专题1.2 集合间的基本关系【练习：10题型】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版2019·必修第一册）

专题1.2 集合间的基本关系（练习） 内容概览 01：用恰当的符号表示集合间的关系 1 02：正确判断集合间的包含关系 2 03：利用集合间的包含关系求参数 2 04：集合相等的判断 3 05：根据集合的包含关系求参数 4 06：根据集合相等求参数 5 07：确定集合的子集和真子集 6 08：空集的判断及应用 6 09：根据集合间的关系进行计算 7 10：集合间关系的探索问题 8 题组训练 01：用恰当的符号表示集合间的关系 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 4．（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 02：正确判断集合间的包含关系 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 6．设集合，，则它们之间最准确的关系是（    ）． A． B． C． D． 7．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 8．设集合，，则集合与的关系是 ． 03：利用集合间的包含关系求参数 9．（23-24高三上·湖北·期中）已知集合，且，则（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 10．（23-24高一上·全国·单元测试）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（23-24高一上·全国·单元测试）若集合，则能使成立的a的值可能为（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 12．（2023高一·全国·专题练习）已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 04：集合相等的判断 13．设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 14．下列集合与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 15．下列各组中两个集合相等的是（    ） （1）； （2）； （3）； （4）； A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4） 16．（多选）（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 05：根据集合的包含关系求参数 17．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 19．已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 20．已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 06：根据集合相等求参数 21．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 22．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）若，则 . 23．含有三个元素的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 24．已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 07：确定集合的子集和真子集 25．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 26．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 27．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 28．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 08：空集的判断及应用 29．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 30．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 31．（多选）（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 32．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 09：根据集合间的关系进行计算 33．设，且满足且，则 . 34．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，且，则＝ ． 35．设集合，，若，则实数 . 36．已知集合，. （1）若集合，，求的值； （2）是否存在实数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 10：集合间关系的探索问题 37．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 38．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）集合． (1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M； (2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由． 39．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知为实数数组，定义集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数组． (1)判断是否为连续生成数组？是否为连续生成数组？说明理由； (2)若为连续生成数组，求的值，并说明理由； (3)数组是否为连续生成数组？说明理由． 40．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 集合间的基本关系（练习） 内容概览 01：用恰当的符号表示集合间的关系 1 02：正确判断集合间的包含关系 3 03：利用集合间的包含关系求参数 4 04：集合相等的判断 6 05：根据集合的包含关系求参数 9 06：根据集合相等求参数 11 07：确定集合的子集和真子集 13 08：空集的判断及应用 15 09：根据集合间的关系进行计算 17 10：集合间关系的探索问题 19 题组训练 01：用恰当的符号表示集合间的关系 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解. 【详解】, 所以，，，故ABD错误,C正确, 故选：C 3．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A，“”表示集合与集合间关系，而“0”是元素，故A错； 对于BC，“”表示元素与集合间关系， 而0是集合中的元素，为集合，故B正确，C错误； 对于D，集合中，所以D错. 故选：B. 4．（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【答案】AC 【分析】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 02：正确判断集合间的包含关系 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程求集合N，结合韦恩图及集合间的关系判定选项即可. 【详解】易知，显然，且互不包含. 故选：A 6．设集合，，则它们之间最准确的关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法可判断集合、的包含关系. 【详解】由集合得，，则， 由集合得，，则， 所以，， 故选：C． 7．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得，由选项即可判断. 【详解】解：由图可知：， ， 由选项可知：， 故选：D. 8．设集合，，则集合与的关系是 ． 【答案】 【分析】先由题意得到，由，而，即可得出结果. 【详解】因为， ， 显然，而， 所以中元素都属于，而中元素， 所以. 【点睛】本题主要考查集合包含关系的判定，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型. 03：利用集合间的包含关系求参数 9．（23-24高三上·湖北·期中）已知集合，且，则（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】根据集合包含的知识以及元素的互异性可求解. 【详解】由题意：，得：或两种情况， 若，则，此时，不满足互异性； 若，则解得或，显然，符合题意， 而当时，，不满足互异性. 综上所述：. 故选：D. 10．（23-24高一上·全国·单元测试）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，用数轴表示集合的关系，从而求解． 【详解】由题意如图：    有，所以. 故选：A 11．（多选）（23-24高一上·全国·单元测试）若集合，则能使成立的a的值可能为（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】讨论A是否为空集，解相应的不等式，综合可得答案. 【详解】当，即时，； 当，即时，，      要使，须有，解得，即， 综上可知，，结合选项可知a的值可取2，4，7， 故选：ABC 12．（2023高一·全国·专题练习）已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先求出集合，依题意可得，则和为方程的两根； （2）分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为， 若是的子集，则， 所以，解得. （2）若是的子集，则. ①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得. 将代入方程，得，解得，所以，符合要求； ③若为双元素集合，，则. 综上所述，或. 04：集合相等的判断 13．设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案 【详解】对于①：集合，则， 解得，即，是一一对于，所以与集合相同. 对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同. 对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同. 对于④：，但方程无解，则，与不相同． 故选：D 14．下列集合与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可； 【详解】解：集合，表示含有两个元素、的集合， 对于A：，表示含有一个点的集合，故不相等； 对于B：，表示的是点集，故不相等； 对于C：，表示方程的解集，因为的解为，或，所以 对于D：，故不相等 故选：C 15．下列各组中两个集合相等的是（    ） （1）； （2）； （3）； （4）； A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4） 【答案】B 【分析】对各组先化简集合P,Q，再确定是否相等. 【详解】（1）表示偶数集，表示偶数集，所以; （2）；,所以; （3）表示奇数集，也表示奇数集，所以; （4）；，所以; 故选：B 【点睛】本题考查集合相等，考查基本分析判断能力，属基础题. 16．（多选）（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通过此定义逐一判定各选项即可. 【详解】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合； 对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合； 对于选项C，,所以是相等集合； 对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合. 故选：BC. 05：根据集合的包含关系求参数 17．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，根据集合是否为空集分类可得. 【详解】 因为，所以， 若，此时，得， 若，由得，得， 故的取值范围是， 故选：D 18．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【答案】 【分析】根据，分类讨论求解即可. 【详解】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 19．已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用集合相等的条件求的值； （2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 20．已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 06：根据集合相等求参数 21．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由可得①或②，解出，再由集合的互异性检验即可得出答案. 【详解】因为， 所以①或②， 由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意， 由②得，符合题意，两种情况代入，答案相同. 故选：B. 22．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，∵集合中有元素， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴，解得：或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，， 满足， ∴，则. 故答案为：. 23．含有三个元素的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 【答案】 【分析】先根据集合中元素的无序性与互异性求参数a，b，再代入计算即得结果. 【详解】由题意， 显然，故，即， 此时， 故或，即 又 （1）当时，两个集合分别为，不满足集合中元素的互异性， （2）当时，两个集合分别为，，成立 故 所以. 故答案为： 24．已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值； （2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可. 【详解】（1）易知集合，由得： 或，解得：. （2）（1）当时满足； （2）当时 ①当即时，满足，. ②当即时，，不满足. ③当即时，满足，只能， 无解. 综上所述：或. 07：确定集合的子集和真子集 25．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解. 【详解】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 26．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数. 【详解】，故其子集的个数为8， 故选：D. 27．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据子集概念得，根据真子集概念得不全部是的元素，所以集合个数等于集合的真子集个数. 【详解】由得且不全部是的元素， 令，则，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个， 故选：B. 28．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以满足的集合中必有元素2，3， 所以求满足的集合的个数，即求集合的真子集个数， 所以满足的集合的个数为个. 故答案为：7. 08：空集的判断及应用 29．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【分析】根据集合、空集性质及元素与集合关系判断各项正误即可. 【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对； 由空集的性质知，、、，③④错，⑤对； 由元素与集合关系知，，⑥对. 故选：D 30．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 31．（多选）（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 【答案】ABC 【分析】解一元二次方程求得集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念即可逐一判断． 【详解】依题意可得， 对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，当时，则，解得或，故C正确； 对于D，当时，，故D错误． 故选：ABC． 32．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空集的定义即可得解； （2）利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 09：根据集合间的关系进行计算 33．设，且满足且，则 . 【答案】3 【分析】根据集合相等得到，即可得到答案. 【详解】因为且 ， 所以， 所以 ，即. 故答案为：3 34．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，且，则＝ ． 【答案】或1 【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案. 【详解】因为，所以①或②， 解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 所以或. 故答案为：或1 35．设集合，，若，则实数 . 【答案】-1 【分析】由集合相等，两个集合中的元素完全一样，分析可得． 【详解】∵， ∴，， 此时，满足题意， ∴． 故答案为：-1． 36．已知集合，. （1）若集合，，求的值； （2）是否存在实数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在实数，见解析 【分析】（1）根据，两个集合元素相同列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值. （2）根据是的子集，分别令和，解方程，然后根据集合元素的性质，判断出符合题意的不存在. 【详解】（1）由题可知所以所以. （2）假设存在实数使得， 则或. 若，则，此时没有意义，舍去. 若，则，化简得，解得或（舍）， 当时，不符合集合中元素的互异性，舍去. 故不存在实数，使得. 【点睛】本小题主要考查两个集合相等的概念，考查元素、子集的概念和运用，考查含有根式的方程的解法，属于基础题. 10：集合间关系的探索问题 37．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 38．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）集合． (1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M； (2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为 【分析】（1）根据真子集的性质进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式，结合子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）若，， 因为， 所以； （2）方程的判别式为， 当时，即时，，此时显然P是Q的一个子集， 当时，即时，，此时显然P不是Q的一个子集， 当时，即时，要想P是Q的一个子集，中必有二个元素是集合P中元素，根据一元二次方程根与系数关系，这两个根之和为，显然中没有两个数的和为，所以此时P不可能是Q的一个子集， 综上所述：P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为. 39．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知为实数数组，定义集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数组． (1)判断是否为连续生成数组？是否为连续生成数组？说明理由； (2)若为连续生成数组，求的值，并说明理由； (3)数组是否为连续生成数组？说明理由． 【答案】(1)是连续生成数组，不是连续生成数组，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)数组不是连续生成数组，理由见解析 【分析】（1）根据连续生成数组的定义，结合子集的概念求解； （2）根据题意，得出中元素的可能取值，结合子集的概念求解； （3）根据题意，从而，集合中元素求和可得，进而可得出答案. 【详解】（1），， ∵，∴是连续生成数组， ∵不是的子集，∴不是连续生成数组. （2），中元素可能取值为， 若为连续生成数组，即， 则. （3）若为连续生成数组，则， 又中最多有10个元素， 则，从而， ∴， 即， ∵，∴为偶数， 而55为奇数，不能成立， ∴数组不是连续生成数组. 40．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【答案】(1)不是，是，理由见解析 (2)证明过程见解析. (3)334， 【分析】（1）根据题目信息进行计算，得到不是，是； （2）利用反证法进行证明； （3）结合（2），得到尽可能小，取，得到答案. 【详解】（1）不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； （2）假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$