26.2.2.4二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质 课件 2023-2024学年 华东师大版数学九年级下册

26.2.2.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 学习目标 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 2 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x=h x=h 当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时， y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时， y随着x的增大而减小. x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 复习回顾 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6 (0,0) y轴 0 (0,-5) y轴 -5 (-2,0) 直线x=-2 0 (-2,-4) 直线x=-2 -4 (4,3) 直线x=4 3 ? ? ? ? ? ? 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 知识精讲 配方可得 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 问题4 如何画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象如右图. O 问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质. 5 10 x y 5 10 x=6 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. O 例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解: 函数 通过配方可得 ， 先列表： 2 x y -2 0 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当x＜1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2. 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1). 解： 针对练习 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ y=ax²+bx+c 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 (1) (2) x y O x y O 如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小. 例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D . D 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 (1,3) x=1 最大值1 (0,-1) y轴 最大值-1 最小值-6 ( ,-6) 直线x= 针对练习 2.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线x=3 直线x=8 直线x=1.25 直线x= 0.5 1．【中考·济宁】将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是(　　) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2 D 2．【2020·孝感】将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的表达式为(　　) A．y＝－x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2－2 D．y＝x2＋2 A 3．【中考·重庆】抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是(　　) A．直线x＝2 B．直线x＝－2 C．直线x＝1 D．直线x＝－1 C 4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则(　　) A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 B 5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下， 甲：若b＝5，则点P的个数为0； 乙：若b＝4，则点P的个数为1； 丙：若b＝3，则点P的个数为1. 下列判断正确的是(　　) A．乙错，丙对 　　B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 　　D．甲错，丙对 【点拨】y＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(2，4)， ∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4， ∴甲、乙的说法正确； 若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个， ∴丙的说法不正确；故选C. 【答案】C 6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是(　　) A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2 D 7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．abc＜0，b2－4ac＞0 B．abc＞0，b2－4ac＞0 C．abc＜0，b2－4ac＜0 D．abc＞0，b2－4ac＜0 B 【点拨】由y＝ax2＋bx＋c的图象可知a＜0，b＞0，c＜0，所以C选项符合题意，故选C. 【答案】C *9.【2020·泰安】在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(　　) 31 【点拨】根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的关系即可得出a，b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论，故选C. 【答案】C 32 A 33 12．【2020·温州】已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)． (1)求a、b的值； 38 (2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值． 解：由(1)得函数表达式为y＝x2－4x＋1， 把点(5，y1)的坐标代入y＝x2－4x＋1中，得y1＝6， ∴y2＝12－y1＝6.∴y1＝y2. 又∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴m＝－1. 39 13．【2020·河南】如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点． 40 (1)求抛物线的表达式及点G的坐标； 解：∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B，∴点B(0，c)， ∵OA＝OB＝c，∴点A(c，0)， ∴0＝－c2＋2c＋c，∴c＝3或c＝0(舍去)， ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴点G的坐标为(1，4)． 41 (2)点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M、N之间(含点M、N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围． 解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴对称轴为直线x＝1， 42 ∵点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， ∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6， ∴点M坐标为(－2，－5)或(4，－5)，点N坐标为(6，－21)，∵点Q为抛物线上点M、N之间(含点M、N)的一个动点，∴－21≤yQ≤4或－21≤yQ≤－5. 43 14．【中考·台州】已知函数y＝x2＋bx＋c(b、c为常数)的图象经过点(－2，4)． (1)求b、c满足的关系式； 解：将点(－2，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得4－2b＋c＝4，∴c＝2b. 44 (2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数表达式； 45 (3)若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值． 【点拨】本题利用分段讨论法，将b的值分成几段进行讨论． 46 47 48 49 50 小结梳理 *8.【中考·深圳】已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则y＝ax＋b和y＝的图象为(　　) 10．【中考·黄石】以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是(　　) A．b≥ B．b≥1或b≤－1 C．b≥2 D．1≤b≤2 11．【中考·云南】已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B两点． (1)求b、c的值； 解：把A(0，3)，B的坐标分别代入 y＝－x2＋bx＋c，得 解得 (2)二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴是否有公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由． 解：有公共点．由(1)可得，该二次函数的表达式为 y＝－x2＋x＋3. b2－4ac＝－4××3＝＞0， ∴二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点． ∵－x2＋x＋3＝0的解为x1＝－2，x2＝8， ∴公共点的坐标是(－2，0)和(8，0)． 解：把点(1，－2)，(－2，13)的坐标分别代入 y＝ax2＋bx＋1中，得解得 解：由题易知，m＝－，n＝， ∴n＝，b＝－2m. ∴n＝－m2－4m. 解：y＝x2＋bx＋2b＝－＋2b， 对称轴为直线x＝－. 当b≤0时，c≤0，若函数的图象不经过第三象限，则c＝0. 此时y＝x2，当－5≤x≤1时，函数的最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差是25(不合题意，舍去)． 当b＞0时，c＞0，函数的图象不经过第三象限， 则b2－4c≤0，∴0＜b≤8. ∴－4≤－＜0. 当－5≤x≤1时，函数有最小值－＋2b， 当－≤－2，即b≥4时，函数有最大值1＋3b. 当－＞－2，即b＜4时，函数有最大值25－3b. ∵函数的最大值与最小值之差为16， ∴当最大值为1＋3b时，1＋3b＋－2b＝16， 解得b＝6或b＝－10. ∵4≤b≤8，∴b＝6. 当最大值为25－3b时，25－3b＋－2b＝16， 解得b＝2或b＝18. ∵0＜b＜4，∴b＝2. 综上所述，b＝2或b＝6. $$