精品解析：广东省广州市天河外国语学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

广州市天河外国语学校2023学年第二学期期中考试 高二年级试卷数学学科 命题人：高二数学备课组 审核人：高二数学备课组 注意事项： 1.本试卷分全卷满分150分，120分钟内完成，闭卷. 2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 3.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡相应的位置. 4.全部答案应在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 5.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 4. 用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ） A. 16个 B. 12个 C. 9个 D. 8个 5. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A. 12 B. 14 C. 22 D. 24 6. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种 7. 已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 将三项式展开，得到下列等式： … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中（ ） A. 二项式系数之和为 B. 第项的系数最大 C. 所有项系数之和为 D. 不含常数项 10. 已知函数，，下列结论正确的有（ ） A. 函数有极大值，且极大值点 B. C. 函数的最小值为2 D. 若、分别是曲线，上的动点，则的最小值为 11. 甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步：先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用、表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B、C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、“两球为一红一白”的事件．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式的常数项为 ________. 13. 在半径为的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取最大值时，对应的高为________. 14. 已知函数，.用表示m，n中较小者，记函数，（）.若函数在上恰有3个零点，则实数a的取值范围为___________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 16. 某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析.运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0.2 0.2 .0.3 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 （1）当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率. （2）当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率. 17. 函数； （1）当时，讨论函数的单调性； （2）在恒成立，求整数的最大值. 18. 某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． （1）求小张在三类中各选1个项目的概率； （2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列． 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）证明函数在区间上有且仅有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市天河外国语学校2023学年第二学期期中考试 高二年级试卷数学学科 命题人：高二数学备课组 审核人：高二数学备课组 注意事项： 1.本试卷分全卷满分150分，120分钟内完成，闭卷. 2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 3.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡相应的位置. 4.全部答案应在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 5.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的运算法则和复合函数的导数公式求解. 【详解】A. ，故错误； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，故正确； 故选：D 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数导数，令可得解. 【详解】因为， 所以令可得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 3. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时的取值范围，再利用单调性逐项判断即可. 【详解】由导函数图像可知，当或时，， 当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选项A，B错误； 在处取得极大值，且，故C错误，D正确； 故选：D. 4. 用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ） A. 16个 B. 12个 C. 9个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类计数原理分类讨论计算即可. 【详解】比2000大，故千位为2，3，4， 若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数； 若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数； 若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数． 根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数． 故选:D． 5. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A. 12 B. 14 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】按工厂接收的女生人数分两类，求出每类情况数，相加后得到答案. 【详解】按工厂接收的女生人数分类， 第一类：工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择， 再把剩余的3人分为两组，和两工厂进行全排列，有种选择， 故有种分配方法； 第二类：工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列， 有种分配方法． 综上，不同的分配方法有种． 故选： 6. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解. 【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有， 再将商、角插入4个空中的2个，有， 所以共有种． 故选：C． 7. 已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意推出，令，可得在上单调递增，即得在上恒成立，分离参数，在上恒成立，从而构造函数，求出其最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知对于任意且，都有， 不妨设，即得，即， 令，则在上单调递增， 即在上恒成立，且不恒等于0， 故在上恒成立， 令，则， 令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故， 即实数a的取值范围是， 故选：B 8. 将三项式展开，得到下列等式： … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果． 【详解】根据广义杨辉三角的定义：； 故； 关于的多项式的展开式中项的系数为． 故选：D． 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中（ ） A. 二项式系数之和为 B. 第项的系数最大 C. 所有项系数之和为 D. 不含常数项 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，通过给变量赋值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】由于二项式系数之和为，故A正确． 设展开式第项为， 易知的系数均小于0，且，故第项的系数最大，为80，故B正确, 令得所有项系数之和为，故C错误， 当，则，但，故展开式不含常数项，D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数，，下列结论正确的有（ ） A. 函数有极大值，且极大值点 B. C. 函数的最小值为2 D. 若、分别是曲线，上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导后令，只需考虑的极值点情况即可；对于B，由对数运算公式变形即可判断；对于C，由不等式放缩结合取等条件即可判断；对于D，通过分析可知当过点的切线的斜率都是1时，它们的距离最小，由此即可判断. 【详解】对于A，，，令， 则，所以单调递减， 注意到与同号，且， 所以存在，使得， 且当时，，即，关于单调递增， 当时，，即，关于单调递减， 所以函数有极大值，且极大值点，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，我们有， 我们首先来看从左到右第一个不等式，只需证明即可， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 从而说明了从左到右第一个不等式成立，等号成立当且仅当； 现在我们来看从左到右第二个不等式，我们只需证明当单调递增即可， 而，所以也成立， 综上所述，函数的最小值大于2，故C错误； 对于D，注意到曲线，互为反函数， 所以它们的图象关于对称， 从而，， 所以曲线与相切于点，曲线与相切于点， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是得到，由此即可顺利得解. 11. 甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步：先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用、表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B、C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、“两球为一红一白”的事件．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用条件概率公式可得，判断A，B；利用全概率公式计算，判断C，D. 【详解】对A：在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，故A错误； 对B：在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，故B正确； 对C：因，，，， 则，故C正确； 对D：因，， 则，故D正确. 故选：BCD. 第二部分非选择题（共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式的常数项为 ________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理把展开，可得二项式的展开式的常数项． 【详解】，故展开式中的常数项为. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 13. 在半径为的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取最大值时，对应的高为________. 【答案】2 【解析】 【分析】设出球的内接圆柱的高，再表示出圆柱底面圆半径，列出圆柱体积的函数关系，借助导数求解作答. 【详解】设球的内接圆柱的高为，底面半径为，于是球心到圆柱底面距离为， 因此，即，则圆柱体积， 显然，求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值. 故答案为：2 14. 已知函数，.用表示m，n中较小者，记函数，（）.若函数在上恰有3个零点，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的导函数，分别根据，时导函数的正负来判断原函数的单调区间，将x分为三种情况进行讨论，函数在区间上的最值情况，来确定是否有3个零点，进而求实数的取值范围. 【详解】，， 当时，，在上为单调递增 当时，， 令，得或，单调递增 令，得，单调递减 综上：当时，在为增函数 当时，在和为增函数，在为减函数 当时，，从而， 所以在无零点. 当=1时，若，则，， 故=1是的零点； 若，则，， 故不是的零点. 当时，，所以只需考虑在的零点个数. （ⅰ）若或，则在无零点，故在单调， 而，， 所以当时，在有一个零点；当时，在无零点. （ⅱ）若，则在单调递减，在单调递增， 故当=时，取的最小值，最小值为. ①若，即，在无零点. ②若，即，则在有唯一零点； ③若，即，由于，， 所以当时，在有两个零点； 当时，在有一个零点. 综上，当或时，由一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点. 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于x在不同区间的最小值分类讨论，且对于来说，a的取值也带来了区间上函数最值的不同，所以，每一步都要根据需要进行讨论，要清楚分类的原因，不重不漏. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【小问1详解】 由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． 【小问2详解】 因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 16. 某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析.运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0.2 0.2 .0.3 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 （1）当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率. （2）当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可得出答案. （2）根据条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 记 “甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件， “甲跑第三棒”为事件，“甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件， 则， 所以当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率为； 【小问2详解】 ， 所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为. 17. 函数； （1）当时，讨论函数的单调性； （2）在恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和 （2）2 【解析】 【分析】（1）求导后分解因式，解不等式即可得到函数的单调性； （2）由题意求出，转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值，即可求解． 【小问1详解】 当时，，， 当单调递减； 当或单调递增； 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为和 【小问2详解】 因为，所以，即， 故，在恒成立， 即，则在恒成立， 设， 则， 设， 则，所以在上单调递增， 又，， 所以方程有且只有一个实根，且，， 所以在上，，单调递减； 在,上，，单调递增， 所以函数的最小值为， 从而，又为整数， 所以的最大值为：2． 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数，关键是利用零点存在定理判断. 18. 某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． （1）求小张在三类中各选1个项目的概率； （2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列． 【答案】（1） （2）X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 P 【解析】 【分析】（1）在三类项目中各选一个有种选法，总的选法数有种，由古典概型公式即可求得所求概率； （2）先分析X的可能取值，对于每一个的取值求得对应概率，由此可得的分布列. 【小问1详解】 记事件M为“在三类中各选1个项目”，则， 所以小张在三类中各选1个项目的概率为． 【小问2详解】 由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9， 则，， ，， ，． 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 P 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）证明函数在区间上有且仅有两个零点. 【答案】（1） （2）单调递增 （3） ， 当时，，所以， 函数在上单调递增， 又，， 因此函数在上有唯一零点； 当时，令，则， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 而， 则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则存在，使得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以， 而，，因此函数在上有唯一零点， 综上所述，函数在区间上有且仅有两个零点. 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）令，再利用导数求解即可； （3）先利用导数求出函数的单调区间及极值，再结合零点存在性定理推理论证即可. 【小问1详解】 ， 则， 所以函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 令，则， 所以函数函数在区间上单调递增； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $