3.9 弧长及扇形的面积 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

3.9 弧长及扇形的面积 ■考点一 弧长公式 [考点解读] -1- 1. 设圆的半径为R，则 n°的圆心角所对的弧长的计算公式为 l= . 2. 变形：n= ，R= ，即 n，R，l 知二求一. 3. 注意：R 表示半径，n 为圆弧所对圆心角的度数，“n”和“180”没有单位，题目中若没有明确精确度，则用含 π 的代数式表示弧长. 3.9 弧长及扇形的面积 -2- 典题精析 例 1 （宁波中考）如图， 在△ABC 中 ，∠ACB= 90 ° ，∠A=30°，AB=4，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边 AB 于点 D，则 的长为 （ ） 3.9 弧长及扇形的面积 解析：∵∠ACB=90° ，AB=4，∠A=30° ，∴∠B= 90°-30°=60°， BC= AB=2，∴ 的长为 = . 答案：C 易错：B 错因：错用弧长公式为 . 满分备考：求弧长，先确定圆心和圆弧所在圆的半径，再代入公式求，若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长. -3- 3.9 弧长及扇形的面积 ■考点二 扇形及其面积 -4- 1. 扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形，如图中阴影部分为扇形 AOB. 2. 扇形的面积公式： （1）已知扇形的半径 R 和圆心角 n°，则扇形面积的计算公式为 S 扇形 = ； （2）已知扇形的弧长 l 和半径 R，则 S 扇形= lR. 推导过程：S 扇形= 3.9 弧长及扇形的面积 -5- 典题精析 例 2 （1）已知扇形的弧长为 20，半径为 5，则扇形的面积为 ______； （2）扇形的弧长为 6π，圆心角为 60°，则扇形的面积为 ______． 解析：（1）已知弧长和半径，根据“扇形的面积= ×弧长×半径”求解：S 扇形= lR= ×20×5=50； （2）先由弧长公式求出半径，再用扇形面积公 式计算.设扇形的半径为 R， ∵6π= ，∴R=18， ∴S 扇形 = =54π 或用 S 扇形 = lR= × 6π×18=54π． 3.9 弧长及扇形的面积 -6- 答案：（1）50 （2）54π 易错：（1）45π（2）20π 错因：（1）公式选错；（2）面积与弧长公式混淆. 满分备考：扇形面积公式有两种，计算扇形面积，要针对具体的题型，根据已知条件选择合适的方法，另外扇形面积公式与弧长公式不要混淆. 3.9 弧长及扇形的面积 -7- [易错分析] ■混淆弧长公式中 n 的含义 例 如图，探究：用 6 个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 2），设经过图中 M，P，H 三点的圆弧与 AH 交于点 R，则 的弧长为 （ ） 3.9 弧长及扇形的面积 解析：如图，连接 AM，MH，MR． 由勾股定理得AM=MH= ，AH= ， ∴AM2+MH2=AH2，∴∠AMH=90°， ∴△AMH 是等腰直角三角形， ∵∠MPH=90°，∴MH 是圆的直径，∴∠MRH=90°， ∴MR⊥AH， ∴∠RMH=∠RMA=45°，∴ 所对的圆心角为 90°， ∴ 的长为 . 答案：D 易错：A 错因：误认为弧长公式中的 n 代表圆周角的度数. 易错警示：解决这类题的关键是先求出弧所在圆的半径和所对的圆心角度数，注意弧长公式中的 n 指的是圆心角的度数，而不是圆周角的度数. -8- 3.9 弧长及扇形的面积 -9- [题型探究] ■题型一 应用弧长公式解决运动路线问题 例 1 （成都武侯区模拟）如图，在 4 ×4 的正方形网格中，每个小正方 形的边长都为 1，△AOB 的三个顶点都在格点上，现将 △AOB 绕点 O 逆时针 旋转 90°后得到对应的△COD，则点 A 经过的路径 的长为 （ ） A． π B． π C． 2π D． 3π 3.9 弧长及扇形的面积 解析：∵ 将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到对应的△COD， ∴∠AOC=90°， ∵OC=3， ∴ 点 A 经过的路径 的长= . 答案：A 题型解法：一动点绕固定点旋转一定的角度，运动的路线是一段弧，固定点为圆心，两点之间的连线为半径，弧所对圆心角为旋转角. -10- 3.9 弧长及扇形的面积 -11- ■题型二 计算不规则图形的面积 例 2 如图，在△ABC 中，AC=BC=4，∠ACB= 90°，若点 D 是 AB 的中点， 分别以点 A，B 为圆心， AB 长为半径画弧，交 AC 于点 E，交 BC 于点 F，则图中阴 影部分的面积是 （ ） A． 16-2π B． 16-π C． 8-2π D． 8-π 3.9 弧长及扇形的面积 解析：∵∠C=90°，AC=BC=4，点 D 是线段 AB 的 中点， ∴AB= ，AD=BD= AB = ，∠A=∠B=45° ， ∴ 阴影部分面积为： AC·BC- 2 × ＝8-2π． 答案：C 题型解法：求不规则图形的面积时可以把不规则图形转化为与其面积相等的规则图形求解，或是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积和（或差）的形式进行求解. -12- 3.9 弧长及扇形的面积 -1- ■考点 1 弧长的计算 1. 已知一个扇形的半径为 12，圆心角为 150°，则此扇形的弧长是 （ ） A． 5π B． 6π C． 8π D． 10π 2. 圆心角为 120°，弧长为 12π 的扇形半径为 （ ） A． 6 B． 9 C． 18 D． 36 3. 弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是 （ ） ▍考点集训/夯实基础 3.9 弧长及扇形的面积 -2- 4. 如图，⊙O 的半径为 2， ，∠A=56°，则 的长为_______. （第 4 题图） 3.9 弧长及扇形的面积 -3- 5. 如图，⊙O 的半径为 6 cm，直线 AB 是⊙O 的切线，切点为点 B，弦 BC∥AO，若∠A=30°，求 的长． （第 5 题图） 3.9 弧长及扇形的面积 -4- ■考点 2 扇形面积的计算 6. 一个扇形的半径为 2，扇形的圆心角为 48°，则它的面积为 （ ） 7. 一个扇形的弧长为 20π，面积为 240π，则扇形的圆心角为 （ ） A. 120 ° B. 150° C. 210° D. 240° 8. 如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为 1 cm，则中间阴影部分的面积为 _______ cm2. （第 8 题图） 3.9 弧长及扇形的面积 -5- 9. 如图，半圆的直径 AB=40，C，D 是半圆的三等分点，求弦 AC，AD 与 围成的阴影部分的面积． （第 9 题图） -33- 第三章 圆 3.9 弧长及扇形的面积 1. D 提示：此扇形的弧长是： =10π． 2. C 提示：设该扇形的半径是 r．根据题意得：12π= ，解得 r=18. 3. B 提示：设半径为 R，弧所对的圆心角是 n°，则弧长也是 R，根据弧长公 式得：R= ，解得：n= ，即圆心角的度数为 ． 4. 提示：如图，连接 OA、OC．∵ = ，∴AB=AC，∵ ∠BAC =56°，∴ ∠B=∠ACB=62°，∴∠AOC=2∠B=124°，∴ 的长为： . -34- 第三章 圆 5. 解：∵ 直线 AB 是⊙O 的切线，∴OB⊥AB，又 ∵∠A=30°，∴∠BOA=90°-30°=60°， ∵ 弦 BC∥AO，∴∠CBO=∠BOA=60°， 又 ∵OB=OC，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠BOC=60°，∴ 的长= =2π（cm）． 6. A 提示：扇形面积为 . 7. B 提示：240π= ×20πr，解得 r=24，∵ =20π，∴n=150，故圆心角为150°. -35- 第三章 圆 8.（4-π） 提示：如图，∵ 半径为 1 cm 的四个圆两两相切， ∴ 四边形是边长为 2 cm 的正方形， 阴影部分的面积=2×2-4× =（4-π）（cm2）. 9. 解：在题图上，连接 OC、OD、CD． ∵ 点 C，D 为半圆的三等分点， ∴∠AOC=∠COD=∠BOD=180°÷3=60°， 又 ∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=60°， ∴∠AOC=∠OCD，∴AB∥CD，∵△COD 和 △CDA 同底等高， ∴S△COD=S△CDA，∴S 阴影=S 扇形 COD= ． $$