3.7　正多边形与圆 课件 2024—2025学年青岛版数学九年级上册

1111 3.7　正多边形与圆 课时学习目标 素养目标达成 1.了解正多边形的有关概念以及正多边形与圆的关系 抽象能力、几何直观 2.能够利用正多边形的有关计算公式,计算与正多边形有关的问题 几何直观、运算能力 3.会用等分圆周法画圆内接正多边形 推理能力、应用意识 基础主干落实 新知要点 1.正多边形 (1)正多边形的相关概念 ①中心:正多边形的____________________________. ②半径:正多边形________的半径. ③中心角:正多边形每一边所对的外接圆的________. ④边心距:正多边形内切圆的半径. (2)正多边形的对称性 ①正多边形都是轴对称图形 ②当n为偶数时,正n边形为中心对称图形; 当n为奇数时,正n边形不是中心对称图形. 外接圆和内切圆的公共圆心 外接圆 圆心角 对点小练 1.(1)已知正方形的边长为2 cm,那么它外接圆的半径长是_______cm.  　(2)如果一个正多边形的中心角等于60°,那么这个正多边形的边数是_______.   　 　6　 新知要点 (1)正n边形的中心角为________正n边形的每一个内角的度数为____________ 正n边形的每一个外角的度数为_____ (2)每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的______三角形;被它的半径和边心 距分成2n个全等的______三角形. (3)正多边形的半径R,边心距r,边长a之间的关系为__________. 等腰 直角 r2+()2=R2 ; ; . 对点小练 2.(1)正十边形的中心角的度数为________.  　(2)如图,点O是正五边形ABCDE的中心,则∠BAO的度数为________.  　 (3)正六边形的半径为2,则它的边心距为 . 　36°　 　54°　 　 重点典例研析 【重点1】正多边形的有关概念及计算(抽象能力、几何直观) 【典例1】(2023·安徽中考)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接OC,OD,则 ∠BAE-∠COD= ( ) A.60°　 B.54°　 C.48°　 D.36° D 【举一反三】 1.(2023·内江中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点P在上,点Q是的中点, 则∠CPQ的度数为 ( ) A.30°　 B.45°　 C.36°　 D.60° 2.如图,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=40 mm,则边长 a为________mm.  B 　40　 【技法点拨】 解决圆内接正多边形问题的策略 1.添加辅助线,构造直角三角形,把圆内接正多边形的问题,化归为三角形的问题. 2.在直角三角形中利用勾股定理等进行计算和证明. 3.得出圆内接正多边形问题的相关结论. 【重点2】正多边形的性质、判断及画法(推理能力、应用意识) 【典例2】已知:如图,△ABC是☉O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°,弦BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB.求证:五边形AEBCD是正五边形. 【自主解答】∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, 又∵∠BAC=36°, ∴∠ABC=∠ACB=72°. 又∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB, ∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°,∴====. ∴五边形AEBCD为正五边形. 【举一反三】 如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是________.  　10　 (10分钟·15分) 1.(4分·推理能力、运算能力)如图,☉O的内接正方形ABCD的边长 为4,则☉O的半径为( )　　　　　　　　　　　　　 A.　 B.2　 C.4　 D.2 2.(4分·几何直观、运算能力)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,☉O的半径为2,则 边心距OM的长为_______.  素养当堂测评 B  　 3.(7分·推理能力、运算能力)如图,在正六边形ABCDEF中,M,N分别是边BC,CD上的点,且CM=DN,AM与BN交于点Q. (1)求证:△ABM≌△BCN; 【解析】(1)∵六边形ABCDEF为正六边形, ∴∠ABC=∠BCN,AB=BC=CD. ∵CM=DN, ∴BC-CM=CD-DN,即BM=CN. 在△ABM和△BCN中,, ∴△ABM≌△BCN(SAS); 3.(7分·推理能力、运算能力)如图,在正六边形ABCDEF中,M,N分别是边BC,CD上的点,且CM=DN,AM与BN交于点Q. (2)求∠AQB的度数. 【解析】 (2)由(1)知△ABM≌△BCN, ∴∠BMA=∠CNB,∠BAM=∠CBN, 根据多边形内角和公式,得∠BCN==120°, ∴∠BQM=180°-(∠BMA+∠CBN)=180°-(∠CNB+∠CBN)=∠BCN=120°, ∴∠AQB=180°-∠BQM=60°. 本课结束 $$