第二十八章 锐角三角函数单元复习专题两个特殊直角三角形的应用-课件 2023-2024学年人教版初中数学九年级下册

两个特殊直角三角形的应用 两个特殊直角三角形 A B C A C B 等腰直角三角形 含30°角的直角三角形 45° 30° 已知两个直角三角形，你有哪些联想？ 联想一 ：两个直角三角形的性质 A B C 45° 1 1 （1）两腰相等，两个底角都是45°，三线合一，斜边上的中线等于斜边的一半，是轴对称图形，具有稳定性。 等腰直角三角形 （2) 30°角所对的边等于斜边的一半。 A C B 30° 1 2 含30°角的直角三角形 联想一 ：两个直角三角形的性质 45° 若已知多个等腰直角三角形，你又有什么联想？ 三线合一：1.线段CD垂直平分底边AB，平分顶角∠ACB. 2.斜边上的高CD把三角形分成两个全等的等腰直角三角形。 D B A C 30° 若已知多个含30°的直角三角形，你又有什么联想？ 等边三角形 顶角120°的等腰三角形 内角是60°或120°的菱形或是矩形（矩形我们今后再复习） （1）三边都相等。 （2）每个角都是60° （3）三个三线合一。 30° (4)任意一边的高将等边三角形分成两个30°的直角三角形。 联想二：两个特殊等腰三角形 等边三角形 联想二：两个特殊等腰三角形 (2)底边的高将三角形分成两个30°的直角三角形。 120° A C D B 顶角120°的等腰三角形 （1）特殊的平行四边形。（2）菱形四边均相等. (3)对角线互相平分且垂直。（4）菱形的对角线平分一组对角。 （5）菱形面积等于对角线长度乘积的一半。 （特殊1）对角线将菱形分成两个全等的等边三角形。 （特殊2）对角线将菱形分成两个全等的顶角为120°的等腰三角形。 联想三：内角为60°或120°的菱形 120° 120° A B C A C B 等腰直角三角形 含30°角的直角三角形 45° 30° 若将这两个直角三角形组合，你想到了哪些熟悉的图形？ 45° 45° 45° 30° 30° 60° 60° 45° 联想四：等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的组合体. 1.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是AB边上的高，BC=12．求：AD的长 A C D B 12 30° 30° 学以致用 A B C C B A 45° 120° 30° 45° 6 6 如图：求AB 如图：求AC A B C 45° 60° 75° 6 如图：求AC,BC 2.已知下列各图，求相应线段的长. 学以致用 D D D 3.如图，两位同学欲测量公园内某棵树DE的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A处测得这棵树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得这棵树顶端D的仰角为60°.已知点A的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1∶ ，且B，C，E三点在同一条直线上，求棵树DE的高度. 学以致用 A B C D E 30° 60° 30° 45° A D B C （1）求AD的长. 4.如图已知AC⊥BC于点D，∠A=30°，∠BDC=45°，BC=6. 学以致用 C B A 30° 15° 解：作DE⊥AB，垂足为E. D （2）你会利用这个图求tan15°吗？ （课后思考）你求sin15°,cos15°,tan75°吗？ 6 6 学以致用 4.如图已知AC⊥BC于点D，∠A=30°，∠BDC=45°，BC=6. E 等边三角形 顶角120°的等腰三角形 内角是60°的菱形 小结：通过分割或补形的方法，将原图分割成了含30°，45°的直角三角形，再利用三角形熟悉的三边比值，帮助我们快速解题。 C B A 30° 15° D E 45° 45° 45° 45° 30° 60° 120° HP (H) - 实例1.（2022年12题，3分）矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点 处，展平后得到折痕BE，同时得到线段 ，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为__________________ 厘米． △ABE 沿BE折叠动态图： B C D E A 4 30° A D B C E 30° 4 实例1.（2023年第12题，3分）矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点 处，展平后得到折痕BE，同时得到线段 ，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为________________厘米． A C B D E M N 你想过用15°角的正切值求这种情况下的AE长吗？ 4 4 30° 30° 2 30° 实例2. 如图1，⊙O的直径AB＝12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D． （1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长； （2）如图3，当 时，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE． ①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长． A D D E P O C B A A B B C C O O P P D 图1 图2 图3 （1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长； 图2 A P O C D B 实例2.如图1，⊙O的直径AB＝12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D． （2）如图3，当 时，延长AB至点E，使BE＝½AB，连接DE． ①求证：DE是⊙O的切线． 图3 P C D A B O E 实例2. 如图1，⊙O的直径AB＝12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D． （2）如图3，当 时，延长AB至点E，使BE＝½AB，连接DE． ②求PC的长． 图3 P C A B O E D Q 实例2. 如图1，⊙O的直径AB＝12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D． 实例2. 如图1，圆O的直径AB＝12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D． （1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长； （2）如图3，当 时，延长AB至点E，使BE＝½AB，连接DE． ①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长． A D D E P O C B A A B B C C O O P P D 图1 图2 图3 实例3在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ； （2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）． （3） 如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若 ，求四边形ADPE的面积 1.通过对tan15°，等边三角形，120°的等腰三角形，120°的菱形等的探究，发现在解一些几何题型中，只要一个图形可以通过分割或是补形作辅助线，把原图分成含30°，45°的直角三角形，就能快速解决。 2.将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归思想，它是转化和归结的简称。化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。 小结： 课堂终有结束，双师不会散场， 谢谢你！再会。 $$