预习02空间向量基本定理及空间向量的坐标运算（十大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习02空间向量基本定理及空间向量的坐标运算 一、空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 空间向量的正交分解 ①单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． ②正交分解：由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 二、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 三、空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 考点01 对空间向量基本定理的理解 【方法点拨】判断三个向量能否作为基底的基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底； 对应方法：假设，运用空间向量基本定理建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．特别地，如果向量中存在零向量，则不能作为基底． 【例1】（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【例2】若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【变式1-2】若：是三个非零向量；：为空间的一个基底，则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（多选）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 考点02 空间向量基本定理的应用 【方法点拨】用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘等运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部可以用基向量表示为止． 【例3】在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【例4】如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，，，分别为，，的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求．    【变式2-1】已知是空间的一个基底，，，若，则 （    ） A． B． C．6 D．5 【变式2-2】如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 ． 考点03 空间直角坐标系及坐标表示 【方法点拨】用坐标表示空间向量的步骤：①观察图形特征，寻找两两垂直的三条直线；②根据图形特征建立空间直角坐标系；③用基底表示向量；④确定向量的坐标 【例5】在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知平行四边形中的三个顶点的坐标分别为、与，求顶点的坐标. 【变式3-1】已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ． 【变式3-3】已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 考点04 空间向量的坐标运算 【方法点拨】利用向量坐标运算解决问题的关键是熟练运用向量坐标运算的法则 【例7】已知点， ，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知，，，则 . 【变式4-1】已知正方体的棱长为，对角线与相交于点，则有（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知空间向量，则 . 【变式4-3】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，，则 ．    考点05 空间向量的平行 【方法点拨】判断空间向量平行的步骤：①向量化：将空间中的平行转化为向量的平行；②向量关系代数化：写出向量的坐标；③对于根据 或(都不为0)是否成立,判断两向量是否平行． 【例9】（多选）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【例10】已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）下列各组向量中互相平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知向量，，且与平行，则 . 【变式5-3】若，则与向量反方向的单位向量的坐标为 . 考点06 空间向量的垂直 【方法点拨】判断空间向量垂直的步骤：①向量化：将空间中的垂直转化为向量的垂直；②向量关系代数化：写出向量的坐标；③对于根据是否等于0,判断两向量是否垂直 【例11】已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 【例12】已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知空间向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求的最大值． 考点07 空间向量的长度问题 【方法点拨】利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤：①建立适当的空间直角坐标系；②求出线段端点的坐标；③利用两点间的距离公式求出线段的长度． 【例13】已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 【例14】已知空间直角坐标系中ΔABC三个顶点坐标分别为:，AD是边BC上的高，则AD的长为 ． 【变式7-1】已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）空间向量，则下列选项中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】在空间直角坐标系中，若点，且，则的值为 . 考点08 空间向量的夹角问题 【方法点拨】利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤：①根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；②利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；③利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 【例15】已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【例16】已知空间三点，求： (1)向量，的模； (2)向量，夹角的余弦值． 【变式8-1】若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）已知空间单位向量，，两两互相垂直，设，，，则下列说法正确的有（    ） A．与的夹角为 B． C．，所成角的余弦值为 D．，，其中任意两个都可以作为基底来表示另外一个向量 【变式8-3】若两个单位向量与向量的夹角都等于，则 . 考点09 空间向量的投影向量 【例17】已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例18】如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知向量在向量上的投影向量是，且，则 . 【变式9-2】在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 . 【变式9-3】已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 考点10 空间向量中的最值范围问题 【例19】如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 【例20】在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．4 【变式10-1】《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马，面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，在长方体中，已知，，，若对角线上存在一点，使得，则的最大值是 ．    【变式10-3】已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 一、单选题 1．空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．为单位向量 B．若，则 C．若，，共面，则它们所在的直线共面 D．已知，，则在上的投影向量为 3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 5．在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架是边长为2的正方形，两等腰三角形框架的腰长均为，框架所在的平面，，活动弹子分别在上移动，之间用有弹性的细线连接，且始终成立，则当的长度取得最小值时，（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 6．已知空间直角坐标系中，点，，，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知空间向量，若共面，则 ． 9．如图，正方形和的边长都是1，且平面，点、分别在、上移动，若，则线段长度的最小值为 .    10．在正四棱锥中，，过作平面，交于，交于，交于，若，则 . 四、解答题 11．在空间直角坐标系中，画出下列各点：，，，，，，， 12．已知点，，，设，，． (1)若实数使与垂直，求值． (2)求在上的投影向量． 13．设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 14．已知空间中三点，设，. (1)已知向量与互相垂直，求的值; (2)求的面积. 15．如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习02空间向量基本定理及空间向量的坐标运算 一、空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 空间向量的正交分解 ①单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． ②正交分解：由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 二、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 三、空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 考点01 对空间向量基本定理的理解 【方法点拨】判断三个向量能否作为基底的基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底； 对应方法：假设，运用空间向量基本定理建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．特别地，如果向量中存在零向量，则不能作为基底． 【例1】（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【答案】ABC 【详解】对于A，三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面，A正确； 对于B，任取非零向量，非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则，，则，，因此共线，B正确； 对于C，假定共面，则存在实数，使得， 即，而不共面，于是，显然此方程组无解， 即假定是错的，因此不共面，是空间的一个基底，C正确； 对于D，由，得共面， 不能作为空间的一个基底，D错误. 故选：ABC 【例2】若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因构成空间的一个基底，故不共面， 对于A项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故A项错误； 对于B项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故B项错误； 对于C项，因，故共面，即C项正确； 对于D项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故D项错误. 故选：C. 【变式1-1】若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得. 故选：B 【变式1-2】若：是三个非零向量；：为空间的一个基底，则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底， 若是三个共面的非零向量，则不能作为空间的一个基底；不满足充分性， 若为空间的一个基底，则不共面，即是三个非零向量， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 【变式1-3】（多选）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 【答案】ACD 【详解】对A，由空间向量基本定理，可知只有当不共面时， 才能作为基底，才能得到，故A错误； 对B，若是空间的一个基底，则不共面， 设， 则，因为无解，所以也不共面， 所以也是空间的一个基底，故B正确； 对C，若，，则不一定平行，故C错误； 对D，若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误， 故选：ACD. 考点02 空间向量基本定理的应用 【方法点拨】用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘等运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部可以用基向量表示为止． 【例3】在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连，，    可得 . 故选：A. 【例4】如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，，，分别为，，的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求．    【答案】 【详解】令，，方向上的单位向量分别为，，，则是单位正交基底． 因为 ， 所以， 所以的长度为． 【变式2-1】已知是空间的一个基底，，，若，则 （    ） A． B． C．6 D．5 【答案】C 【详解】因为向量， 又因为，且， 可得，则，解得， 所以. 故选：C. 【变式2-2】如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 所以，. 故选：A 【变式2-3】已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 ． 【答案】2 【详解】因为，且 ， 所以，解得 故答案为：2． 考点03 空间直角坐标系及坐标表示 【方法点拨】用坐标表示空间向量的步骤：①观察图形特征，寻找两两垂直的三条直线；②根据图形特征建立空间直角坐标系；③用基底表示向量；④确定向量的坐标 【例5】在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点关于原点中心对称的点为， 则点关于轴对称的点为，. 故选：A 【例6】已知平行四边形中的三个顶点的坐标分别为、与，求顶点的坐标. 【答案】 【详解】设，因为、与， 则，， 因为是平行四边形，所以， 即， 所以，解得，所以. 【变式3-1】已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量在基底下的坐标为，则， 设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得， 故在基底下的坐标为． 故选：A． 【变式3-2】如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ． 【答案】 【详解】在长方体中，，为坐标原点，则， 因此，所以. 故答案为： 【变式3-3】已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 【答案】 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有. 所以向量用坐标形式表示为. 故答案为： 考点04 空间向量的坐标运算 【方法点拨】利用向量坐标运算解决问题的关键是熟练运用向量坐标运算的法则 【例7】已知点， ，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，又， 因为，所以， 所以，解得，即. 故选：A 【例8】已知，，，则 . 【答案】9 【详解】由，可得， ， 故答案为：9 【变式4-1】已知正方体的棱长为，对角线与相交于点，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、建立空间直角坐标系， 则、、、、、、 、、. 对于A：，，，故A正确； 对于B：，，故B错误； 对于C：，，故C错误； 对于D：，，，故D错误. 故选：A. 【变式4-2】已知空间向量，则 . 【答案】 【详解】因为，，所以. 故答案为： 【变式4-3】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，，则 ．    【答案】3 【详解】以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，．因为，， 所以． 故答案为：3.    考点05 空间向量的平行 【方法点拨】判断空间向量平行的步骤：①向量化：将空间中的平行转化为向量的平行；②向量关系代数化：写出向量的坐标；③对于根据 或(都不为0)是否成立,判断两向量是否平行． 【例9】（多选）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 【例10】已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 【变式5-1】（多选）下列各组向量中互相平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于，因为，所以不平行； 对于，因为，所以； 对于，因为，所以； 对于，因为零向量与任何向量都平行，所以. 故选：BCD 【变式5-2】已知向量，，且与平行，则 . 【答案】/ 【详解】，， 因为与平行，所以当时，，解得； 当时，，. 综上，. 故答案为： 【变式5-3】若，则与向量反方向的单位向量的坐标为 . 【答案】 【详解】， 则与向量反方向的单位向量的坐标为. 故答案为：. 考点06 空间向量的垂直 【方法点拨】判断空间向量垂直的步骤：①向量化：将空间中的垂直转化为向量的垂直；②向量关系代数化：写出向量的坐标；③对于根据是否等于0,判断两向量是否垂直 【例11】已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 由与互相垂直，得，即， 所以. 故选：D 【例12】已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    如图以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，, 则，，， 所以，， 因为，所以， 所以， 即， 当时，， 所以的取值范围是， 故选：C. 【变式6-1】已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得因为， 所以，解得，故A正确. 故选：A. 【变式6-2】已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴ ， 又，∴， 故选：C． 【变式6-3】已知空间向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，，所以不妨设， 又， 从而， 解得，所以. （2）由题意，所以，即， 又因为， 所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 解得， 所以当且仅当时，的最大值为. 考点07 空间向量的长度问题 【方法点拨】利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤：①建立适当的空间直角坐标系；②求出线段端点的坐标；③利用两点间的距离公式求出线段的长度． 【例13】已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 【答案】A 【详解】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 【例14】已知空间直角坐标系中ΔABC三个顶点坐标分别为:，AD是边BC上的高，则AD的长为 ． 【答案】/ 【详解】因为， 则，，因为点在边上， 设 且 由AD是边BC上的高可得，解得 所以 则 故答案为: 【变式7-1】已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以， 因为与垂直，所以，所以， 解得，所以，所以. 故选：B. 【变式7-2】（多选）空间向量，则下列选项中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】.因为， 所以，， ，， ， ， 若，此时，故，A可能正确； 若，此时，，B可能正确； ， 故C一定不正确； ，故D一定不正确. 故选：AB 【变式7-3】在空间直角坐标系中，若点，且，则的值为 . 【答案】 【详解】设点，因为，， 所以， 则，解得，即， 又，所以，所以. 故答案为：. 考点08 空间向量的夹角问题 【方法点拨】利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤：①根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；②利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；③利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 【例15】已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C 【例16】已知空间三点，求： (1)向量，的模； (2)向量，夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由于， 所以，故； ，故． （2）由（1）得：． 【变式8-1】若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线， 所以x的取值范围是. 故选：C 【变式8-2】（多选）已知空间单位向量，，两两互相垂直，设，，，则下列说法正确的有（    ） A．与的夹角为 B． C．，所成角的余弦值为 D．，，其中任意两个都可以作为基底来表示另外一个向量 【答案】CD 【详解】由题设，若分别代表空间直角坐标系中轴正方向， 在为基底的坐标系中， ，故与的夹角为，A错； ，显然，故不成立，B错； ，C对； 由，故，，共面，所以，，其中任意两个都可以作为基底来表示另外一个向量，D对. 故选：CD 【变式8-3】若两个单位向量与向量的夹角都等于，则 . 【答案】/ 【详解】因为两个单位向量与向量的夹角都等于， ，，， ，， 又，则， ，即， ， . 故答案为：. 考点09 空间向量的投影向量 【例17】已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知空间向量， 则在上的投影向量为 . 故选：B. 【例18】如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，则底面圆， 以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设圆台的高为，，则， 故， 则， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 【变式9-1】已知向量在向量上的投影向量是，且，则 . 【答案】/ 【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量为， 即， 所以. 故答案为： 【变式9-2】在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 . 【答案】 /0.5 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 在的投影向量为. 故答案为：；. 【变式9-3】已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为共面，则存在实数，使得，即， 于是， 所以在上的投影向量的模为. 故选：B 考点10 空间向量中的最值范围问题 【例19】如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设的中点为，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图. 由，可得， 则， 所以当时，取最小值. 故答案为：. 【例20】在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【详解】因为，，则， 且，其中点可以看作球心在原点，半径为的球上的点 所以表示球上的点到点距离， 最大值为球心到点的距离再加球的半径， 即. 故选：D 【变式10-1】《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马，面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平面，，连接，由，可得， 四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系， 则，，设，， 则， 所以 因为，则，则， 所以. 故选：D 【变式10-2】如图，在长方体中，已知，，，若对角线上存在一点，使得，则的最大值是 ．    【答案】 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：    ，，，. 在上，所以设，， 所以，所以. 所以，. 因为，所以， 即，令，则 令，则，所以， 所以二次函数开口向下，对称轴为：， 所以在处取得最大值为：. 所以的最大值是. 故答案为： 【变式10-3】已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则， 因为． 所以，解得． 所以； （2）因为点在直线为坐标原点）上运动， 所以． 所以， ． 所以 ． 当时，取得最小值． ． 一、单选题 1．空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得: 关于平面的对称点的竖坐标和纵坐标不变，横坐标相反， 即所求的坐标为. 故选：B 2．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．为单位向量 B．若，则 C．若，，共面，则它们所在的直线共面 D．已知，，则在上的投影向量为 【答案】D 【详解】对于选项A：，因此不是单位向量，因此A错误； 对于选项B：若为零向量，则与不一定共线，因此B错误； 对于选项C：例如在正方体中，因为，所以向量，，共面，但它们所在的三条直线，，显然不在同一平面内，因此C错误； 对于选项D：在上的投影向量为，因此D正确. 故选：D 3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， ，即 ，即C正确, 故选：C. 4．如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 5．在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架是边长为2的正方形，两等腰三角形框架的腰长均为，框架所在的平面，，活动弹子分别在上移动，之间用有弹性的细线连接，且始终成立，则当的长度取得最小值时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点分别为，连接，与交于点， 是边长为2的正方形，是等腰三角形， 则，连接，则， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 以为坐标原点，过作平行于的直线为轴， 在平面内过作垂直于平面的直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.    设，则，在等腰三角形中， ，易知梯形为等腰梯形，过作， 则，则， 则， 所以， 当时，取得最小值. 故选：C. 二、多选题 6．已知空间直角坐标系中，点，，，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】，不共线，设为平面内一点， 则， ，由于无解，所以不在平面内. ，由，解得，所以在平面内. ，由，解得，所以在平面内. ，由于，所以在平面内. 故选：BCD 7．如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则， ， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，， 故选：BD． 三、填空题 8．已知空间向量，若共面，则 ． 【答案】6 【详解】 若共面，则存在实数，使得， 即． 所以，解得．所以． 故答案为： 9．如图，正方形和的边长都是1，且平面，点、分别在、上移动，若，则线段长度的最小值为 .    【答案】/ 【详解】正方形和的边长都是1，且平面， 因为⊥，⊥，所以为平面与平面夹角的平面角， 故， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则 ， 故当时，取的最小值，最小值为.    故答案为： 10．在正四棱锥中，，过作平面，交于，交于，交于，若，则 . 【答案】/ 【详解】（方法一）连接，并与交于，以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为为正四棱锥，且，则， 则， 则，， 故 ， 设， 因为四点共面，所以，其中， 所以 ， 则，解得， 所以. （方法二）设，因为， 则，， 则. 因为，共面，所以，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题 11．在空间直角坐标系中，画出下列各点：，，，，，，， 【答案】答案见解析 【详解】点A为原点． 点B为x轴上坐标为2的点． 点C的竖坐标为0，因此点C就是平面内横坐标为2、纵坐标为3的点． 点D是y轴上坐标为3的点． 点是z轴上坐标为2的点． 点是平面内横坐标为2、竖坐标也为2的点． 要作出点，只需过x轴上坐标为2的点B作垂直于x轴的平面， 过y轴上坐标为3的点D作垂直于y轴的平面， 根据几何知识可以得出：这两个平面的交线就是经过点且与z轴平行的直线l． 再过z轴上坐标为2的点作垂直于z轴的平面， 那么直线l与平面的交点也是三个平面，，的交点，就是点． 点是平面内纵坐标为3、竖坐标为2的点． 在同一空间直角坐标系中，画出以上各点， 它们刚好是长方体的八个顶点．    12．已知点，，，设，，． (1)若实数使与垂直，求值． (2)求在上的投影向量． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，，， 由与垂直，得，解得， 所以. （2）由（1）知，，， 所以在上的投影向量为. 13．设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知， 所以， 则； （2）由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 14．已知空间中三点，设，. (1)已知向量与互相垂直，求的值; (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，， ， 因为向量与互相垂直， 所以，解得. 所以的值是. （2）因为， 所以，， 所以. ， 所以. 15．如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为为等腰直角三角形，，， 所以， 又，，所以， 而，，故， 因，平面，故平面， 又平面，所以； （2）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 设，而，所以， 所以，所以，又， 因为，故， 所以，解得， 所以．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$