称轴的位置即可得出答案，解题的关键是要能根据图象确定，的符号，能确定是时的函数值． 【详解】解：由二次函数的图象可知开口向下， 故①符合题意， ∵由图象可知，当时，故②不符合题意， ∵二次函数的图象与轴的交点在轴的上方， 故③符合题意， ∵由图象可知抛物线的对称轴在和之间， 故④符合题意， ∴正确的个数有个， 故选：B． 4．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数解析式，由二次函数图像的顶点坐标为，设二次函数顶点式，将代入，再解方程即可得到答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数顶点式， 图像过点， ，解得， 该二次函数的解析式是， 故选：C． 5．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C．与轴另一交点坐标为 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向判断A，根据对称轴判断B，根据抛物线的对称性判断C，将代入解析式判断D． 【详解】解：抛物线开口向下， ，故A选项结论正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ，故B选项结论错误； 抛物线的对称轴为直线，与轴一交点坐标为 该抛物线与轴另一交点坐标的横坐标为， 该抛物线与轴另一交点坐标为，故C选项结论正确； 将代入，得，故D选项结论正确； 故选B． 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表．下列结论不正确的是（　　） x 0 1 y 0 4 6 6 A．抛物线的开口向下 B．抛物线与x轴的一个交点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．函数的最大值为 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：把分别代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下，所以A选项正确，不符合题意； 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，所以B错误，符合题意． ， ∴抛物线的对称轴为直线，所以C选项正确，不符合题意； 当时，y有最大值，所以D选项正确，不符合题意； 故选：B． 7．（2023·浙江·模拟预测）有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 由与的形状一致，设该二次函数的表达式为，把，代入可得答案． 【详解】解：由与的形状一致，设该二次函数的表达式为， 把，代入得： ， 解得， ； 故选：B． 8．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据图象可判断①，根据抛物线的对称轴判断②，根据图象与性质判断③④． 【详解】解：抛物线开口向下，， 对称轴在轴右侧，， 抛物线与轴交于正半轴，， ，故①正确； ，， ，故②正确； 对称轴是直线，其中一个点的坐标为， ， ，，故③正确； 当、同在对称轴左侧时， ，在对称轴左侧，随增大而增大， ，， 当、同在对称轴右侧时， ，在对称轴右侧，随增大而减小， ，，故④错误． 故选：C． 9．（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图所示，抛物线的对称轴为，现给出下面四条信息： ；；； ． 你认为其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点位置可判断出的符号，且能确定和的关系，可判断；由和时的函数值，可判断；由二次函数图象确定的符号及系数的关系是解题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴的交点位于轴的上方， ∴，， ∵对称轴为，     ∴， ∴，， ∴，故正确，错误； ∵当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴， ∴，故正确； ∴正确的有个， 故选：． 10．（2023·广西·模拟预测）已知一次函数与二次函数，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数的图象共存的问题，可先根据一次函数的图象判断m、n的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，再判断正误即可． 【详解】解：A、由一次函数图象，得，，由二次函数图象，得，，故A错误； B、由一次函数图象，得，，由二次函数图象，得，，故B符合题意； C、由一次函数图象，得，，由二次函数图象，得，，故C错误； D、由一次函数图象，得，，由二次函数图象，得，，故D错误； 故选：B． 11．（23-24九年级上·山东烟台·期中）抛物线上的部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表； x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 容易看出，点是抛物线与x轴的一个公共点，则它与x轴的另一个公共点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，先根据表格确定抛物线的对称轴，根据对称性，求出另一个交点坐标即可． 【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为：； 故答案为： 12．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，有下列个结论：； ；；；，是抛物线上两点（），若，则；其中正确的结论有 ． 【答案】 【详解】题目主要考查二次函数的图象和性质及与一元二次方程的关系，结合图象及性质依次进行判断即可，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 解：由图象可知，，对称轴， 且， ，故不正确； 由图可知当时，， ， ，故正确； 抛物线与轴有两个交点， ，故不正确； ，， ， ，故正确． 是抛物线上两点，若， ， 函数对称轴是直线， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ，故正确． 故答案为：． 13．（2023·四川巴中·模拟预测）已知二次函数，其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系： x … 2 3 4 … y … 4.8 … 下列判断中，正确的是 （填序号）． ①顶点是；②；③；④当时，；⑤当时，y随着x的增大而减小． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查二次函数的图象性质，由，可得抛物线的对称轴为直线，由，，都在抛物线上可知抛物线的开口向下，进而逐项判断即可得到结论． 【详解】解：已知抛物线经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点不是，故①错误； 由，，可得时，y随着x的增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∴，故②正确； ∵抛物线经过点，，， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴抛物线经过点， ∴当时，，故④正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，y随着x的增大而减小，故⑤正确； 故答案为：②④⑤． 14．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列结论∶①；②当时，y随x的增大而增大；③；④；⑤，其中正确的有 （填序号） 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系． 由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可判断①；由二次函数的性质即可判断②；由抛物线对称轴为直线，即可得出，进而可得出，即可判断③；④由抛物线与x轴的交点情况即可判断④；⑤由当时，可得出，即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ， ，结论①错误； 抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，结论②正确； 抛物线对称轴为直线， ， ，结论③正确； 抛物线与x轴有两个交点， ，结论④错误； 抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ， 抛物线与x轴的另一个交点为：， 当时，， ，结论⑤正确． 故答案为：②③⑤． 15．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像的对称性是解答此题的关键．由已知的图像可知二次函数图像的对称轴为直线， 即可求出b，由二次函数图像与y轴交点即可求解． 【详解】解：二次函数与y轴交点为， 即， 对称轴为直线，即， 解得：， 故答案为：． 16．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，根据题意可知二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，把代入解析式解出a的值即可求出答案． 【详解】解：∵当时，函数有最大值是2， ∴二次函数的顶点坐标为：， 设二次函数的解析式为：， ∵二次函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 17．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．    【答案】； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理；求出二次函数的解析式是解题的关键．由题意设抛物线的解析式为交点式，根据得点C的坐标，并代入抛物线解析式中，即可求解；由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：拋物线交轴于两点，故设抛物线解析式为， ∵， ∴， 把点C坐标代入中，得， ∴， ∴， 化为一般式为：； ∵， ∴， 由勾股定理得：． 18．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点， (1)求该函数的关系式； (2)若点，点在该函数图象上，求和的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求函数值和自变量的值； （1）已知顶点可设二次函数的解析式为，再把的坐标代入得到关于的方程，然后解出即可． （2）把点，代入（1）中的解析式即可求得结果． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，把的坐标代入得： ，解得：， 该函数的关系式为：. （2）点在函数的图象上， ； 点在函数的图象上， 解得，， ∴或． 能力提升 19．（2023·浙江金华·模拟预测）已知，，若，则二次函数图象的顶点可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数中系数之间的关系，根据题意可知，令时，的值为或3，得出对称轴为直线，用表示即，由题中等式可用表示．将代入函数解析式中判断的正负得出答案． 【详解】解：，， 当时，或， 对称轴为， ， 即， ， ， ， 令代入解析式中得， ， ， ， 当时，． 即顶点在第一象限． 故选：A． 20．（2023·辽宁盘锦·模拟预测）抛物线交轴于，交轴的负半轴于．顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤．其中正确的有（   ）个    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及等腰直角三角形性质等知识，根据二次函数图象与性质逐个结论验证即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：抛物线交轴于， 抛物线的对称轴为，则， ，故①正确； 当时，， ， ， ，则，故②错误； 抛物线的对称轴为，开口向上， 当时，抛物线由最小值为， 当时，，即，故③正确； 抛物线交轴于， ， 当是等腰直角三角形时，， 设抛物线， ，解得，故④正确； 抛物线交轴于， 当时，抛物线图象在轴下方，则当时，，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①③④⑤，共4个， 故选：B． 21．（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于两点，若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若为任意实数，则 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数的图象，即可判断A 选项；令对称轴与轴的交点为，求出点的坐标，即可判断B、C选项；根据当时，有最小值，即可判断D 选项． 【详解】解：抛物线开口向上，与轴的交点在负半轴， ，, 对称轴是直线， ， ，A选项错误； 令对称轴与轴的交点为，则， ， ， ， ， ，即， 当时，， ，B项正确； ，， ， ，C选项错误； 当时，有最小值，最小值为， 则对于任意实数，都有， ，D选项错误； 故选：B 22．（2023·内蒙古赤峰·一模）二次函数的图象如图所示，与y轴交于点C，与x轴负半轴交于点A，且，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①，特殊点判断②和③，对称轴判断④，根据图象过，判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，；故①④错误； 由图象可知：时，， ∴，故③正确， ∵和关于对称轴对称， ∴当时，；故③正确； ∵， ∴图象过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故⑤正确； 故选B． 23．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现是n的二次函数．设，下列说法正确的是（   ） n 1 2 3 4 5 … n 数列 0 1 1 … A．S有最大值为1 B．当时， C．S有最小值为 D．当时， 【答案】D 【分析】用待定系数法求出函数表达式，进而求解． 【详解】解：设二次函数的表达式为：, 将、、代入上式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 则， 当时，， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出函数表达式是解题的关键． 24．（2023·江苏无锡·模拟预测）有一个电脑程序，输入一个数，经过运算后输出结果，部分对应值如表： 输入x 2 3 6 7 输入y 5 2 1 2 3 则y关于x的函数表达式可能是 ．（写出一个即可） 【答案】 【分析】根据表格中的数据，可以写出一个符合题意的函数表达式，注意本题答案不唯一．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出一个符合题意的函数表达式，注意本题答案不唯一． 【详解】解：设当时，， ， 得， 即当时，， 当时，设， ， 得， 即时，设， ∴ 故答案为：． 25．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数 的部分xy对应值如表： x 0 2 y n 若，下列正确的有 （填序号即可）． ①；②；③；④时，的解为，． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据二次函数的图象性质，对称轴为，二次函数与轴的交点坐标为，与0的关系决定开口方向，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：①函数的对称轴为直线，即，则， ∵，故在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向上，则， 而，故，所以①正确； ②∵对称轴在y轴的右侧，， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， ∴故②错误； ③当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④当时，即：时，， ∵抛物线经过点 ∴， 解得， 可以变形为，即探讨一次函数与二次函数为图象的交点情况， ∵和是上述两个图象的交点， ∴关于x的一元二次方程的解为，④正确， 故答案为：①③④． 26．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列四个结论： ①； ②； ③； ④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4． 其中正确结论是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质．由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则；在时，，即，由，得到，，代入到，即可得出；根据二次函数的最值问题得到时，y有最大值，则，变形得到；根据图象的对称与翻折可得结论． 【详解】解：：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， 所以①错误； 根据抛物线在时，，即， ∵，， ∴，即， 故②正确． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，y有最大值， ∴， ∴， 故③正确． 将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线有四个交点即可． 由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4． 故④正确 故答案为：②③④． 27．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）抛物线的表达式为 ； （2）若点是轴上的一个动点，当的值最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据轴对称求线段和的最值问题； （1）根据抛物线的对称轴为直线，与x轴交于，列出方程组，解方程即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，此时最小，即的值最小，令，则，进而得出直线的函数表达式为．令，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，与x轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故答案为：． （2）如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，此时最小，即的值最小，令，则， ∴点C的坐标为， ∴点的坐标为，由抛物线可知，顶点D的坐标为． 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为．令，则， 解得，即直线与x轴的交点M的坐标为，即． 故答案为：． 28．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图函数图象是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ； 将图像向上平移个单位后与直线有个交点．    【答案】①③④ 【分析】根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故④正确． 【详解】图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即， 故正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， 故错误； ， ， ， 故正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    综上：正确的有①③④， 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数法求二次函数的表达式等是解答本题的关键． 29．（2023·贵州黔东南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴及点C的坐标，作点关于直线的对称点，连接，，则点的坐标为，要使的周长最小，则最小，即最小，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，当时，，即为所求． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， ， ， 抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为，与轴交于点， 抛物线对称轴为直线，点的坐标为 如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，则点的坐标为， 由轴对称的性质可知， 的周长， 要使的周长最小，则最小，即最小， 当、、三点共线时，最小， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键． 30．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知抛物线经过，，三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线顶点为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线中计算三角形的面积 (1)设抛物线解析式为，分别代入，，计算即可． （2）过点作轴的平行线，交于，根据解答即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为，分别代入，， 得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）过点D作轴的平行线，交于， 设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得： 解得， 直线的解析式为：， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，． ∴， 则， ∴． 拔高拓展 31．（2023·浙江台州·二模）已知抛物线与直线的交点横坐标分别记为，，下列描述不正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、与一次函数图象的交点特征，依据题意，根据各选项的已知条件即可分析得解． 【详解】解：当时，抛物线与直线相交可得方程， 化简可得． ，． ． ， ． ， ． 即． A正确． 当时，可得方程， 化简可得． ，． ． B正确． 当时，即，则可得方程， 化简可得． ，． ． ， ． ． C错误． 当时，即，则可得方程， 化简可得． ． ． D正确． 故选：C． 32．（2023·云南·模拟预测）如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，且，，，顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、平行四边形的性质等知识，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出顶点的坐标为，再设点的坐标为，分三种情况：①当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，②当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，③当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，利用平行四边形的对角线互相平分求解即可得． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点，，代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的顶点的坐标为， 设点的坐标为， 由题意，分以下三种情况： ①当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， 则对角线互相平分， 所以， 解得， 即此时点的坐标为； ②当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， 则对角线互相平分， 所以， 解得， 即此时点的坐标为； ③当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， 则对角线互相平分， 所以， 解得， 即此时点的坐标为； 综上，点的坐标为，，． 33．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，）、（，）、（，），且与轴交于、两点． (1)试确定该二次函数的解析式； (2)判定点，是否在这个图象上，并说明理由； (3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 (3)坐标为，，， 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，待定系数法求二次函数的解析式，即可． （1）设函数解析式为： ，把 ， ， 代入解析式，求出 ， ，，即可； （2）把点 的坐标代入解析式，即可判定； （3）设点 ，根据函数解析式求出 ， 的坐标，得到 ，根据 ，求出 即可． 【详解】（1）设二次函数的解析式为： ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． （2）存在，理由如下： 当时，函数中，， ∴点在函数上． （3）∵函数与轴交，两点， ∴， 解得：，， ∴、的坐标为：，， ∴， 设点， ∵， ∴， ∴， 当时，解得：，； ∴点的坐标为；，； 当时，解得：，； ∴点的坐标为：，； 综上所述，点的坐标为：，，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.4 二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时) 基础训练 1．（2023·四川广安·一模）如图，直线l为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法都不对 2．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知：如图为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（　　）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论∶①②；③；④其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C．与轴另一交点坐标为 D． x 0 1 y 0 4 6 6 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表．下列结论不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下B．抛物线与x轴的一个交点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线D．函数的最大值为 7．（2023·浙江·模拟预测）有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图所示，抛物线的对称轴为，现给出下面四条信息： ；；； ． 你认为其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（2023·广西·模拟预测）已知一次函数与二次函数，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A．B．C． D． 11．（23-24九年级上·山东烟台·期中）抛物线上的部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表； x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 容易看出，点是抛物线与x轴的一个公共点，则它与x轴的另一个公共点的坐标是 ． 12．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，有下列个结论：； ；；；，是抛物线上两点（），若，则；其中正确的结论有 ． 13．（2023·四川巴中·模拟预测）已知二次函数，其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系： x … 2 3 4 … y … 4.8 … 下列判断中，正确的是 （填序号）． ①顶点是；②；③；④当时，；⑤当时，y随着x的增大而减小． 14．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列结论∶①；②当时，y随x的增大而增大；③；④；⑤，其中正确的有 （填序号） 15．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数的部分图象如图所示，则 ． 16．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 17．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．   18．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点， (1)求该函数的关系式； (2)若点，点在该函数图象上，求和的值． 能力提升 19．（2023·浙江金华·模拟预测）已知，，若，则二次函数图象的顶点可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（2023·辽宁盘锦·模拟预测）抛物线交轴于，交轴的负半轴于．顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤．其中正确的有（   ）个    A．5 B．4 C．3 D．2 21．（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于两点，若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若为任意实数，则 22．（2023·内蒙古赤峰·一模）二次函数的图象如图所示，与y轴交于点C，与x轴负半轴交于点A，且，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现是n的二次函数．设，下列说法正确的是（   ） n 1 2 3 4 5 … n 数列 0 1 1 … A．S有最大值为1 B．当时， C．S有最小值为 D．当时， 24．（2023·江苏无锡·模拟预测）有一个电脑程序，输入一个数，经过运算后输出结果，部分对应值如表： 输入x 2 3 6 7 输入y 5 2 1 2 3 则y关于x的函数表达式可能是 ．（写出一个即可） 25．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数 的部分xy对应值如表： x 0 2 y n 若，下列正确的有 （填序号即可）． ①；②；③；④时，的解为，． 26．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列四个结论：①；②；③；④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4．其中正确结论是 ．（填写序号） 27．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）抛物线的表达式为 ； （2）若点是轴上的一个动点，当的值最小时，则 ． 28．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图函数图象是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ；将图像向上平移个单位后与直线有个交点．    29．（2023·贵州黔东南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 30．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知抛物线经过，，三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线顶点为，求的面积. 拔高拓展 31．（2023·浙江台州·二模）已知抛物线与直线的交点横坐标分别记为，，下列描述不正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 32．（2023·云南·模拟预测）如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，且，，，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 33．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，）、（，）、（，），且与轴交于、两点． (1)试确定该二次函数的解析式； (2)判定点，是否在这个图象上，并说明理由； (3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$