26.2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 同步课件 -2023--2024学年华东师大版九年级数学下册

第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)的图象的性质并会应用. 3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. (1) y = ax2； (2) y = ax2 + k； (3) y = a(x - h)2. 1. 说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况： y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 2. 请说出抛物线 y = -2x2 的开口方向、顶点坐标、对称 轴及最值. 3.把 y = -2x2的图象 向上平移3个单位长度 y=-2x2+3 向左平移2个单位长度 y=-2(x+2)2 4. 请猜测一下，二次函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象是否可以由 y = -2x2 平移得到？学完本课时你就会明白. 开口向上，顶点坐标是 (0，0)，对称轴是 y 轴，y最大值 = 0 例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解：先列表； 再描点、连线. -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 直线 x = -1 开口向下； 对称轴是直线 x = -1； 顶点坐标是 (-1，-1). 变式 画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 开口向上； 对称轴是直线 x = -1； 顶点坐标是 (-1，-2). -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x = h 直线 x = h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k 增减性 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小. 知识总结 顶点式 抛物线 的顶点坐标是（     ） 例2 A． B． C． D． 分析：本题考查了二次函数的顶点式，先把二次函数化为顶点式的形式，再求出其顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的特征是解题的关键。 解：∵抛物线 可化为 的形式，∴其顶点坐标为 ． 故选：D． D （2023湖南益阳一模）下列图象中，可能是 的图象的是（    ） 例2 A． B． C． D． B 解：∵ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点为 ， 观察图象，则B选项符合题意，故选：B． 探究归纳 思考 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 向左平移1个单位长度 平移方法1 1 个单位长度 向下平移 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 二次函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 平移方法2 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 知识要点 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 图象的形状和开口方向均相同，可以通过互相平移得到. y = ax2 y = ax2±k y = a(x±h)2 y = a( x±h )2±k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移， 常数项上加下减； 左右平移， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 1.请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 由抛物线 y = 4x2 怎样平移得到? 由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的. 2. 如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，试求这个函数关系式. 练一练 例3 关于 的图象，下列叙述正确的是（　） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．当 时，y随x的增大而增大 D．开口向下 分析：本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式，根据二次函数的性质直接判断每个选项即可． 例3 关于 的图象，下列叙述正确的是（　） 例5 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m， 水管应多长? C(3，0) B(1，3) A x O y 1 2 3 1 2 3 解：建立如图的平面直角坐标系， 点( 1，3 )是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 ∵ 这段抛物线经过点 ( 3，0 )， ∴ 0 = a(3－1)2＋3. 解得 ∴ 抛物线的解析式为 y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). 当 x = 0 时，y = 2.25. 答：水管长应为 2.25 m. a = - . 3 4 y = (x－1)2＋3 (0≤x≤3). 3 4 - 1.抛物线y＝2(x＋9)2－3的顶点坐标是(　　) A．(9，－3) B．(－9，－3) C．(9，3) D．(－9，3) B 2.点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上，若y1＜y2，则m的取值范围为(　　) B 3.二次函数y＝(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 B 4.已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是(　　) A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c D (1)当m＝5时，求n的值； (2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围； 一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 的形状相同，位置不同. 二次函数 y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质 图象特点 当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下. 对称轴是 x = h， 顶点坐标是 (h，k) 平移规律 左右平移：自变量左加右减； 上下平移：常数项上加下减 变式1（2023陕西安康九年级期中）抛物线 的对称轴是（    ） 直线 直线 直线 直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式求解． 【详解】解： ， 抛物线顶点坐标为 ，对称轴为直线 ． 故选：B． 解： 抛物线的顶点坐标为 ，对称轴直线为直线 ， 故选项A、B错误，不符合题意； ， 抛物线的开口向上，有最小值为3，且当 时， 随 增大而增大，故选项C正确，符合题意， 选项D错误，不符合题意， 故选：C． 例4 已知点 都在二次函数 的图象上，则 的大小关系是 ． 分析 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是熟练掌握 二次函数图象上点的坐标特征． 解：点 都在二次函数 的图象上， ， ， ， ，故答案为： ． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝－(x－m)2＋4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上． 解：当m＝5时，y＝－(x－5)2＋4. 当x＝1时，y＝－×(1－5)2＋4＝－4， ∴n＝－4. 解：当n＝2时，将点C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－(x－m)2＋4，得2＝－(1－m)2＋4，解得m＝3或m＝－1(舍去)．∴此时抛物线的对称轴为直线x＝3. 根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或x＝5，∴自变量x的取值范围为1≤x≤5. $$