3.4 圆周角和圆心角的关系 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

定义 顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角叫做圆周角 特征 圆周角必须同时具备两点:①顶点在圆上;②角的两边与圆相交 3.4 圆周角和圆心角的关系 考点一 圆周角 [考点解读] -1- 1. 圆周角的定义及特征 圆周角 圆心角 区别 顶点在圆上 顶点在圆心 在同圆中,一条弧所对的圆周角有无数个 在同圆中,一条弧所对的圆心角只有唯一一个 联系 两边都与圆相交 图示 如图, 所对的圆心角是∠AOB, 所对的圆周角是∠ACB,∠ADB 3.4 圆周角和圆心角的关系 2. 圆周角与圆心角的区别与联系 -2- 3.4 圆周角和圆心角的关系 -3- 典题精析 例 1 下图中的角是圆周角的是 _.(填序号) 解析:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角,是圆周角的只有③.①②顶点都不在圆上,④⑤顶点虽在圆上,但角两边没有都与圆相交. 答案:③ 易错:② 错因:与圆心角定义混淆. 满分备考:判断圆周角,先看顶点是否在圆上(在圆周上),再看两边是否都与圆相交,共同满足这两点的角才是圆周角. 3.4 圆周角和圆心角的关系 考点二 圆周角定理 -4- 文字描述 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 数学语言 如图, 所对的圆心角是∠AOB, 所对的圆周角是∠ACB,则∠ACB= ∠AOB 拓展 同弧所对的圆周角大于圆外角而小于圆内角,如图,∠AEB<∠ACB <∠ADB 3.4 圆周角和圆心角的关系 -5- 典题精析 例 2 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点(A,B 除外), ∠AOD=130 ,则∠C 的度数是( ) A. 65 B. 60 C. 25 D. 30 3.4 圆周角和圆心角的关系 解析:∵ ∠AOD =130 ,∴∠BOD =180 -130 = 50 . ∵ 在⊙O 中,圆心角∠BOD 和圆周角∠C 对着同一个弧, ∴∠C= ∠BOD=25 . 答案:C 易错:A 错因:误认为∠C= ∠AOD. 满分备考:应用圆周角定理的前提是找出同弧所对的圆周角与所对应的圆心角. -6- 推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角相等; (2)直径所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径 图例 (1)∠MDN=∠MEN; (2)半圆 所对的圆周角∠AC1B,∠AC2B,∠AC3B 均是直角;反之,直角∠AC1B,∠AC2B,∠AC3B 所对的弦 AB 是直径 特别提醒 (1)前提条件“同弧或等弧”不可忽略; (2)把前提条件“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 结论就不一定成立了,因为一条弦所对的圆周角有两类,一类是弦所对优弧所对的圆周角,一类是弦所对劣弧所对的圆周角;(3)拓展:在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等,所对的弦也相等 3.4 圆周角和圆心角的关系 考点三 圆周角定理的推论 -7- 3.4 圆周角和圆心角的关系 -8- 典题精析 例 3 如图, ABC 的三个顶点都在⊙O 上,∠C=45 ,AB=2,则⊙O 的半径为 _. 3.4 圆周角和圆心角的关系 解析:题中有 45 角,可运用“直径所对的圆周角是直角”作辅线构造直角三角形,如图,连接 AO,并 延长交⊙O 于点 D,连接 BD. ∵∠C=45 , ∴∠D=∠C=45 (同弧所对的圆周角相等). ∵AD 为⊙O 的直径, ∴∠ABD=90 (直径所对的圆周角为直角). ∴∠DAB=∠D=45 , ∵AB=2,∴BD=AB=2, ∴AD= , ∴⊙O 的半径 AO= . -9- 3.4 圆周角和圆心角的关系 答案: 易错:2 错因:没有作出正确的辅助线导致思路出错. 满分备考:如果题目中有直径,常常通过添加辅助线,构造直径所对的圆周角(即直角),把问题转化为直角三角形问题,反之,若题中有能与直角相联系的量,则可构造直角三角形,把圆的半径或直径转化为直角三角形的斜边问题. -10- 3.4 圆周角和圆心角的关系 考点四 圆内接四边形 -11- 定义 四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆 推论 圆内接四边形的对角互补 拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角 注意 并不是所有的四边形都存在外接圆,只有对角互补的四边形才存在外接圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 -12- 典题精析 例 4 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,点 D 是 的中点,点 E 是 上的一点,若 ∠CED=40 ,则∠ADC=_ 度. 解析:如解析图,连接 AE. ∵ 点 D 是AC 的中点,∴∠AED=∠CED. ∵∠CED=40 ,∴∠AEC=2∠CED=80 . ∵ 四边形 ADCE 是圆内接四边形, ∴∠ADC+∠AEC=180 , ∴∠ADC=180 -∠AEC=100 . 3.4 圆周角和圆心角的关系 答案:100 易错:80 错因:误认为圆内接四边形的对角相等. 满分备考:四边形的四个顶点都在圆上才是圆内接四边形,才能“对角互补”,注意是“互补”,而不是“相等”或“互余”. -13- 3.4 圆周角和圆心角的关系 -14- [易错分析] 因图形不确定导致漏解 例 在⊙O 中,∠AOB=84 ,则弦 AB 所对的圆周角的度数为 ( ) A. 42 B. 138 C. 69 D. 42 或 138 3.4 圆周角和圆心角的关系 解析:如图,∵在⊙O中,∠AOB= 84 ,弦 AB 所对的弧有两条,分别 是 和 , 所对的圆心为∠AOB=84 , 所对的圆心角的度数为 360 -84 =276 , ∴∠AD1B= ∠AOB= 84 =42 ,∠AD2B= 276 =138 . 答案:D 易错:A 或 B 错因:只考虑其中一种情况. 易错警示:因为在一个圆中一条弦所对应的弧有两条,应该有两个圆周角,所以此类题应分两种情况讨论. -15- 3.4 圆周角和圆心角的关系 -16- [题型探究] 题型一 圆周角定理与垂径定理结合 例 1 如图,⊙O 中,半径 OC⊥弦 AB 于点 D,点 E 在⊙O 上,∠E=22.5 ,AB=4,则半径 OB 等于 ( ) A. B. 2 C. D. 3 3.4 圆周角和圆心角的关系 解析:∵ 半径 OC⊥弦 AB 于点 D,AB=4,∴ ,AD=BD=2, ∴∠E= ∠BOC=22.5 ,∴∠BOC=45 , ∴ ODB 是等腰直角三角形,∴DB=OD=2, ∴ 半径 OB= . 答案:C 题型解法:求一个圆周角的度数,可以通过求与之相等的圆周角的度数或同弧所对圆心角的度数来解决问题. -17- 3.4 圆周角和圆心角的关系 -18- 题型二 构造圆内接四边形求角度 例 2 如图,点 A,B,C,D,E 在⊙O 上,且AE 所对圆心角的度数为 50 ,则∠EBC+∠ADC 的度数为 _. 3.4 圆周角和圆心角的关系 解析:如解析图,连接 AB,DE,则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50 ,∴∠ABE= ∠ADE =25 . ∵ 点 A,B,C,D 在 ⊙O 上 ,∴四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠ABC+∠ADC=180 , ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180 , ∴∠EBC+∠ADC=180 -∠ABE=180 -25 =155 . 答案:155 题型解法:本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质,作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键. -19- 3.4 圆周角和圆心角的关系 -20- [方法总结] 折叠中的圆周角问题 折叠是一种对称变换,利用对称的性质是解决此类问题的关键. 3.4 圆周角和圆心角的关系 -21- 例 如图,CD 是⊙O 的弦,O 是圆心,把⊙O 的劣弧沿着 CD 对折,A 是对折后劣弧上的一点,∠CAD=100 ,则∠B 的度数是 ( ) A. 50 B. 60 C. 80 D. 100 解析:如解析图,翻折 ACD,点 A 落在 A′处,则∠A′=∠A=100 . ∵ 四边形 A′CBD 是⊙O 的内接四边形,∴∠A′+∠B=180 , ∴∠B=180 -100 =80 . 答案:C 3.4 圆周角和圆心角的关系 -1- 考点 1 圆周角的定义 1. 如图,在图中标出的 4 个角中,圆周角有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 (第 1 题图) (第 2 题图) 2. 如图,⊙O 中的圆周角分别是_. 考点集训/夯实基础 第一课时 圆周角和圆心角的关系(一) 3.4 圆周角和圆心角的关系 -2- 考点 2 圆周角定理 3.(教材 P80,练习 T1 高仿)如图,BD 是⊙O 的直径,点 A、C 在⊙O 上, ,∠AOB=60 ,则∠BDC 的度数是 _. (第 3 题图) (第 4 题图) (第 5 题图) 4. 如图,∠AOB=70 ,AB=AC,则∠ABC=_. 5. 如图,AB 是⊙O 的直径,C、D 为圆上两点,∠AOC= 130 ,则∠BDC=_. 3.4 圆周角和圆心角的关系 -3- 6. 如图,已知,BC 为⊙O 的直径,过点 C 的弦 CD 平行于半径 OA,若∠B=20 ,则∠C=_. (第 6 题图) 3.4 圆周角和圆心角的关系 -4- 考点 3 同弧(等弧)所对的圆周角 7. 如图,A、B、C、D 是⊙O 上的四点,AB=DC,则图中相等的圆周角是 _. (第 7 题图) 3.4 圆周角和圆心角的关系 -5- 8. 如图,边长为 1 的小正方形网格中,⊙O 的圆心在格点上,则 sin∠EDB 的值是 ( ) (第 8 题图) (第 9 题图) 9. 如图,AB、CD 是⊙O 的两条弦,连接 AD、BC.若 ∠BAD=60 ,则∠BCD 的度数为 _. 3.4 圆周角和圆心角的关系 -6- 10. 如图,在⊙O 中,弦 AC 与 BD 交于点 E,AB=8,AE=6,ED=4,则 CD 的长为 _. (第 10 题图) 3.4 圆周角和圆心角的关系 -7- 考点 1 直径所对的圆周角 1. 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,∠A=35 ,则∠B 的度数是 ( ) A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 (第 1 题图) (第 2 题图) 2.(教材 P84,T2 改编)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,∠D= 40 ,则∠CAB 的度数为 ( ) A. 20 B. 40 C. 50 D. 70 考点集训/夯实基础 第二课时 圆周角和圆心角的关系(二) 3.4 圆周角和圆心角的关系 -8- 3. 如图,已知 ABC 的三个顶点都在同一圆上,且 AC=6,BC=8,AB=10,则该圆的半径长是 _. (第 3 题图) (第 4 题图) 4. 如图,AB=BC,∠ABC =120 ,AD 为 ⊙O 的直径 ,AD=6,那么 AB 的值为 _. 3.4 圆周角和圆心角的关系 -9- 5. 如图,AB=AC,AB 是直径,求证:BC=2DE. (第 5 题图) 3.4 圆周角和圆心角的关系 -10- 考点 2 圆内接四边形的对角互补 6. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,若∠C=36 ,则∠A 的度数为 ( ) A. 36 B. 150 C. 108 D. 144 (第 6 题图) (第 7 题图) 7.(教材 P83,习题 T1 变式)如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙O,已知∠ADC=130 ,则∠AOC 的大小是 ( ) A. 50 B. 100 C. 60 D. 40 3.4 圆周角和圆心角的关系 -11- 8. 如图所示,四边形 ABCD 内接于⊙O,若∠BOD= 130 ,则∠DCE=_. (第 8 题图) (第 9 题图) 9. 如图,在⊙O 的内接四边形 ABCD 中,若∠BCD=110 ,则∠BOD=_. 3.4 圆周角和圆心角的关系 -12- 10. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC 平分∠BAD,延长 DC交 AB 的延长线于点 E. (1)若∠ADC=86 ,求∠CBE 的度数; (2)若 AC=EC,求证:AD=BE. (第 10 题图) -9- 第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 第一课时 圆周角和圆心角的关系(一) 1. B 提示:图中圆周角有∠1 和∠3 两个. 2. ∠ADC、∠ABO、∠DAB 3. 30 提示:在题图上,连接 OC,∵ , ∴∠BOC=∠AOB=60 , ∴∠BDC= ∠BOC= 60 =30 . 4. 35 提示:∵∠AOB=70 ,∴∠C= ∠AOB= 35 ,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=35 . 5. 25 提示:∵∠AOB=180 ,∠AOC=130 ,∴∠BOC=180 -130 =50 , ∴∠BDC= ∠BOC= 50 =25 . -10- 第三章 圆 6. 40 提示:∵ 圆心角∠AOC 与圆周角∠B 所对的弧相同,∴∠AOC=2∠B=40 ,∵OA∥CD,∴∠C=∠AOC=40 . 7. ∠A=∠D,∠BCA=∠CBD,∠ABD=∠DCA,∠ABC=∠BCD 提示:先由 AB=DC,得到 ,则 ,再根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可得到图中所有相等的圆周角. 8. B 提示:在题图上,连接 AB,则∠EDB=∠EAB,由格线可知∠EAB=45 , ∴sin∠EDB=sin∠EAB= . 9. 60 提示:∵∠BAD、∠BCD 都是 所对圆周角,∴∠BCD=∠BAD=60 . 10. 提示:∵∠B=∠C,∠A=∠D,∴ ABE∽ DCE,∴ ,即 . -11- 第三章 圆 第二课时 圆周角和圆心角的关系(二) 1. C 2. C 提示:∵∠D=40 ,∴∠B=∠D=40 .∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90 ,∴∠CAB=90 -40 =50 . 3. 5 提示:在 ABC 中, ∵AC=6,BC=8,AB=10,∴AC2+BC2=AB2, ∴ ABC 是直角三角形,∠C=90 ,∴AB 是该圆的直径,∵AB=10, ∴ 该圆的半径长是 5. 4. 3 提示:∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA,∵∠ABC=120 , ∴∠BAC=∠BCA= (180 -120 )=30 ,∵AD 为直径, ∴∠ABD= 90 ,∵∠ADB=∠ACB=30 ,AD=6,∴AB= AD=3. -12- 第三章 圆 5. 证明:如图,连接 AD, ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90 ,∴AD⊥ BC,∵AB=AC,∴∠BAD=∠DAC,BC=2BD,由圆周角定理可知:BD=DE,∴BC=2DE. 6. D 提示:∠A=180 -∠C=180 -36 =144 . 7. B 提示:∵ 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180 ,∴∠ABC= 180 -130 =50 ,∴∠AOC=2∠ABC=2 50 =100 . -13- 第三章 圆 8. 65 提示:∵∠BOD=130 ,∴∠A= ∠BOD= 65 ,∵∠A+∠BCD=180 ,∠DCE+∠BCD= 180 ,∴∠DCE=∠A=65 . 9. 140 提示:∵∠BCD=110 ,∴∠A=180 - 110 =70 ,∴∠BOD=2∠A=140 . 10. 解:(1)∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠ADC+∠ABC=180 , 又 ∵∠ADC=86 ,∴∠ABC=180 -86 =94 , ∴∠CBE=180 -∠ABC=180 -94 =86 ; (2)证明:∵AC=EC,∴∠E=∠CAE, ∵AC 平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAB, ∴∠DAC=∠E,由(1)知∠ADC=∠CBE, 在 ADC 和 EBC 中, ∴ ADC≌ EBC(AAS),∴AD=BE. ∠ADC=∠EBC, ∠DAC=∠BEC, AC=EC, $$