精品解析：广东省惠州市华罗庚中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

惠州市华罗庚中学2023-2024学年度第二学期期中考 高 二 数 学 试 题 试卷分数: 150分 考试时间: 120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ） A. 40 B. 35 C. 495 D. 330 6. 若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 7. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆关于直线对称的圆的方程为 B. 直线被圆截得的弦长为 C. 若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是 D. 若点是圆上的动点，则的取值范围是 10. 某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（ ） A. 第二天去甲游乐场的概率为0.54 B. 第二天去乙游乐场的概率为0.44 C. 第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为 D. 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 11. 将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ） A. 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B. 第8行第2个数是 C. （，） D. （，） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为正整数，若，则______. 13. 投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏．为弘扬传统文化，某单位开展投壶游戏，现甲、乙两人为一组玩投壶，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶．无论之前投壶情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为．已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为__________． 14. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线平行于直线. （1）求的值； （2）求的极值. 16. 已知数列满足且成等比数列， （1）求的通项公式： （2）设数列的前n项和为，求的最小值及此时n的值． 17. 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 （1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； （2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和均值． 18. 四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD． （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值． 19. 已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）设直线，的斜率分别为，，问是否为定值? 并证明你的结论; （3）记的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市华罗庚中学2023-2024学年度第二学期期中考 高 二 数 学 试 题 试卷分数: 150分 考试时间: 120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将集合化简，再由并集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A 2. 抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，从而求出其准线方程. 【详解】抛物线的标准方程为，所以的准线方程为． 故选：D 3. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】由题意可知：. 故选:D 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设与所成角的大小为，则，从而计算可得. 【详解】设与所成角的大小为， 则， 故与所成角的正弦值为. 故选：A 5. 某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ） A. 40 B. 35 C. 495 D. 330 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为将熄灭的4盏灯插到，排成一排的亮着的8盏灯的空位中，即插空法，从而得解. 【详解】根据题意，原来有12盏路灯，熄灭其中的4盏灯，还有8盏是亮着的， 先将亮的8盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯， 则亮着的8盏灯的空位中有7个符合条件的空位， 进而在这7个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，有种方法. 故选：B. 6. 若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解. 【详解】在中，，， 所以. 故选：C 7. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得； 【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用连花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 依题意可得，，，，，， 所以 . 故选：C 8. 已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，设，转化为为单调递增函数，再由，利用导数和分段函数的性质，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 设， 因为对任意都有，则为单调递增函数， 又因为， 可得， 当时，，可得， 因为时，为单调递增函数，则满足，解得， 又由为递减函数，则，可得， 且满足，即，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆关于直线对称的圆的方程为 B. 直线被圆截得的弦长为 C. 若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是 D. 若点是圆上的动点，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】把圆化成标准方程，得到圆心坐标和半径，利用圆的几何性质，解决对称问题，弦长问题，点到直线距离和取值范围. 【详解】圆：，化成标准方程为， 圆心坐标为，半径为. 圆关于直线对称的圆，圆心坐标为，半径为， 圆的方程为，A选项正确； 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为，B选项错误； 若圆上有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离小于， 即，解得，即的取值范围是，C选项正确； 若点是圆上的动点，满足，则， 由圆心坐标和半径可知，，则， 所以的取值范围是，D选项错误. 故选：AC 10. 某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（ ） A. 第二天去甲游乐场的概率为0.54 B. 第二天去乙游乐场的概率为0.44 C. 第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为 D. 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用条件概率公式、全概率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可. 【详解】设事件：小王同学第一天去甲游乐场，事件：小王同学第二天去甲游乐场， 事件：小王同学第一天去乙游乐场，事件：小王同学第二天去乙游乐场， 则，，，， 所以， 故选项A正确； ，故选项B不正确； 因为，， 所以，， 所以，故选项C正确； ， 故选项D不正确， 故选:AC． 11. 将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ） A. 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B. 第8行第2个数是 C. （，） D. （，） 【答案】BC 【解析】 【分析】由莱布尼茨三角形的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，根据杨辉三角的特点，当为偶数时，中间的一项取得最大值，当为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，所以当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以A错误， 对于B，由莱布尼茨三角形知：第8行第2个数是，故B正确； 对于C，由组合数性质知：，所以（，），故C正确； 对于D，由从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和知：（，），故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为正整数，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求解即得. 【详解】由，，得或，解得或， 而，解得，， 所以. 故答案为：2 13. 投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏．为弘扬传统文化，某单位开展投壶游戏，现甲、乙两人为一组玩投壶，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶．无论之前投壶情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为．已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解可得. 【详解】设“第次投壶的人是甲”，“第次投壶的人是乙”，. 由题意可得：， 则， 即在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为为. 故答案为： 14. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理、锐角三角函数的正弦与余弦的定义，结合已知，可以求出的双曲，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为是中点，即是的中位线， 则， 可得，， 又因为，则，，关系 则， 所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线平行于直线. （1）求的值； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）的极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可； （2）利用导数研究函数的极值即可. 【小问1详解】 由已知可得， 而直线的斜率为， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故极大值为，极小值为. 16. 已知数列满足且成等比数列， （1）求的通项公式： （2）设数列的前n项和为，求的最小值及此时n的值． 【答案】（1） （2）最小值为,此时. 【解析】 【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式； （2）求出，求出最小值及的值. 【小问1详解】 由知为等差数列，设的公差为，则， 成等比数列，所以，即， 解得，又，所以的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得， 所以当时，取得最小值，最小值为 17. 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 （1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； （2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和均值． 【答案】（1） （2）分布列见解析，均值为 【解析】 【分析】（1）由条件概率公式求解即可； （2）由题知，的可能取值为0，1，2，再由独立事件乘法公式求对应概率，写出分布列并计算均值. 【小问1详解】 记“任取1名学生，该学生获得一等奖”为事件， “任取1名学生，该学生来自高一”为事件， 由题意，获奖学生共有（人）， 则，，故． 【小问2详解】 由已知可得，的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 ． 18. 四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD． （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值． 【答案】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以 ，因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面PBD，因为平面PBD， 故 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直和面面垂直的条件可得线面垂直，故得线线垂直； （2）由（1）的结论，结合题设条件，建立空间直角坐标系，分别求出相关点的坐标，计算两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设，则O为AC、BD的中点， 由可得， 又因为平面PBD，平面PBD，所以， 因为，AC、平面ABCD， 所以平面ABCD， 故可以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 且为PA与平面ABCD所成角， 由于四边形ABCD为边长为，的菱形， 所以， 则，，，，， 由，∴， 得，且 设平面的法向量为， 则，,故可取， 又平面BCD的一个法向量为， 所以， 所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为 19. 已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）设直线，的斜率分别为，，问是否为定值? 并证明你的结论; （3）记的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）为定值，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，，及可求得，； （2）可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性； （3）根据，将用参数表示，从而得到面积关于函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值． 【小问1详解】 设椭圆的右焦点为，，则， 由，得， 又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得， 则， 联立，解得，，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 为定值，证明如下： 显然直线不与轴垂直，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去并整理得， 又设，，由韦达定理得 从而， ， 所以 ， 即，故得证． 【小问3详解】 由（2）知，， 所以 ． 令，， 则，设函数， 由对勾函数性质易知在上为增函数， 所以当，即时，， 此时取得最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $