3.1 圆 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

圆 定义 描述性定义 如图,在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的图形叫做圆.其固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径 集合性定义 平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点就是圆心,定长就是半径.如图,圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合 3.1 圆 考点一 圆的定义及表示方法 [考点解读] -1- 第一课时 圆的定义和相关概念 1. 圆的定义及表示方法 图示 表示方法 以点 O 为圆心的圆,记作⊙O,读作“圆 O” 圆的特性 (1)圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于定长(半径 r); (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上(用来判断几个点在同一个圆上) 注意事项 (1)由圆的定义可知,“圆”指的是“圆周”(一条封闭的曲线),而不是“圆面”; (2)半径指的是线段,为了方便,通常我们把半径的长也称为半径 3.1 圆 -2- 续表 圆的构成要素 作用 圆心 圆心确定一个圆的位置 半径 半径确定一个圆的大小 一个圆是由圆心和半径共同确定的,二者缺一不可,在平面内画一个圆,必须要明确这两个要素 3.1 圆 -3- 2. 确定圆的方法 3.1 圆 -4- 典题精析 例 1 如图,点 A,D,G,M 在半圆上,点 O 是其圆心,四边形 ABOC,DEOF,HMNO 均为矩形,设 BC=a,EF=b,HN=c,则 a,b,c 三者间的大小关系为 _. 3.1 圆 -5- 解析:如解析图,连接 OM,OD,OA.∵点 A,D,M 在半圆上,由圆的半径相等可得 OM=OD=OA.∵四边形 ABOC,DEOF,HMNO 均为矩形,根据矩形对角线相等,可得 OM=HN,OD=EF,OA=BC,∴BC=EF=HN,即 a=b=c. 答案:a=b=c 易错:b>c>a 错因:没有找出解题思路,凭直观感觉得出错解. 满分备考:在有关圆的问题中,连半径是最常见的作辅助线的方法,有助于寻找正确的解题思路. 名称 定义 弦 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦.如图,AB, AC 是弦 直径 经过圆心的弦叫做直径.如图,AB 是直径 弧 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.如图,以点 A,B 为端点的弧记作 ,读作“圆弧AB”或“弧 AB” 半圆 圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.如图, 即为半圆 优弧 大于半圆的弧(用三个点表示,如图中的 ) 叫做优弧 劣弧 小于半圆的弧(如图中的 )叫做劣弧 3.1 圆 考点二 圆的相关概念 -6- 1. 与圆有关的概念 图示 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆; 容易看出:半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等 等弧 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧 3.1 圆 -7- 续表 3.1 圆 -8- 注意:(1)直径是圆中最长的弦,但弦不一定是直径; (2)优弧、劣弧、半圆都是弧,但弧不一定是半圆;半圆既不是优弧,也不是劣弧; (3)等圆只和半径的大小有关,和圆心的位置无关; (4)只有在同圆或等圆中才存在等弧,在大小不同的两个圆中不存在等弧,判断等弧时要注意,等弧是能够互相重合的弧(其前提是在同圆或等圆 中比较),而不是长度相等的弧. 3.1 圆 -9- 典题精析 例 2 下列说法中,不正确的是 ( ) A.直径是弦,弦是直径 B.半圆是弧 C.圆上的点到圆心的距离都相等 D.同圆或等圆中,优弧一定比劣弧长 解析:直径是圆内最长的弦,但弦不一定是直径,故 A 选项错误;半圆是弧,故 B 选项正确;圆上的点到圆心的距离都等于半径,故 C 选项正确;优 弧是大于半圆的弧,而劣弧是小于半圆的弧,所以同圆或等圆中,优弧一定比劣弧长,故 D 选项正确. 答案:A 易错:B 错因:对弧的概念理解不清. 满分备考:圆的相关概念比较多,对它们的掌握要精准,首先要知道各个概念的从属关系,其次要重点理解易错的地方,比如等弧的概念. 3.1 圆 -10- [易错分析] 混淆圆的相关概念 例 下列命题中是真命题的有 ( ) ①两个端点能够重合的弧是等弧; ②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分; ③长度相等的弧是等弧; ④半径相等的圆是等圆; ⑤直径是最长的弦; ⑥过圆内一点有无数条弦,这些弦都相等. A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 6 个 3.1 圆 -11- 解析:①能够完全重合的两条弧是等弧,故①错误;②直径将圆分成两条相等的弧,故②错误;③长度相等的两条弧不一定能完全重合,故③错误;④只要半径相等的两圆一定是等圆,故④正确;⑤直径是圆内最长的弦,故⑤正确;⑥过圆内一点有无数条弦,这些弦不一定相等,故⑥错误.故真命题有④⑤两个. 答案:A 易错:B 错因:误认为②也正确. 易错警示:圆的相关概念较多,且具有相似性,因此要记住它们的概念,弄清它们之间的区别与联系,否则在进行相关判断时就容易出错. 3.1 圆 -12- [题型探究] 题型一 圆的相关概念的辨析 例 1 下列说法错误的是 ( ) A.长度等于半径的 2 倍的线段是直径 B.直径是圆中最长的弦 C.面积相等的两个圆是等圆 D.半径相等的两个半圆是等弧 解析:A.直径是经过圆心的弦,故错误;B.直径是圆中最长的弦,正确;C.面积相等的两个圆是等圆,正确;D.半径相等的两个半圆是等弧,正确. 答案:A 题型解法:等弧是互相重合的弧,而不是长度相等的弧,等弧和等圆的前提条件是在等圆或同圆中. 3.1 圆 题型二 利用圆的半径相等进行计算 -13- 例 2 (广州白云一模)如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为 16 cm2,则该半圆的半径为 _ cm. 3.1 圆 -14- 解析:由图可知,圆心为A,设大正方形的边长为 2x,圆的半径为 R. ∵ 正方形有两个顶点在半圆上,另外两个顶点在圆心两侧,∴AE=BC=x,CE=2x. ∵小正方形的面积为 16 cm2,∴小正方形的边长 EF=DF=4.由勾股定理,得 R2=AE2+CE2=AF2+DF2,即x2+4x2=(x+4)2+42,x2-2x-8=0,解得 x1=4,x2=-2(舍去), ∴R= cm. 答案: 题型解法:涉及圆的半径的有关计算常应用勾股定理解决. 位置关系 文字语言 符号语言 代表图形 点 P 在 ⊙O 外 圆外各点到圆心的距离都大于半径;到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点P在⊙O 外 d>r 点 P 在 ⊙O 上 圆上各点到圆心的距离都等于半径;到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点P在⊙O 上 d=r 3.1 圆 考点 点与圆的位置关系 [考点解读] -15- 第二课时 点与圆的位置关系 设⊙O 的半径为 r,点 P 到圆心的距离 OP=d,则点 P 与⊙O 的位置关系有以下三种: 点 P 在 ⊙O 内 圆内各点到圆心的距离都小于半径;到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在⊙O 内 d<r 3.1 圆 -16- 续表 注意:利用 d 与r 的数量关系可以判断点与圆的位置关系;同样,知道了点与圆的位置关系,也可以确定 d 与 r 的数量关系.(此处的“ ”符号读作“等价于”,它表示从符号“ ”的左端可以推出右端,从右端也可以推出左端) 3.1 圆 -17- 典题精析 例 1 矩形 ABCD 中,AB=8,BC= ,点 P 在边 AB 上,且 BP=3AP,如果⊙P 是以点 P 为圆心,PD 为半径的圆,那么下列判断: ①点 B,C 均在⊙P 外; ②点 B 在⊙P 外,点 C 在⊙P 内; ③点 B 在⊙P 内,点 C 在⊙P 外; ④点 B,C 均在⊙P 内.正确的有 _.(填序号) 3.1 圆 -18- 解析:如图,连接 DP,CP.在矩形ABCD中,∵AB= 8,BP=3AP, ∴ AP=2,BP=6. 在 Rt APD 中,r=PD= =7.在 Rt BCP 中, PC= =9.∵BP =6 <r,PC=9>r,∴ 点 B 在⊙P 内,点 C 在⊙P 外,故③正确. 答案:③ 易错:① 错因:没有掌握“由 d 和 r 关系推出点与圆的位置关系”导致没有计算的方向或者计算错误. 满分备考:确定点与圆的位置关系时,应先找出圆心,计算已知点到圆心的距离,再与半径比较. 3.1 圆 -19- 例 2 已知在 Rt ABC 中,∠C=90 ,AC=3,BC= ,CD⊥AB,垂足为点 D,以点 D 为圆心作 ⊙D,使得点 A 在⊙D 外,且点 B 在⊙D 内.设⊙D 的半径为 r,那么 r 的取值范围是 _. 解析:如图,在 Rt ABC 中,∠ACB=90 ,AC= 3,BC= , ∴AB= =4. ∵CD⊥AB, ∴CD= . 在 Rt ADC 中,AD= , ∴BD=4- = .若点 A 在圆外,点 B 在圆内,则 r 的取值范围是 <r< . 3.1 圆 -20- 答案: <r< 易错:r< 或 r> 错因:考虑不全面,只考虑其中在圆内或圆外的一个方面,而忽略了另一个方面. 满分备考:圆的位置由圆心确定,圆的大小由半径确定,点与圆的三种位置关系和 d,r 的关系可以互相转化.此类题常常需要求线段的长,这时就要用到直角三角形的有关概念定理. 3.1 圆 -21- [易错分析] 忽视了点与圆的位置 例 如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=3,以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆,若要求另外三个顶点 A,B,C 中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则 r 的取值范围是 ( ) A. 3<r<4 B. 3<r<5 C. 3≤r≤5 D. r>4 3.1 圆 -22- 解析:如解析图,连接 BD. 在 Rt ABD 中,AB=4,AD=3,则 BD= =5,∴ 当三个顶点 A,B,C 中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外时,点 B 一定在圆外,点 C 和点 A 至少有一个在圆内,即点 A 必须在圆内,∴3<r<5. 答案:B 易错:A 错因:误认为点 C 只能在圆外. 易错警示:涉及到多个点与圆的位置 关系的问题时,一定要分析每个点与圆的 位置关系,通过位置关系判断出点到圆心的距离 d 和圆的半径 r 的关系. 3.1 圆 -23- [题型探究] 题型一 点与圆的位置关系的判定 例 1 在平面直角坐标系中,有三点 A(-1,-1),P(0,-1),Q(-2,0),若以点 A 为圆心、OA 长为半径作圆,试判断点 P,Q 与⊙A 的位置关系. 解析:首先根据两点间的距离公式计算出 OA= ,AP=1,AQ= ,然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点 P,Q 与⊙A 的位置关系. 答案:解:∵A(-1,-1),P(0,-1),Q(-2,0), ∴OA= ,AP =1,AQ= = , 即 AP<OA,AQ=OA,∴ 点 P 在⊙A 内,点 Q 在⊙A 上. 题型解法:判断点与圆的位置关系的关键是找到该点到圆心的距离 d 和圆的半径 r,再根据“d=r 时,点在圆上;d<r 时,点在圆内;d>r 时,点在圆外”进行判断.求线段长时,通常利用两点间距离公式及勾股定理,注意新旧知识的结合. 3.1 圆 题型二 利用点与圆的位置关系求圆的半径(或取值范围) -24- 例 2 在平面直角坐标系内,点 O 是坐标原点,点 A 的坐标是(3,2),点 B 的坐标是(3,-4).如果以点 O 为圆心,r 为半径作圆 O,点 A,B 中有一点在圆 O 内,另一点在圆 O 外,那么 r 的值可以取( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析:∵ 点 A 的坐标是(3,2),点 B 的坐标是 (3,-4), ∴OA= ,OB= =5. ∵ 点 A,B 中有一点在圆 O 内,另一点在圆 O 外, ∴ <r<5,∴r=4 符合要求. 答案:B 题型解法:涉及点与圆的位置关系的问题时,如果题目中没有明确指出点与圆的位置关系,应考虑点在圆内、圆上和圆外三种可能的情况,利用数形结合的思想来解决可起到事半功倍的效果. 3.1 圆 题型三 点与圆的位置关系和一元二次方程的综合 -25- 例 3 已知⊙O 的直径是方程 x2-6x-16=0 的根,且点 P 到圆心 O 的距离为 8,则点 P 在 ( ) A. 圆上 B. 圆外 C. 圆内 D. 不能确定 解析:由 x2-6x-16=0,得(x+2)(x-8)=0,解得 x=8 或 x=-2(舍去).∵⊙O 的直径是方程 x2-6x-16=0 的根,∴⊙O 的直径为 8.∵ 点 P 到圆心 O 的距离为 8,∴d=8.∵⊙O 的半径 r=4,∴d>r,∴ 点 P 在⊙O 外. 答案:B 题型解法:求出方程的根后要结合实际情况选取合适的根,再求解. 3.1 圆 题型四 点与圆的位置关系的实际应用 -26- 例 4 如图, 在 A 地往北 90 m 的 B 处有一栋民房,往东 120 m 的 C 处有一变电设施,在 BC 的中点 D 处有一古建筑.因施工需要必须在 A 处进行一次爆破,为使民房、变电设施、古建筑都不遭受破坏,爆破影响的半径应控制在什么距离之内? 3.1 圆 -27- 解析:先根据勾股定理求出斜边的长,然后由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到 AD 的长,再确定半径的范围. 答案:解:由题意,可知 ABC 为直角三角形,∠BAC=90 .∵AB=90 m,AC=120 m, ∴BC= =150 m.∵D 是 BC 的中点,∴AD=75 m.∴ AD<AB<AC,∴为使民房、变电设施、古建筑都不遭受破坏,半径应比 AD 小,即半径应控制在 75 m 内. 题型解法:通过阅读题中文字信息,抽象出解决问题的数学模型,从而达到解决实际问题的目的.本例中是找到点 B,D,C 到点 A 的最小距离,考虑到实际情况,三点应都在圆外,故半径应比最小距离小. $$