专题2.1 正数与负数（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.1 正数与负数（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】认识正数、负数 （1）正数：像+5，+，，2.86这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数，正数大于0； （2）负数：像-5，-4，-0.68这样正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 【知识点二】正、负数的意义 （1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的，负数是根据实际需要而产生的。 （2）具有相反意义的量的表达：描述一对具有相反意义的量的词语一般是有一对反义词，习惯上，把“上升、增加、盈利、收入”等规定为正，“下降、减少、亏损、支出”等规定为负。 【知识点三】有理数的概念 整数和分数统称有理数. 知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和无限循环小数. 【知识点四】有理数的分类 知识拓展：（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了.无限不循环小数，其他小数都属于分数； (2）圆周率是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要学的无理数。 【知识点五】0的意义 （1） 既不是正数也不是负数，正负数以0为界；（2）为了表示没有而产生一个数0； （3）0还可以表示为一个事件的起点；（4）与0对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一个圈，表示的意义有无穷无尽的地方。 【知识点六】带“非”字的有理数 带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等，如“非负数”表示不是负数，就是正数或0，在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0和正整数，这是学生易错的地方。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】识别正负数 【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？不是负数的有几个？ ，，0，，，，，． 【变式1】（2024·四川成都·三模）下列各数中，是负数的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中：15， ，0.81，，，0，π，… 负数集合{ …}；正分数集合{ …}． 【题型2】正负数的实际应用 【例2】（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某食品厂在产品中抽出袋样品，检查其质量是否达标，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示： 与标准质量的差/克 袋数/袋 4 （1）这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？ （2）若每袋的标准质量为克，求这批样品的总质量是多少克？ 【变式1】（2023·河北廊坊·模拟预测）若气温为零上记作，则表示气温为( ) A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【变式2】（22-23七年级上·山东济南·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为 米； 【题型3】有理数的分类 【例3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）把下列各数填到相应的集合中：，，，，，0，． 分数集合：{             }； 负分数集合：{            }； 整数集合：{             }； 正整数集合：{             }； 正有理数集合：{             }． 【变式1】（22-23七年级上·辽宁营口·期中）在下列数，，，0，，，中整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）将下列各数填入各个集合中： ，，0，，0.62，，180，，， 整数集合：{ …} 负分数集合：{ …} 【题型4】理解0的意义 【例4】在表中符合条件的空格里画上“√”. 【变式1】（23-24七年级上·江苏南通·期中）下列有关“”的叙述中，错误的是( ) A．不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数 C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）以下各数：，0.6，-100，，0，，368中，正数有 ；负数有 ，既不是正数也不是负数的是 ． 【题型5】带“非”字的有理数 【例5】（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，0，，，11，，，，． 非负有理数：{     …}； 整数：{     …}； 自然数：{     …}； 非正整数：{     …}． 【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知下列各数：，，6，，，，0，其中非负有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列这些数5，，0，，，，，，，是非负整数的是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2019·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（  ） A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数 2、拓展延伸 【例1】（23-24六年级下·上海长宁·期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： （1）这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． （2）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ （3）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【例2】把下列各数分别填在相应的横线上： 1， -0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…． 正数有： ； 分数有： ； 负数有： ； 正整数有： ； 非正数有： ； 负整数有： ； 非负数有： ； 负分数有： ； 非负整数有： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 正数与负数（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】认识正数、负数 （1）正数：像+5，+，，2.86这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数，正数大于0； （2）负数：像-5，-4，-0.68这样正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 【知识点二】正、负数的意义 （1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的，负数是根据实际需要而产生的。 （2）具有相反意义的量的表达：描述一对具有相反意义的量的词语一般是有一对反义词，习惯上，把“上升、增加、盈利、收入”等规定为正，“下降、减少、亏损、支出”等规定为负。 【知识点三】有理数的概念 整数和分数统称有理数. 知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和无限循环小数. 【知识点四】有理数的分类 知识拓展：（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了.无限不循环小数，其他小数都属于分数； (2）圆周率是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要学的无理数。 【知识点五】0的意义 （1） 既不是正数也不是负数，正负数以0为界；（2）为了表示没有而产生一个数0； （3）0还可以表示为一个事件的起点；（4）与0对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一个圈，表示的意义有无穷无尽的地方。 【知识点六】带“非”字的有理数 带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等，如“非负数”表示不是负数，就是正数或0，在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0和正整数，这是学生易错的地方。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】识别正负数 【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？不是负数的有几个？ ，，0，，，，，． 【答案】正数：；负数：，，；不是负数：5个 【分析】正数是比0大的数,负数是比0小的数． 解：正数：； 负数：，，； 不是负数的有：，，共5个 【点拨】本题考查了正负数的概念．掌握相关定义即可． 【变式1】（2024·四川成都·三模）下列各数中，是负数的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类，根据小于0的数为负数，进行判断即可． 解：下列各数中，是负数的是； 故选D． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中：15， ，0.81，，，0，π，… 负数集合{ …}；正分数集合{ …}． 【答案】 ， ， 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数包括整数和分数进行作答即可． 解：15， ，0.81，，，0，π，… 负数有，；正分数集合，， 故答案为：，；，． 【题型2】正负数的实际应用 【例2】（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某食品厂在产品中抽出袋样品，检查其质量是否达标，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示： 与标准质量的差/克 袋数/袋 4 （1）这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？ （2）若每袋的标准质量为克，求这批样品的总质量是多少克？ 【答案】(1)这批样品的总质量比标准总质量少，少克；(2)这批样品的总质量是克． 【分析】本题考查了正负数的实际应用， （）把记录结果相加求和即可得；（）用标准质量减去克即是这批样品的总质量； 解题的关键是掌握正负数表示相反意义的量，正确计算． 解（1）； （克）， 答：这批样品的总质量比标准总质量少，少克； （2） ， （克）， 答：这批样品的总质量是克． 【变式1】（2023·河北廊坊·模拟预测）若气温为零上记作，则表示气温为( ) A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 解：若气温为零上记作，则表示气温为零下， 故选：． 【点拨】此题主要考查了正数与负数，解题的关键是掌握正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 【变式2】（22-23七年级上·山东济南·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为 米； 【答案】 【分析】根据向东走记为“+”，得到向西走则记为“－”． 解：∵向东走5米记为米， ∴向西走3米可记为米， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正数和负数，解答本题的关键是熟练掌握用正数和负数表示相反意义的量． 【题型3】有理数的分类 【例3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）把下列各数填到相应的集合中：，，，，，0，． 分数集合：{             }； 负分数集合：{            }； 整数集合：{             }； 正整数集合：{             }； 正有理数集合：{             }． 【答案】；；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类及定义进行分类即可． 解：分数集合：； 负分数的集合：； 整数集合：； 正整数集合：； 正有理数集合：， 故答案为：；；；；． 【变式1】（22-23七年级上·辽宁营口·期中）在下列数，，，0，，，中整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类、整数的识别，逐个识别是否为整数，得出整数的个数即可，掌握“整数包含正整数、0、负整数”是解题的关键． 解：，，，0，，，中整数有：，0，，共3个， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）将下列各数填入各个集合中： ，，0，，0.62，，180，，， 整数集合：{ …} 负分数集合：{ …} 【答案】 ，0，180； ，，，． 【分析】本题主要考查了有理数的定义，其中整数和分数统称有理数． 根据有理数的分类进行填空即可． 解：整数有：，0，180； 负分数有：，，，． 故答案为：，0，180；，，，． 【题型4】理解0的意义 【例4】在表中符合条件的空格里画上“√”. 【答案】 【分析】根据有理数的分类，分别对：-8，-2.25，，0进行分类判断即可. 解：-8属于有理数、整数；-2.25属于有理数、分数、负分数；属于有理数、分数；0属于有理数、整数、自然数. 【点拨】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键. 【变式1】（23-24七年级上·江苏南通·期中）下列有关“”的叙述中，错误的是( ) A．不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数 C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字“0”的意义，0既不是正数，也不是负数，0是整数，也是有理数，据此逐一判断即可． 解：A、0不是正数，也不是负数，原说法正确，不符合题意； B、0是有理数，是整数，原说法错误，符合题意； C、0是整数，也是有理数，原说法正确，不符合题意； D、0不是负数，是有理数，原说法正确，不符合题意； 故选B． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）以下各数：，0.6，-100，，0，，368中，正数有 ；负数有 ，既不是正数也不是负数的是 ． 【答案】 0.6，，368 ，-100， 0 【分析】根据正数、负数的概念，分别进行判断，即可得到答案． 解：根据题意，则 正数有：0.6，，368； 负数有：，，； 既不是正数也不是负数的是0； 故答案为：0.6，，368；，，；0； 【点拨】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握所学的定义进行判断． 【题型5】带“非”字的有理数 【例5】（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，0，，，11，，，，． 非负有理数：{    …}； 整数：{    …}； 自然数：{    …}； 非正整数：{    …}． 【答案】0，，11，，，；，0，11；0，11；，0 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟知有理数分类是解题关键．根据有理数的分类填空即可． 解：非负有理数：{0，，11，，，…}； 整数：{，0，11…}； 自然数：{0，11…}； 非正整数：{，0…}． 【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知下列各数：，，6，，，，0，其中非负有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的分类，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用非负有理数的定义得出答案即可． 解：，，，，，，中非负有理数有：，，，共4个． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列这些数5，，0，，，，，，，是非负整数的是 ． 【答案】5， 0， 【分析】本题考查了有理数的分类．根据非负整数包含0和正整数，作答即可． 解：由题意知，5， 0，，是非负整数， 故答案为：5， 0，． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 解：由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 【例2】（2019·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（  ） A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数 【答案】C 【分析】直接利用有理数、无理数、正负数的定义分析得出答案． 解：既不是正数也不是负数，是有理数． 故选C 【点拨】此题主要考查了实数，正确把握实数有关定义是解题关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24六年级下·上海长宁·期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： （1）这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． （2）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ （3）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【答案】(1)千克； (2)不足千克；(3)元 【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解，然后作答即可； （3）根据，计算求解即可． （1）解：千克， 答：第8筐白萝卜实际质量为千克． （2）解：千克， 答：10筐白萝卜总计不足千克． （3）元， 答：售出这筐白萝卜可得元． 【例2】把下列各数分别填在相应的横线上： 1， -0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…． 正数有： ； 分数有： ； 负数有： ； 正整数有： ； 非正数有： ； 负整数有： ； 非负数有： ； 负分数有： ； 非负整数有： ． 【答案】 1，，325，0.618，π，0.1010010001…； -0.20，，-23.13，0.618； -0.20，-789，-23.13，-2014； 1，325； -0.20，-789，0，-23.13，-2014； -789，-2014； 1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…； -0.20，-23.13； 1，325，0. 解按照本题中给出的分类，结合各类型数的定义依次分析各个数的特征，得 (1) 1是正数；1是正整数；1是非负数；1是非负整数. (2) -0.20是分数；-0.20是负数；-0.20是非正数；-0.20是负分数. (3) 是正数；是分数；是非负数. (4) 325是正数；325是正整数；325是非负数；325是非负整数. (5) -789是负数；-789是非正数；-789是负整数. (6) 0是非正数；0是非负数；0是非负整数. (7) -23.13是分数；-23.13是负数；-23.13是非正数；-23.13是负分数. (8) 0.618是正数；0.618是分数；0.618是非负数. (9) -2014是负数；-2014是非正数；-2014是负整数. (10) π是正数；π是非负数. (11) 0.1010010001…是正数；0.1010010001…是非负数. 故本题应进行如下填写： (正数) 1，，325，0.618，π，0.1010010001…； (分数) -0.20，，-23.13，0.618； (负数) -0.20，-789，-23.13，-2014； (正整数) 1，325； (非正数) -0.20，-789，0，-23.13，-2014； (负整数) -789，-2014； (非负数) 1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…； (负分数) -0.20，-23.13； (非负整数) 1，325，0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$