第05讲 简单事件的概率（5个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第05讲 简单事件的概率（5个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 【例1】（2023秋•义乌市月考）在一个不透明的袋子中装有2个红球、5个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到 　　色的球的可能性最大．（填“红”、“白”或“黑” 【变式1】（2022秋•临海市期末）某路口红绿灯的时间设置如下：绿灯60秒，红灯40秒，黄灯3秒，当车随机经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大　　 A．绿灯 B．红灯 C．黄灯 D．不能确定 【变式2】（2024•拱墅区校级二模）公益中学九年级举办了体育模拟测试．其中参加男子立定跳远项目的10名学生成绩（单位：厘米）数据整理如下： 名学生立定跳远成绩：263，258，253，251，251，247，247、247，245，243 名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 250.5 （1）写出表中，的值； （2）杭州市体育中考男子立定跳远的满分为成绩不低于，请问本次模拟测试男子立定跳远的满分率为多少？ （3）甲、乙两名学生本次模拟测试未达到满分标准，要通过努力训练来提高成绩．下表是两名同学近五次的训练成绩，试判断下次考试哪位同学达标满分的可能性更大，请说明理由． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 248 246 244 248 246 乙 240 256 242 244 246 知识点2．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 【例2】（2023秋•桐乡市期末）下列说法中，正确的是　　 A．不可能事件发生的概率为0 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小（不为的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 【变式1】（2022•宁海县校级模拟）一枚正方体骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，若连续抛掷四次，朝上一面的点数都为6，则第五次抛掷朝上一面的点数为6的概率为 　　． 【变式2】某商场设计了两种促销方案：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球（球上分别标有数字1，2，，的箱子中随机摸出一个球（摸后放回）．若球上的数字是88，则返500元购物券；若是66或99，则返300元购物券；若球上的数字被5整除，则返5元购物券；若是其它数字不返还购物券．第二种是顾客在商场消费每满200元直接返还15元购物券．估计活动期间将有5000人参加活动．请你通过计算说明商家选择哪种方案促销合算些？ 知识点3．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 【例3】（2023秋•上城区期末）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是　　． 【变式1】（2023•金东区二模）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•东阳市期中）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值． 知识点4．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 【例4】（2022秋•灵宝市期末）甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 　　的．（填“公平”或“不公平” 【变式1】（2022•柯桥区一模）甲乙两人玩一个游戏，他们轮流从砖墙上拿下一块或两块相邻的砖．缝隙可能会产生的新的墙，墙只有一砖高．例如，如图，一组的墙砖可以通过一次操作变成以下中的任何一种：，，2，，，1，，（4），，或，1，．若甲先开局，而拿下最后一块砖的选手获胜，对于以下开局，甲没有必胜策略的开局是　　 A．，1， B．，2， C．，3， D．，2， 【变式2】（2023•玉环市校级开学）在一次学校演讲比赛中，评分办法采用10位评委现场打分，现10位评委给甲、乙两位选手打分记录如下： 甲： 乙： （1）根据以上打分记录数据计算得乙的平均分7.8（分，请求出甲的平均分； （2）有人提出乙中第九个打分记录“1”分不够客观，从而影响评审结果的公平、公正，为了消除这种现象，请你提出合适的统计计分方案，并根据你提出的方案通过计算比较判断谁获胜； （3）经过调查后发现，第九个打分记录“1”确实记录有误，得知对评委打分有一个要求：即同一个评委对两名选手的打分差距不得超过2分，所以学校认定乙获胜，你觉得这样做是否有误，请说明理由． 知识点5．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【例5】（2022秋•鹿城区月考）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有　　 A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【变式1】（2024•沭阳县校级二模）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数　　． 【变式2】（2023秋•新昌县期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 （1）表格中的值为 　　，的值为 　　． （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 经典题型汇编 题型一.事件的可能性 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中属于不可能事件的是（　　） A．投掷一枚骰子，朝上的点数为3 B．13个人中有两个人生日在同一个月份 C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球 D．两点之间，线段最短 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图是一个游戏转盘示意图，盘面分成红、黄、蓝、绿四个区域，让转盘自由转动，当转盘停止转动时，指针落在 色区域的可能性最小． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）下列事件中哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪些事件是不确定事件？ （1）在一个装只有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球． （2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地． （3）在标准大气压下，气温为2摄氏度时，冰能熔化成水． （4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交． （5）某运动员跳高最好成绩是10.1米． （6）从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品． 必然事件有______，不可能事件有______，不确定事件有______（填序号） 题型二.简单事件的概率 4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）某市举办篮球赛，初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县区学校的D，E，F，G，H五个队，如果从A，B，D，E四个队与C，F，G，H四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）布袋里装有仅颜色不同的3个红球，4个白球．从中任意摸一个球为白球的概率是 ． 6．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）为创建“全国文明城市”，周末团委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． (1)第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　　； (2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率． 题型三.用频率估计概率 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）掷一枚均匀的硬币次，前九次朝上的面次数为反次，正次，那么第十次反面朝上的概率是 ． 8．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）袋中有4个红球和若干个白球，它们只有颜色上的区别．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（    ） A．8个 B．12个 C．16个 D．20个 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）柯桥瓜渚湖北岸公园，准备美化景区，特考察了一批郁金香移植的成活率，并绘制了如图所示的统计图．    (1)估计牡丹成活概率为____________．（精确到0.01） (2)该规划共需成活19000株牡丹，估计购买多少株？ 题型四.概率的简单应用 10．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 11．（九年级上·浙江杭州·期中）一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要 位． 12．（23-24九年级上·浙江金华·期末）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率； (2)小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率； (3)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（　 　） A．点数是奇数 B．点数是3的倍数 C．点数大于5 D．点数小于5 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是2，3，4，5，6，从中随机抽取一张，编号是奇数的概率（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（   ） A．连续抛一枚均匀硬币两次，必有一次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币两次，一正一反的概率是 C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每次出现正面朝上次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 4．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如表是某一项实验中结果出现的频率统计表，请估计在一次实验中结果出现的概率为（    ） 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 380 540 780 925 1140 频率 0.25 0.38 0.36 0.39 0.37 0.38 A．0.36 B．0.37 C．0.38 D．0.39 5．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）下列成语中，表示随机事件的是（ ） A．守株待兔 B．竹篮打水 C．水中捞月 D．杀鸡取卵 6．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）在一个不透明的袋子中，装有个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为，若将这一事件的概率提升至，则需要增加白球的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B．“明天太阳从西方升起”是不可能事件 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为必然事件 D．“是实数，”是随机事件 9．（19-20九年级上·全国·阶段练习）设a,b是两个任意独立的一位正整数, 则点（a,b）在抛物线y=ax2-bx上方的概率是 ( ) A． B． C． D． 10．（21-22九年级·浙江宁波·阶段练习）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得6分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江台州·期末）“某种彩票的中奖率为，则购买100张这种彩票能中奖”是 （填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个布袋中放着12个黑球和8个红球，除了颜色以外没有任何其他区别，则从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有 个． 14．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在圆形转盘中，指针转动时恰好落在阴影部分的概率为，则阴影部分的圆心角是 ． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图显示了计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率为 （精确到0.001）． 16．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）（1）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不确定事件？（填入题后括号内） ①校运会上，我班一位女同学的100米跑成绩是12秒11．( )事件 ②人在地球上所受的重力比在月球上小．( )事件 ③一个四边形四个内角的和等于360°．( )事件 （2）写出一个不确定事件．（只需写一个，填在下面的横线上） 17．（19-20九年级上·浙江台州·期末）某水果公司以2．2元/千克的成本价购进苹果．公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分数据如下： 苹果损坏的频率 0.106 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101 估计这批苹果损坏的概率为 精确到0.1），据此，若公司希望这批苹果能获得利润23000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为 元/千克． 18．（九年级上·浙江·课后作业）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的立方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为 . 三、解答题 19．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其它完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右． (1)请你估计箱子里白色小球的个数． (2)现从该箱子里摸出2个小球，求摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）． 20．（2022九年级上·浙江·专题练习）A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案： A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车． 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题： (1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ (2)你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？ 21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）为美化校园环境，特考察了一批牡丹移植的成活率，并绘制了如图所示的统计图． (1)估计牡丹成活概率为______．（精确到0.01） (2)该校规划共需成活190株牡丹，估计购买多少株？ 22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，杭州市某食品厂抽样调查了某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： (1)根据题中信息补全条形统计图，并求出喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为度． (2)若有外型完全相同的A、B、C、D四种不同口味的粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法，求出小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率． 23．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． (1)计算的结果为0的概率； (2)甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯， (1)请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率； (2)小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由． 25．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）有三张大小、形状完全相同的卡片，正面分别画有如图所示的图形．从中任意抽取一张，记下图形的名称后放回，将三张卡片重新搅匀再任意抽取一张．请你用列表法或画树状图法求两次抽取的卡片上的图形均为中心对称图形的概率． 26．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近___________； (2)计算盒子里白球有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 简单事件的概率（5个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 【例1】（2023秋•义乌市月考）在一个不透明的袋子中装有2个红球、5个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到 　白　色的球的可能性最大．（填“红”、“白”或“黑” 【分析】个数最多的球，摸出其可能性最大． 【解答】解：在袋子中，白球个数最多，所以从袋子中任意摸出一个球，可能性最大的是白球， 故答案为：白． 【点评】考查了比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 【变式1】（2022秋•临海市期末）某路口红绿灯的时间设置如下：绿灯60秒，红灯40秒，黄灯3秒，当车随机经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大　　 A．绿灯 B．红灯 C．黄灯 D．不能确定 【分析】根据在这几种灯中，每种灯时间的长短，即可得出答案． 【解答】解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短， 所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大， 遇到黄灯的可能性最小． 故选：． 【点评】此题考查了可能性的大小，解决这类题目要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 【变式2】（2024•拱墅区校级二模）公益中学九年级举办了体育模拟测试．其中参加男子立定跳远项目的10名学生成绩（单位：厘米）数据整理如下： 名学生立定跳远成绩：263，258，253，251，251，247，247、247，245，243 名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 250.5 （1）写出表中，的值； （2）杭州市体育中考男子立定跳远的满分为成绩不低于，请问本次模拟测试男子立定跳远的满分率为多少？ （3）甲、乙两名学生本次模拟测试未达到满分标准，要通过努力训练来提高成绩．下表是两名同学近五次的训练成绩，试判断下次考试哪位同学达标满分的可能性更大，请说明理由． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 248 246 244 248 246 乙 240 256 242 244 246 【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可； （2）用样本中满分的8人除以样本总数10人计算出样本中的满分率，估计学校本次测试的满分率也是同样的满分率； （3）计算出甲的平均数和满分率，再计算出乙的平均数和满分率，比较大小即可． 【解答】解：（1）将10个数据从大到小排列：263，258，253，251，251，247，247，247，245，243， 第5个数是251和第6个数是247，中位数即为； 247在数据中出现了3次，即众数是247， 故答案为：，； （2）由题意得，数据中满分的为8个，即样本中满分率是，估计总体的满分率即为； （3）下次考试甲同学达标满分的可能性更大， 理由：根据题意得：甲的平均数为，满分率为：； 乙的平均数为满分率为：； 故平均数甲高，满分率也是甲高，所以下次测试甲达满分的可能性高． 【点评】本题考查了平均数、中位数、众数，用样本估计总体，灵活运用所学知识是解题的关键． 知识点2．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 【例2】（2023秋•桐乡市期末）下列说法中，正确的是　　 A．不可能事件发生的概率为0 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小（不为的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 【分析】根据事件发生可能性的大小，可得答案． 【解答】解：、不可能事件发生的概率为0，故正确； 、随机事件发生的概率为0与1之间，故错误； 、概率很小的事件可能发生，故错误； 、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能是50次，故错误． 故选：． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【变式1】（2022•宁海县校级模拟）一枚正方体骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，若连续抛掷四次，朝上一面的点数都为6，则第五次抛掷朝上一面的点数为6的概率为 　　． 【分析】根据概率的意义，即可解答． 【解答】解：一枚正方体骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，若连续抛掷四次，朝上一面的点数都为6，则第五次抛掷朝上一面的点数为6的概率为：， 故答案为：． 【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 【变式2】某商场设计了两种促销方案：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球（球上分别标有数字1，2，，的箱子中随机摸出一个球（摸后放回）．若球上的数字是88，则返500元购物券；若是66或99，则返300元购物券；若球上的数字被5整除，则返5元购物券；若是其它数字不返还购物券．第二种是顾客在商场消费每满200元直接返还15元购物券．估计活动期间将有5000人参加活动．请你通过计算说明商家选择哪种方案促销合算些？ 【分析】根据题意分别计算出获得500元，300元购物券的概率，求得平均数，进而求得总付费，比较即可． 【解答】解：获得500元，300元购物券的概率分别是，（1分）， 获得5元购物券的概率是． 摸球一次获得购物券的平均金额为：（元 如果有5000人参加摸球，那么相应频率大致为0.01，0.02，0.2商场付出的购物券的金额是：（4分） 元． 若直接获现金，需付出元（6分） 商场选择摸球的促销方式合算．（7分） 【点评】用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．关键是得到摸球所需要的总金额． 知识点3．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 【例3】（2023秋•上城区期末）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是　　． 【分析】由有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9， 卡片上的数是3的倍数的概率是：． 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【变式1】（2023•金东区二模）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】根据在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，可以计算出从袋中任意摸出一个球为红球的概率． 【解答】解：由题意可得， 从袋中任意摸出一个球为红球的概率是：， 故选：． 【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 【变式2】（2023秋•东阳市期中）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值． 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【解答】解：（1）红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， 盒子中球的总数为：（个， 故盒子中黑球的个数为：（个； 任意摸出一个球是黑球的概率为：； （2）任意摸出一个球是红球的概率为， 盒子中球的总量为：， 可以将盒子中的白球拿出3个， ． 【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式． 知识点4．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 【例4】（2022秋•灵宝市期末）甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 　不公平　的．（填“公平”或“不公平” 【分析】根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答． 【解答】解：骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为； 骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为； 故游戏规则对甲有利． 故答案为：不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【变式1】（2022•柯桥区一模）甲乙两人玩一个游戏，他们轮流从砖墙上拿下一块或两块相邻的砖．缝隙可能会产生的新的墙，墙只有一砖高．例如，如图，一组的墙砖可以通过一次操作变成以下中的任何一种：，，2，，，1，，（4），，或，1，．若甲先开局，而拿下最后一块砖的选手获胜，对于以下开局，甲没有必胜策略的开局是　　 A．，1， B．，2， C．，3， D．，2， 【分析】根据游戏规则总结规律然后分析各个选项得出结论即可． 【解答】解：选项中甲只要拿中间两个，变成2，2，1，1 然后乙怎么拿，甲就怎么拿就可以了， 选项是甲有必胜策略的开局， 故选项不符合题意； 选项中后面的一个2块连续的墙砖，一个1块的墙砖即可以分三次也能两次拿完， 个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都不能拿下最后一块砖， 故选项符合题意； 选项先拿走6块连续墙砖边上的两个，无论对方怎么拿都让他拿到这6块连续墙砖的最后一块，然后拿3块连续墙砖边上的两个即可保证甲能拿最后一块； 故选项不符合题意； 选项同理，后面的两个2块连续的墙砖，即可以分三次也能分四次拿完， 个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都能拿下最后一块砖， 选项不符合题意； 故选． 【点评】本题主要考查推理能力，根基游戏规则总结砖墙的变化规律是解题的关键． 【变式2】（2023•玉环市校级开学）在一次学校演讲比赛中，评分办法采用10位评委现场打分，现10位评委给甲、乙两位选手打分记录如下： 甲： 乙： （1）根据以上打分记录数据计算得乙的平均分7.8（分，请求出甲的平均分； （2）有人提出乙中第九个打分记录“1”分不够客观，从而影响评审结果的公平、公正，为了消除这种现象，请你提出合适的统计计分方案，并根据你提出的方案通过计算比较判断谁获胜； （3）经过调查后发现，第九个打分记录“1”确实记录有误，得知对评委打分有一个要求：即同一个评委对两名选手的打分差距不得超过2分，所以学校认定乙获胜，你觉得这样做是否有误，请说明理由． 【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可，平均数总数量总份数； （2）为了消除极值对平均数的影响，可以去掉最高分和最低分后，将剩下的数据求平均数； （3）因为同一个评委对两名选手的打分差距不得超过2分，所以乙选手的第九个记录可能为或者，分别计算两种情况下乙的平均数，即可求解． 【解答】解：（1）甲的平均分（分； （2）评分办法：10位评委现场打分，每位选手的最后得分为去掉一个最高分和最低分后的平均数， 甲的平均分（分， 乙的平均分（分， ， 乙获胜； （3）根据评委打分要求，乙选手的第九个记录可能为或者， 乙的平均分（分， 或者乙的平均分（分， ，， 乙选手的第九个记录无论是10还是6，都是乙获胜． 【点评】本题主要考查了根据题意要求计算平均数的能力，题目中的这种计算平均数的方法也是我们在生活中常用的． 知识点5．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【例5】（2022秋•鹿城区月考）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有　　 A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【分析】根据概率公式计算即可． 【解答】解：设袋子中黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， 则白球有个； 故选：． 【点评】本题主要考查了频率与概率的关系，解题的关键是熟练掌握：经过大量重复实验后，频率会稳定在一个常数，就可以估计这个事件发生的概率． 【变式1】（2024•沭阳县校级二模）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数　30　． 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值． 【解答】解：根据题意得， 解得， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故答案为：30． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【变式2】（2023秋•新昌县期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 （1）表格中的值为 　475　，的值为 　　． （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【分析】（1）根据频率频数总数求解即可； （2）用1减去合格品频率的稳定值即可； （3）总数量乘以不合格品的概率，再乘以每件的损失费即可． 【解答】解：（1），， 故答案为：475、0.95； （2）． 答：任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05； （3）（元． 答：估计要在他奖金中扣除46元． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 经典题型汇编 题型一.事件的可能性 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中属于不可能事件的是（　　） A．投掷一枚骰子，朝上的点数为3 B．13个人中有两个人生日在同一个月份 C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小逐项判断即可． 【详解】解：A．投掷一枚骰子，朝上的点数为3是随机事件，不符合题意； B．13个人中有两个人生日在同一个月份是必然事件，不符合题意； C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球是不可能事件，符合题意； D．两点之间，线段最短是必然事件，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图是一个游戏转盘示意图，盘面分成红、黄、蓝、绿四个区域，让转盘自由转动，当转盘停止转动时，指针落在 色区域的可能性最小． 【答案】黄 【分析】本题主要考查运用概率公式求解几何图形中的概率，通过比较4个区域圆心角的大小，进而得出答案． 【详解】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，黄色区域的圆心角最小， ∴黄色区域的面积最小， ∴指针落在黄色区域内的可能性最小． 故答案为：黄． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）下列事件中哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪些事件是不确定事件？ （1）在一个装只有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球． （2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地． （3）在标准大气压下，气温为2摄氏度时，冰能熔化成水． （4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交． （5）某运动员跳高最好成绩是10.1米． （6）从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品． 必然事件有______，不可能事件有______，不确定事件有______（填序号） 【答案】（3）；（1）（5）；（2）（4）（6） 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”进行判断即可． 【详解】解：（1）在一个装只有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球．是不可能事件； （2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地．是不确定事件； （3）在标准大气压下，气温为2摄氏度时，冰能熔化成水．是必然事件； （4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交．是不确定事件； （5）某运动员跳高最好成绩是10.1米．是不可能事件； （6）从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品．是不确定事件； 综上，必然事件有（3），不可能事件有（1）（5），不确定事件有（2）（4）（6）． 故答案为：（3）；（1）（5）；（2）（4）（6）． 题型二.简单事件的概率 4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）某市举办篮球赛，初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县区学校的D，E，F，G，H五个队，如果从A，B，D，E四个队与C，F，G，H四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率； 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中首场比赛出场的两个队都是县区学校队的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图如图所示： 由树状图得：共有16种等可能的结果，其中首场比赛出场的两个队都是县区学校队的有6种情况， ∴首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是， 故选：B． 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）布袋里装有仅颜色不同的3个红球，4个白球．从中任意摸一个球为白球的概率是 ． 【答案】 【分析】 本题考查的是概率公式．直接根据概率公式求解即可． 【详解】 解：布袋装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球， 从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率为， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）为创建“全国文明城市”，周末团委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． (1)第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　　； (2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，用概率公式求概率，准确画出列表是解题关键． （1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案； （2）列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】（1）解：第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为， 故答案为：； （2） 记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为、、、，列表如下： 由表可知，共有12种等可能结果，其中小惠被抽中的有6种结果， 所以小惠被抽中的概率为． 题型三.用频率估计概率 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）掷一枚均匀的硬币次，前九次朝上的面次数为反次，正次，那么第十次反面朝上的概率是 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查的是概率的意义，根据独立实验概率的意义，即可求解． 【详解】解：掷一枚均匀的硬币10次，前九次朝上的面次数为反6次，正3次，但第十次反面朝上和正面朝上的可能相同， 即第十次反面朝上的概率是， 故答案为：． 8．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）袋中有4个红球和若干个白球，它们只有颜色上的区别．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（    ） A．8个 B．12个 C．16个 D．20个 【答案】B 【分析】 此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 【详解】解：设白球个数为：x个， ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 即白球的个数为12个． 故选：B． 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）柯桥瓜渚湖北岸公园，准备美化景区，特考察了一批郁金香移植的成活率，并绘制了如图所示的统计图．    (1)估计牡丹成活概率为____________．（精确到0.01） (2)该规划共需成活19000株牡丹，估计购买多少株？ 【答案】(1)0.95 (2)20000株 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用统计图可看出频率在0.95上下波动，根据频率估计概率得到牡丹移植成活的概率为0.95； （2）设购买x株，利用成活的概率得到，然后解方程即可． 【详解】（1）解：根据统计图，牡丹成活的频率稳定在0.95附近， 所以估计成活概率为0.95； 故答案为：0.95； （2）解：设购买x株， 根据题意得 解得， 答：估计购买20000株． 题型四.概率的简单应用 10．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知， 绿球与黑球的个数应相等，也为2x个， 列方程可得x+2x+2x=10， 解得x=2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 11．（九年级上·浙江杭州·期中）一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要 位． 【答案】3． 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数时一次就拨对密码的概率，再根据一次就拨对密码的概率小于解答即可． 【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为， 取两位数时一次就拨对密码的概率为， 取三位数时一次就拨对密码的概率为， 故密码的位数至少需要3位． 故答案为3． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝． 12．（23-24九年级上·浙江金华·期末）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率； (2)小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率； (3)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)公平，理由见解析 【分析】本题考查的是几何概率，列表法与树状图法求概率的方法，解题的关键是掌握事件可能出现的结果所有可能结果． （1）求出蓝区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率； （2）列举出所有情况，让指针都落在蓝色区域的情况数除以总情况数即为所求的概率； （3）根据（2）中列表法，分别求出指针落在黄色区域和指针都落在蓝色区域的概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能， 指针落在红色区域； （2）解：列表法， 第一次 第二次 红色 黄色 蓝色 蓝色 红色 （红，红） （红，黄） （红，蓝） （红，蓝） 黄色 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 共有种可能，指针刚好落在蓝色区域有种， 指针都落在蓝色区域； （3）解：指针落在黄色区域，指针都落在蓝色区域． 公平． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（　 　） A．点数是奇数 B．点数是3的倍数 C．点数大于5 D．点数小于5 【答案】D 【分析】分别计算各自概率后判断即可． 【详解】A．∵奇数有1，3，5共3个，∴点数是奇数的概率为； B．∵3的倍数的数有3，6，∴点数是3的倍数的概率为； C．∵点数大于5的数有6共1个，∴点数大于5的概率为； D．∵点数小于5的数有1，2，3，4共4个，∴点数小于5的概率为； ∵， ∴发生可能性最大的是点数小于5． 故选D． 【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是2，3，4，5，6，从中随机抽取一张，编号是奇数的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单概率公式求概率，根据题中所给数据，找出奇数有3，5共2个，代入概率公式求解即可得到答案，熟记简单概率公式是解决问题的关键． 【详解】解：在2，3，4，5，6中，奇数为3，5共2个， 编号是奇数的概率为， 故选：B． 3．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（   ） A．连续抛一枚均匀硬币两次，必有一次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币两次，一正一反的概率是 C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每次出现正面朝上次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生． 【详解】A.连续抛一枚均匀硬币两次，必有一次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误； B.连续抛一枚均匀硬币两次，一正一反的概率是，故此选项错误； C.大量反复抛一枚均匀硬币，平均次出现正面朝上次，不正确，有可能每次都朝上，故本选项错误； D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确． 故选：D ． 4．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如表是某一项实验中结果出现的频率统计表，请估计在一次实验中结果出现的概率为（    ） 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 380 540 780 925 1140 频率 0.25 0.38 0.36 0.39 0.37 0.38 A．0.36 B．0.37 C．0.38 D．0.39 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动．通过已知实验得到事件的频率稳定在0.38附近，即可得出答案． 【详解】解：由实验可知，结果出现的频率稳定在0.38附近， 即结果出现的概率为0.38， 故选：C． 5．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）下列成语中，表示随机事件的是（ ） A．守株待兔 B．竹篮打水 C．水中捞月 D．杀鸡取卵 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】A、守株待兔是随机事件，故该选项符合题意； B、竹篮打水是不可能事件，故该选项不符合题意； C、水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意； D、杀鸡取卵是必然事件，故该选项不符合题意； 故选：A 6．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）在一个不透明的袋子中，装有个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为，若将这一事件的概率提升至，则需要增加白球的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】需要增加白球个，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设需要增加白球个，根据题意得， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，掌握概率公式是解题的关键． 7．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得＝0.4，解方程即可求解． 【详解】根据题意得： ＝0.4， 解得：n＝6， 经检验：n＝6是分式方程的解且符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率的计算方法列式是解题的关键． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B．“明天太阳从西方升起”是不可能事件 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为必然事件 D．“是实数，”是随机事件 【答案】B 【分析】本题考查关于随机事件和绝对值，应熟练掌随机事件和确定事件的定义来解答，随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币，正面和反面的出现是随机的，所以10次不一定有5次正面向上，故选项不符合题意； B、“明天太阳从西方升起”是不可能事件，属于确定性事件，故选项符合题意； C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，故选项不符合题意； D、“是实数，是必然事件，故选项不符合题意． 故选：B． 9．（19-20九年级上·全国·阶段练习）设a,b是两个任意独立的一位正整数, 则点（a,b）在抛物线y=ax2-bx上方的概率是 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a、b是两个任意独立的一位正整数，得出a，b取1～9，然后求出点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方的所有情况，再根据概率公式，即可求出答案． 【详解】解：∵a、b是两个任意独立的一位正整数， ∴a，b取1～9， ∴代入x=a时，y=a3-ba， ∵点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方， ∴b-y=b-a3+ba＞0， 当a=1时，b-1+b＞0， ∴b＞，有9个数，b=1，2，3，4，5，6，7，8，9， 当a=2时，b-8+2b＞0， ∴b＞ ，有7个数，b=3，4，5，6，7，8，9， 当a=3时，b-27+3b＞0， ∴b＞ ，有3个数，b=7，8，9， 当a=4时，b-64+4b＞0， ∴b＞ ，有0个数，b在此以上无解， ∴共有19个，而总的可能性为9×9=81， ∴点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方的概率是； 故选D． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 10．（21-22九年级·浙江宁波·阶段练习）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得6分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【答案】A 【分析】利用列表法分别求出各选项中各自情况情况数即可得出答案． 【详解】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意； 取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意； 取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意； 取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了游戏的公平性，求出各选项中对应情况数是解题的关键． 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江台州·期末）“某种彩票的中奖率为，则购买100张这种彩票能中奖”是 （填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查事件的分类，关键是理解相关概念：一定会发生的事件叫做必然事件；一定不会发生的事件叫做不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．据此判断即可． 【详解】解：由“某种彩票的中奖率为知，购买100张这种彩票能中奖”可能中奖，也有可能不中奖，是随机事件， 故答案为：随机． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个布袋中放着12个黑球和8个红球，除了颜色以外没有任何其他区别，则从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，正确理解概率的计算方法是解答本题的关键．根据概率的计算公式，即得答案． 【详解】一个布袋中放着12个黑球和8个红球， 从布袋中任取1个球，取出红球的概率． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有 个． 【答案】12 【分析】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式求解得到黄球的个数． 【详解】解：布袋中黄球可能有个， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在圆形转盘中，指针转动时恰好落在阴影部分的概率为，则阴影部分的圆心角是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了几何概率的知识．阴影部分所对圆心角的度数与的比，即为转动停止后指针指向阴影部分的概率． 【详解】解：设圆心角的度数为， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图显示了计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率为 （精确到0.001）． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率；观察图形即可求解． 【详解】解：由图知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在数字附近，所以估计“钉尖向上”的概率为． 故答案为：． 16．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）（1）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不确定事件？（填入题后括号内） ①校运会上，我班一位女同学的100米跑成绩是12秒11．( )事件 ②人在地球上所受的重力比在月球上小．( )事件 ③一个四边形四个内角的和等于360°．( )事件 （2）写出一个不确定事件．（只需写一个，填在下面的横线上） 【答案】 不确定 不可能 必然 明天会下雨（答案不唯一） 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：（1）①校运会上，我班一位女同学的100米跑成绩是12秒11．（不确定事件） ②人在地球上所受的重力比在月球上小．（不可能事件） ③一个四边形四个内角的和等于．（必然事件） （2）写出一个不确定事件．（只需写一个，填在下面的横线上） 明天会下雨（答案不唯一）． 故答案为：（1）不确定，不可能，必然；（2）明天会下雨（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 17．（19-20九年级上·浙江台州·期末）某水果公司以2．2元/千克的成本价购进苹果．公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分数据如下： 苹果损坏的频率 0.106 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101 估计这批苹果损坏的概率为 精确到0.1），据此，若公司希望这批苹果能获得利润23000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为 元/千克． 【答案】 0.1 5 【分析】根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计苹果的损坏概率为0.1；根据概率计算出完好苹果的质量为10000×0.9=9000千克，设每千克苹果的销售价为x元，然后根据“售价=进价+利润”列方程解答． 【详解】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右， 所以苹果的损坏概率为0.1． 根据估计的概率可以知道，在10000千克苹果中完好苹果的质量为10000×0.9=9000千克． 设每千克苹果的销售价为x元，则应有9000x=2.2×10000+23000， 解得x=5． 答：出售苹果时每千克大约定价为5元可获利润23000元． 故答案为：0.1，5． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决（2）的关键． 18．（九年级上·浙江·课后作业）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的立方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为 . 【答案】. 【详解】分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 本题解析： 解方程组 得 ∵x，y均大于0，∴ >0， >0. 易知a，b必须是1～6的整数， 当2a－b＝0时，方程无解； 当2a－b>0时，可得 ∴当a为2，3，4，5，6时，b为1或2，共10种情况； 当2a－b<0时，可得 ∴当a为1时，b为4或5或6，共3种情况， ∴P＝ ＝ . 三、解答题 19．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其它完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右． (1)请你估计箱子里白色小球的个数． (2)现从该箱子里摸出2个小球，求摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键． （1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案； （2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案． 【详解】（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右， ∴估计摸到红球的概率为0.75， 设白球有个，依题意得 解得，． 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴箱子里可能有1个白球； （2）画树状图如下： ∵一共有12种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有6种． ∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率． 20．（2022九年级上·浙江·专题练习）A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案： A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车． 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题： (1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ (2)你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？ 【答案】(1)6种 (2)B人采用的方案使自己乘上等车的可能性大，理由见解析 【分析】（1）利用列表展示所有6种不同的可能； （2）分别求出两个方案使自己乘上等车的结果数，然后比较结果数大小可判断谁的可能性大． 【详解】（1）解：（1）列表： 三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能； （2）解：A采用的方案使自己乘上等车的结果有2种；B采用的方案使自己乘上等车的结果有3种， 则B人采用的方案使自己乘上等车的可能性大． 【点睛】本题考查了可能性的大小：某事件的可能性等于所求情况数与总情况数之比． 21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）为美化校园环境，特考察了一批牡丹移植的成活率，并绘制了如图所示的统计图． (1)估计牡丹成活概率为______．（精确到0.01） (2)该校规划共需成活190株牡丹，估计购买多少株？ 【答案】(1)0.95 (2)估计购买200株 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用统计图可看出频率在0.95上下波动，根据频率估计概率得到牡丹移植成活的概率为0.95； （2）设购买株，利用成活的概率得到，然后解方程即可． 【详解】（1）解：根据统计图，牡丹成活的频率稳定在0.95附近， 所以估计成活概率为0.95； 故答案为：0.95； （2）解：设购买株， 根据题意得， 解得， 答：估计购买200株． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，杭州市某食品厂抽样调查了某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： (1)根据题中信息补全条形统计图，并求出喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为度． (2)若有外型完全相同的A、B、C、D四种不同口味的粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法，求出小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率． 【答案】(1)统计图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概： （1）用D的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出B、C的人数，据此补全统计图，再用360度乘以C的人数占比即可求出C所占的圆心角度数； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到第二个吃A的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：调查的市民人数为：（人）， ∴喜欢B种口味粽子的人数为：（人）， ∴喜欢C种口味粽子的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为： ， 故答案为：72； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果有3种， ∴小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率为 ． 23．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． (1)计算的结果为0的概率； (2)甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，理由见详解；公平的游戏规则见详解 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率等知识． （1）画树状图得到共有12种的等可能结果，其中的结果为0的共有2种等可能结果，根据概率公式即可求解； （2）分别计算出甲胜的概率为，乙胜的概率为，据此即可得到游戏规则不公平；新的游戏规则只要保证甲胜和乙胜的概率相等即可符合题意． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图得共有12种的等可能结果，其中的结果为0的共有2种等可能结果， ∴的结果为0的概率是； （2）解：由树状图得共有12种的等可能结果，其中共有2种等可能结果，所以甲胜的概率为；共有4种等可能结果，所以乙胜的概率为； ∵ ∴游戏规则不公平； 公平的游戏规则为：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜． 此时甲胜和乙胜的概率都是， ∴此游戏规则公平． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯， (1)请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率； (2)小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由． 【答案】(1) (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键． （1）根据题意列表格，然后求概率即可； （2）分别求出小亮胜，小芳胜的概率，进行比较，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，列表格如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表可知，共有种等可能的结果，甲、乙二人在同一层楼出电梯共有4种等可能的结果， ∵， ∴甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率为； （2）解：游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率为； 甲、乙二人不在同一层楼出电梯的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 25．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）有三张大小、形状完全相同的卡片，正面分别画有如图所示的图形．从中任意抽取一张，记下图形的名称后放回，将三张卡片重新搅匀再任意抽取一张．请你用列表法或画树状图法求两次抽取的卡片上的图形均为中心对称图形的概率． 【答案】 【分析】本题考查的是用树状图法或列表法求概率以及中心对称图形和概率公式．画树状图或列表，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把矩形、圆和等腰三角形的三张卡片分别为A、B、C，其中是中心对称图形的有矩形、圆， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的结果有4种， ∴两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的概率为． 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的结果有4种， ∴两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的概率为． 26．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近___________； (2)计算盒子里白球有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)15个 (3)15个 【分析】 本题主要考查了概率，熟练掌握用频率估计概率，概率的定义及计算公式，用概率还原事件，是解决问题的关键， （1）用频率稳定于，估计概率就是； （2）用60乘，计算即得； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据摸到白球的概率为建立方程，解方程检验，即得， 【详解】（1） ∵大量重复摸球实验，摸到白球的频率稳定于， ∴摸到白球的概率接近； 故答案为：； （2） （个）， 答：盒子里白球有15个； （3） 设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：， 经检验得：为所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$