3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册

文字描述 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的弧 图示及 数学语言 如图，直径 CD⊥弦AB，垂足为点M，则AM=BM， 应用 垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考方法和理论依据 *3.3 垂径定理 ■考点一 垂径定理及其推论 [考点解读] -1- 1. 垂径定理 特别提醒 （1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其本质是“过圆心”； （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的 ），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ） *3.3 垂径定理 续表 -2- 文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 图示及 数学语言 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB 交于点 M，且 AM=BM，则 CD⊥AB， 特别提醒 推 论 中 的 前 提———“平分 弦”中的弦一定不能是直径，否则命题不一定成立.如图，当弦 AB 为直径时，CD 平分 AB 于点 O，但 CD 与 AB 并不垂直，即结论不成立 *3.3 垂径定理 2. 垂径定理的推论 -3- *3.3 垂径定理 3. 垂径定理的拓展 （1）对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个： -4- ①过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦（非直径）； ④平分弦所对的劣弧； ⑤平分弦所对的优弧. 知二推三 （2）在运用垂径定理解题时，常作的辅助线是过圆心向弦作垂线，连半径，构造直角三角形，结合勾股定理解题.如图，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，连接 OB，构造 Rt△OBC. *3.3 垂径定理 -5- 典题精析 例 1 如图，⊙O 的半径 OA=6，以 A 为圆心，OA 为半径的弧交 ⊙O 于 B，C 点，连接 AB，OB，BC，则 BC 的长为 （ ） 解析：∵AB=OA=OB=6， ∴△OAB 是等边三角形，OA⊥BC，OD= AO= 3.根据垂径定理可得，OA 平分 BC，利用勾股定理可得 BD= ，∴BC=2BD= ． 答案：A 易错：C 错因：误认为求 BC 的一半的长度. 满分备考：根据垂径定理求解的题目通常是寻找合适的直角三角形，从而运用勾股定理求解. *3.3 垂径定理 例 2 如图，AB 为半圆的直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，D 是弦 AC 的中点，连接 OD 并延长交⊙O 于点 E，若 AC=8 cm，DE=2 cm，则 OD 的长为 （ ） A． 3 cm B． 4 cm C． 5 cm D． 6 cm 解析：D 是弦 AC 的中点，又 ∵OE 是半径，则根 据垂径定理的推论可得 AC⊥OE，且 AD=DC= AC= 4（cm）.设 OD=x cm，则 OA=OE=（x+2） cm. 在 Rt△AOD 中，OA2=OD2+AD2， 即（x+2）2=x2+16，解得 x=3，即 OD=3 cm． 答案：A 易错：D 错因：没有考虑到 AC⊥OE 而出错. 满分备考：运用垂径定理或推论构造直角三角形后，不能直接求得的，可以设未知数列方程求解. -6- *3.3 垂径定理 ■考点二 垂径定理的实际应用 -7- 1. 运用垂径定理解决实际问题，首先要把实际问题转化为数学问题，其基本思路是构造关于圆的模型，运用垂径定理构造直角三角形解题. 2. 注意：圆内一条弦对着两条弧，及圆内两平行弦与圆心的位置有两种情况，所以计算时不要丢解，要分类讨论，如图 1，图 2 所示. *3.3 垂径定理 -8- 典题精析 例 3 一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量：如图，把一个直径为 10 mm 的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为 8 mm，则这个孔道的直径 AB 为 ______ mm． *3.3 垂径定理 解析：如解析图，连接 OA， 过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，则 AB=2AD. ∵ 钢球的直径是 10 mm， ∴ 钢球的半径是 5 mm， ∵ 钢球顶端离零件表面的距离为 8 mm， ∴OD=3 mm.在 Rt△AOD 中，AD= =4（mm）， ∴AB=2AD=2×4=8（mm）． 答案：8 易错：4 错因：错求成 AD 的长度. 满分备考：把实际问题转化为圆中的计算问题，常把弦长的一半、半径、圆心到弦的距离转化到同一直角三角形中，然后通过勾股定理求解. -9- *3.3 垂径定理 -10- [易错分析] ■计算两平行弦之间的距离时漏解 例 已知⊙O 的直径 CD=10 cm，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB=8 cm，则 AC 的长为 （ ） A． cm B． cm C． cm 或 cm D． cm 或 cm *3.3 垂径定理 解析：当 C 点位置如图 1 所示时，连接 AC，AO.∵⊙O 的直径CD=10 cm， AB⊥CD，AB=8 cm，∴AM= AB= ×8=4（cm），OD=OC= 5cm，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM= = =3（cm），∴CM =OC +OM = 5+3 =8（cm），∴AC = （cm）；当 C 点位置如图 2 所示时，连接 AD，OA，AC，同理可得 OM=3 cm.∵OC=5 cm，∴MC=5-3=2（cm）. 在 Rt△AMC 中，AC= （cm）． -11- *3.3 垂径定理 答案：C 易错：A 或 B 错因：遗漏其中一种情况. 易错警示：此类没有给定图形的题目需要进行分类讨论. -12- *3.3 垂径定理 -13- [题型探究] ■题型一 与垂径定理有关的计算 例 1 如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦 AE⊥CF 交⊙O 于点 C，CF 过圆 心 O，CD⊥AB 于 点 D，BD=1，AE=4，则 AD 的长为 _______. *3.3 垂径定理 解析：∵ 弦 AE⊥CF 交⊙O 于点 C， ∴AF= AE=2，∠AFO=90°. ∵CD⊥AB， ∴∠ODC=∠AFO=90°. ∵OA=OC，∠AOF=∠COD， ∴△AOF≌△COD， ∴CD=AF=2. 设⊙O 的半径为 r， 则 OD=r-1.由勾股定理， 得 OC2=OD2+CD2，即 r2=（r-1）2+22，解得 r= ， ∴AD=AB-1=2× -1=4. 答案：4 题型解法：解有关圆的问题时，要时刻注意半径相等，垂直于弦的直径平分弦，从而得到相等线段进而解决问题. -14- *3.3 垂径定理 -15- ■题型二 运用垂径定理解决生活中的问题 例 2 如图，某种鱼缸的主视图可视为弓形，该鱼缸装满水时的最大深度 CD 为18 cm，半径 OC为 13 cm，则鱼缸口的直径 AB=_______ cm． 解析：如解析图，连接 OB.∵CD=18 cm，OC= 13 cm，∴OD = 18-13=5（cm），OB =OC = 13 cm.在 Rt△BDO 中，BD= =12（cm）， ∴AB=2BD=24 cm. 答案：24 题型解法：见垂直、连半径是解决此类问题的常见辅助线作法. *3.3 垂径定理 -16- [方法总结] ■构造直角三角形求半径或弦长 通常可以借助作辅助线构造出直角三角形，再应用勾股定理求解问题.作辅助线时主要有两种，一种是作垂直，一种是连半径. *3.3 垂径定理 -17- 例 （枣庄中考）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则 CD 的长为 （ ） A． B． C． D． 8 解析：如解析图，作 OH⊥CD 于点 H，连接 OC. ∵OH⊥CD，∴HC=HD. ∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA-AP=2. 在 Rt△OPH 中，∵∠OPH=∠APC=30°，∴OH= OP=1. 在 Rt△OHC 中，∵OC=OA=4，OH=1，∴CH= ， ∴CD=2CH= ． 答案：C *3.3 垂径定理 -1- ■考点 1 垂径定理 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论不一定成立的是 （ ） A. CM=DM B. C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB （第 1 题图） （第 2 题图） 2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，则 ON= （ ） A． 5 B． 7 C． 9 D． 11 ▍考点集训/夯实基础 *3.3 垂径定理 -2- 3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长． （第 3 题图） *3.3 垂径定理 -3- ■考点 2 垂径定理的推论 4. 一条直线经过圆心，且平分弦所对的劣弧，那么这条直线 （ ） A. 只平分弦 B. 只平分弦所对的优弧 C. 只垂直于弦 D. 垂直于弦且平分弦所对的优弧 5. 如图，点 A、B、C 在⊙O 上，弦 AC 与半径 OB 互相平分，那么∠AOC 度数为 ______°． （第 5 题图） *3.3 垂径定理 -4- 6. 如图，AB 是⊙O 的弦，C 是 AB 的中点，连接 OC 并延长交⊙O 于点 D．若 CD=1，AB=4，求⊙O 的半径． （第 6 题图） *3.3 垂径定理 -5- ■考点 3 垂径定理的实际应用 7. 一条排水管的横截面如图所示．已知排水管的截面圆的半径 OB=10，截面圆的圆心 O 到水面的距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是 （ ） A． 16 B． 10 C． 8 D． 6 （第 7 题图） （第 8 题图） 8.（教材 P76，练习 T1 高仿）圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8 m，∠CAD=30°，求大棚 CD 高度. -7- 第三章 圆 * 3.3 垂径定理 1. D 2. A 提示：∵ 点 O 为圆心，ON⊥AB， 垂足为 N，AB=24， ∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON= =5． 3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm， 设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°. -8- 第三章 圆 6. 解：如图，连接 OA， ∵C 是 AB 的中点， ∴AC= AB=2，OC⊥AB， ∴OA2=OC2+AC2，即 OA2=（OA-1）2+22，解得 OA= ． 7. A 提示：∵ 截面圆的圆心 O 到水面的距离 OC 是 6，∴ OC⊥AB， ∴ AB=2BC， 在 Rt△BOC 中，OB=10，OC=6， ∴BC= =8，∴AB=2BC=2×8=16． 8. 解：∵OC⊥AB，∴AD= AB=4 m．在 Rt△ACD 中，∠CAD=30°，∴CD=AD·tan30°= m，∴ 大棚高度 CD 为 m． $$