3.5 确定圆的条件 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

过一点作圆 经过平面内一点 A，可以作无数个圆，圆心为点 A 以外的平面上的任意一点 过两点作圆 经过平面内两点，可以作无数个圆，圆心在两点所连线段的垂直平分线上 过三点作圆 经过不在同一条直线上的三点只能作一个圆，其圆心是三点所连的其中两条线段的垂直平分线的交点，即不在同一条直线上的三个点确定一个圆 3.5 确定圆的条件 ■考点一 确定圆的条件 [考点解读] -1- 1. 过已知点作圆 3.5 确定圆的条件 续表 -2- 注意 ①“不在同一条直线上”这个条件不可忽略； ②“确定”一词可理解为“有且只有” 拓展 过不在同一条直线上的任意四点不一定能作出圆，要想经过四点作圆，应先作出经过不在同一直线上的三点的圆，如果第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上；否则，第四个点不在圆上 3.5 确定圆的条件 -3- 典题精析 例 1 如图是一个残破的圆钢轮，为了再铸造一个同样大小的圆轮，我们该如何补全残破的圆钢轮？ 解析：先从圆钢轮的圆弧部分找出两条弦，确定圆钢轮所在圆的圆心，然后确定半径，画圆即可. 答案：解：如答案图，①在圆钢轮对应保留的弧上任取三点 A，B，C，连接 AB，BC； ② 分 别 作 AB，BC 的垂直平分线 DE，FG，且 DE，FG 相交于点 O； ③以点 O 为圆心，以 OA 为半径作⊙O，则⊙O 就是圆钢轮对应的圆. 3.5 确定圆的条件 易错：如易错图，点 O 即为圆钢轮所在圆的圆心. 错因：寻找圆心的方法没有掌握. 满分备考：确定一个圆的圆心的方法：作出此圆的任意两条不平行的弦的垂直平分线，其交点即是该圆圆心，因为弦的垂直平分线必经过圆心，且两条不平行的弦的垂直平分线只有一个交点. -4- 图示 名称 △ABC 的外接圆为⊙O，△ABC 的外心为点 O 外心确定方法 三角形三条边的垂直平分线交点（具体操作时只选取两边，分别作垂直平分线，找出交点即是外心） 3.5 确定圆的条件 ■考点二 三角形的外接圆和外心 -5- 1. 三角形的外接圆及其外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三 角形的外心. 2. 三角形外心的确定 3.5 确定圆的条件 续表 -6- 注意：（1）任意三角形都有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形；（2）根据三角形外心的位置，可以确定三角形的形状. 3. 三角形外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，且都等于外接圆的半径. 三角形外 心的位置 锐角三角形的外心在三角形的内部； 直角三角形的外心是斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部 3.5 确定圆的条件 -7- 典题精析 例 2 如图，在△ABC 中，∠A＝70°，O 为△ABC 的外心，则∠BOC 的度数为 （ ） A. 110° B. 125° C. 135° D. 140° 解析：∵在 △ABC 中 ，∠A＝70°，O 为△ABC 的外心， ∴∠BOC＝2∠A＝140°. 答案：D 易错：A 错因：对三角形的外心概念不清楚，没有思路. 满分备考：涉及三角形的外心和角度问题时，要把三角形放在外接圆中考虑，运用圆周角定理等圆的相关知识解答. 3.5 确定圆的条件 -8- [题型探究] ■题型一 确定三角形的外心 例 1 （石家庄裕华二模）如图，每个小三角形都是等边三角形，则△ABC 的外心是 （ ） A． 点 D B． 点 E C． 点 F D． 点 G 3.5 确定圆的条件 解析：∵ 每个小三角形都是等边三角形， ∴AM= AN，MB=BN，∴AB⊥MN，∴△ABC 为直角三角形， ∵点 G 是 AN 的中点，GE∥BC，∴ 点 E 是 Rt△ABC 斜边的中点， ∵ 直角三角形的外心是斜边的中点，∴Rt△ABC 的外心为点 E. 答案：B 题型解法：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部. -9- 3.5 确定圆的条件 -10- ■题型二 三角形外接圆的实际应用 例 2 如图，小明家的房前有一块直角三角形空地，空地上有三棵树 A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上. （1）请你帮小明把花坛的位置画出来；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若△ABC 中，AB=8 m，BC=6 m，∠ABC= 90°，试求小明家圆形花坛的面积. 3.5 确定圆的条件 解析：（1）作线段 AB 的垂直平分线 MN，线段BC 的垂直平分线 EF，MN 交 EF 于点 O，以 O 为圆心，OA 为半径，作⊙O，⊙O 即为所求；（2）利用勾股定理求出 AC，利用圆的面积公式计算即可. 答案：解：（1）如答案图，⊙O 即为所求； （2）在 Rt△ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=8 m，BC=6 m， ∴AC= =10（m），（ ×10）2π=25π（m2）， ∴ 小明家圆形花坛的面积为 25π m2. 题型解法：三角形外接圆的圆心是任意两边垂直平分线的交点. -11- 3.5 确定圆的条件 -1- ■考点 1 确定圆的条件 1. 根据下列条件，可以画出一个确定的圆的是（ ） A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知不在同一条直线上的三点 D. 已知三点 2. 下列条件中不一定能确定一个圆的是 （ ） A. 圆心和半径 B. 三角形的三个顶点 C. 直径 D. 平面上的三个已知点 ▍考点集训/夯实基础 3.5 确定圆的条件 -2- 3. A、B、C 为平面上的三点，AB=2，BC=3，AC=5，则（ ） A. 可以画一个圆，使点 A、B、C 都在圆周上 B. 可以画一个圆，使点 A、B 在圆周上，点 C 在圆内 C. 可以画一个圆，使点 A、C 在圆周上，点 B 在圆外 D. 可以画一个圆，使点 A、C 在圆周上，点 B 在圆内 4. 以已知线段 ｒ 为半径作圆，圆心不同，可画________ 个圆，它们都是 _________ 圆. 5. 根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点 A（3，0）、B（0，-4）、C（2，-3）_________ 确定一个圆．（选填“能”或“不能”） 6. 已知线段 AB=6 cm，则过 A、B 两点的最小的圆的半径为 _________，过 A、B 两点________ 最大圆（选填“有”或“没有”）. 3.5 确定圆的条件 -3- ■考点 2 三角形的外接圆和外心 7.（教材 P86，练习改编）若一个三角形的外心在三角形内部，则该三角形的形状是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8. 直角三角形的两条直角边分别是 12 cm、5 cm，这个三角形外接圆的半径是 （ ） A. 5 cm B. 12 cm C. 13 cm D. 6.5 cm 3.5 确定圆的条件 -4- 9. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，-2），则△ABC 外接圆的圆心坐标是 （ ） A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） （第 9 题图） （第 10 题图） 10. 如图，在 4×4 的网格图中，A、B、C 是三个格点，其中每个小正方形的边长为 1，△ABC 的外心可能是 （ ） A． M 点 B． N 点 C． P 点 D． Q 点 3.5 确定圆的条件 -5- 11.（教材 P87，T1 高仿）某市区为实现手机无线网络全覆盖，特选取市郊边缘的三个点 A、B、C 作为网络覆盖边缘的参考点来建设无线网络信号发射站点，要求该发射站点到 A、B、C 三点的距离相等.请你在图中用尺规作图的方法确定无线网络信号发射站点的位置，并画出无线网络覆盖的范围. （第 11 题图） -14- 第三章 圆 3.5 确定圆的条件 1. C 提示：不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2. D 提示：D 项没有强调三点不在同一条直线上，故错误. 3. D 提示：∵A、B、C 是平面上的三点，AB= 2，BC=3，AC=5，∴AB+BC=AC，可知点 A、B、C 在同一条直线上，∴ 可以画一个圆，使点 A、C 在圆周上，点 B 在圆内． 4. 无数 等 5. 能 提示：设过点 A、B 的直线的解析式为 y=kx+b，用待定系数法求得直线 AB 的解析式为 y= x-4， 把 x=2 代入得 y= ×2- 4=- ≠-3，则点 C（2，-3）不在直线 AB 上，即点 A、B、C 不在同一条直线上，所以 能确定一个圆. 6. 3 cm 没有 7. A 8. D -15- 第三章 圆 9. D 提示：作弦 AB，AC 的垂直平分线，交点即为圆心，坐标是（3，1）. 10. D 提示：由图可知，△ABC 是锐角三角形，∴△ABC 的外心只能在其内部，由此排除 A 选项和 B 选项，由勾股定理得，BP=CP= ≠PA，∴ 排除 C 选项. 11. 解：①分别以 A、B 为圆心，以大于 AB 为半径画弧，两弧相交于 D、E 两点，连接 DE； ②分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 为半径画弧，两弧相交于 G、F 两点，连接 GF； ③直线 DE 与 GF 相交于点 O，以 O 为圆心， 以 OA 的长为半径画圆，则点 O 即为发射站点 的位置，圆 O 的圆面即为无线网络覆盖的范围． $$