2.5 二次函数与一元二次方程 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册

2.5 二次函数与一元二次方程 ■考点一 实际问题中二次函数与一元二次方程的关系 [考点解读] -1- 实际问题 与二次函数 根据实际问题列出正确的二次函数表达式，注意自变量的取值范围 二次函数与 一元二次方程 在实际问题中，通常是求当因变量为 0 或其他常数时，自变量的值，这时就会涉及解一元二次方程的问题.注意对所求出的自变量进行取舍 2.5 二次函数与一元二次方程 -2- 典题精析 例 1 如图，从某建筑物 10 m 高的窗口 A 处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m，离地面 m，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是 （ ） A. -1 m B. 3 m C. 4 m D. 5 m 2.5 二次函数与一元二次方程 -3- 解析：由题意可以知道 M ，A（0，10），用待定系数法就可以求出抛物线的表达式， 当 y=0 时就可以求出 x 的值，这样就可以求出 OB 的值． 设抛物线的表达式为 y=a（x-1）2+ 403 .由题意，得 10= a+ ，a=- ， ∴ 抛物线的表达式为 y=- （x-1）2+ ． 当 y=0 时，0=- （x-1）2+ ，解得 x1=-1（舍去），x2=3， ∴OB=3 m． 答案：B 易错：A 错因：不符合距离的定义，同时不符合实际意义.距离应为正数. 满分备考：解答这类运用抛物线的表达式解决实际问题的题目，关键是设对抛物线的表达式，并运用一元二次方程的解法，得出答案. 2.5 二次函数与一元二次方程 -4- ■考点二 二次函数与 x 轴的交点 1. 函数 y=ax2+bx+c（a≠0），当 y=0 时，得到一元二次方程 ax2+bx+c =0（a≠0）.因此，一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，所以二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴的交点情况决定了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况.具体关系如下： b2-4ac＞0 b2-4ac=0 b2-4ac＜0 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 x1，x2 有两个相等实根 x0 没有实根 二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点（x1，0），（x2，0） 与 x 轴有一个交点（x0，0）（即顶点） 与 x 轴没有交点 二次函数图象 a＞0 a＜0 2.5 二次函数与一元二次方程 -5- 续表 根据这个关系，可以通过一元二次方程根的判别式来判断抛物线与 x 轴的交点个数，同时可以通过解一元二次方程来求抛物线与 x 轴的交点坐标. 2.5 二次函数与一元二次方程 -6- 2. 若抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与直线 y=kx+m 有交点，则交点坐标为 方程组 的解，反之，若方程组 有解，则两函数的图象有交点，无解，则无交点. y=ax2+bx+c， y=kx+m y=ax2+bx+c， y=kx+m 2.5 二次函数与一元二次方程 -7- 典题精析 例 2 函数 y=kx2-6x+3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 （ ） A． k＜3 B． k＜3 且 k≠0 C． k≤3 且 k≠0 D． k≤3 2.5 二次函数与一元二次方程 -8- 解析：分别讨论 k=0 和 k≠0 两种情况： 当 k=0 时，函数为一次函数 y=-6x+3，该函数的图象与 x 轴必有交点； 当 k≠0 时，函数为二次函数 y=kx2-6x+3， ∵y=kx2-6x+3 的图象与 x 轴有交点， ∴Δ=36-12k≥0，解得 k≤3. 综上所述，k 的取值范围为 k≤3. 答案：D 易错：B 错因：①没有对 k 分情况讨论而直接把函数当成二次函数求解；②把函数图象与 x 轴有交点，当成与 x 轴有两个不同的交点计算. 满分备考：（1）对于二次项系数是字母的情况，若题干未明确指出是什么函数且没有给出确定的图象，则需要分一次函数、二次函数两种情况进行讨论；（2）在解决二次函数图象与 x 轴的交点问题时，若题干中只说明有交点，则可能有一个交点，也可能有两个交点. 2.5 二次函数与一元二次方程 -9- ■考点三 利用函数图象求一元二次方程的近似根 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的一般步骤： （1）画二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象； （2）确定二次函数图象与 x 轴的交点个数，观察交点在哪两个连续整数之间； （3）列表，在两个整数之间取值估计，用计算器估计近似解，近似解在 y 值的正负值交换的地方，一般取 y 值最接近于 0 时 x 的值； （4）为了得到更精确的近似解，可对相应的方程的解的范围（即在列表时计算 y 值的正负值交换的两个 x 的值）进行细分，列出表格，得到所要求的精确度的近似解. 2.5 二次函数与一元二次方程 -10- 典题精析 例 3 根据下列表格中 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与函数值 y 的对应值，判断出方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠ 0，a，b，c 为常数）的一个解 x 的范围是___________． x 6.17 6.18 6.19 6.20 y -0.03 -0.01 0.02 0.04 2.5 二次函数与一元二次方程 -11- 解析：由表格中的数据看出-0.01 和 0.02 更接近于 0， 故 x 应取对应的范围． 答案：6.18＜x＜6.19 易错：6.17＜x＜6.18 错因：不明白“用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到 y 由正（负）变为负（正）时，自变量的取值”． 满分备考：根据表格数据确定一元二次方程的近似解（或范围），重点在函数值符号发生变化时刻取 x 的值（或范围）． 2.5 二次函数与一元二次方程 -12- [易错分析] ■误认为一定是二次函数而不进行分类讨论 例 已知关于 x 的函数 y=（m+6）x2+2（m-1）x+ m+1 的图象与 x 轴总有交点，求 m 的取值范围． 2.5 二次函数与一元二次方程 -13- 解析：因为题中条件没有给出函数的类型，所以要就函数为一次函数和二次函数分别进行讨论． 答案：解：分两种情况： （1）m+6=0，此时 m=-6，y=-14x-5，此直线与 x 轴必有交点； （2）m+6≠0，此时关于 x 的二次函数 y=（m+6）x2+2（m-1）x+m+1 的图象与x 轴总有交点， ∴Δ=b2-4ac=4（m-1）2-4（m+6）（m+1）≥0，解得 m≤ . 又∵该函数是关于 x 的二次函数， ∴m +6≠0，∴m≠-6. 综上所述，m 的取值范围是 m≤ ． 易错：m 的取值范围是 m≤ 且 m≠-6. 错因：没有考虑二次项系数为 0 时是否符合条件. 易错警示：当所给函数中含有字母系数且函数类型没有确定时，要进行分类讨论，以防漏解. 2.5 二次函数与一元二次方程 -14- [题型探究] ■题型一 利用函数图象解与一元二次方程有关的问题 例 1 （杭州拱墅二模）二次函数 y=-x2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x=2，若关于 x 的一元二次方程-x2+mx-t=0（t 为实数）在 1＜x＜5 的范围内有解，则 t 的取值范围是 （ ） A． t＞-5 B． -5＜t＜3 C． 3＜t≤4 D． -5＜t≤4 2.5 二次函数与一元二次方程 -15- 解析：如图，关于 x 的一元二次方程-x2+mx-t= 0 的解就是抛物线 y=-x2+mx 与直线 y=t 的交点的 横坐标. ∵ 对称轴为直线 x=2，∴- =2， 解得 m=4，∴y=-x2+4x. 当 x=1 时，y=3，当 x=5 时，y=-5. 由图象可知，若关于 x 的一元二次方程-x2+mx-t=0（t 为实数）在 1＜x＜5 的范围内有解，直线 y=t 在直线 y=-5 和直线 y=4 之间（包括直线 y=4）， ∴-5＜t≤4． 答案：D 题型解法：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解就是抛物线 y=ax2+ bx 与直线 y=-c 的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题． 2.5 二次函数与一元二次方程 -16- ■题型二 根据抛物线与x轴的交点求字母取值范围 例 2 抛物线 y=x2-2x+m 与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围为 （ ） A． m＞1 B． m=1 C． m＜1 D． m＜4 解析：∵ 抛物线 y=x2-2x+m 与 x 轴有两个交点， ∴Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，即 4-4m＞0， 解得 m＜1． 答案：C 题型解法：根据相应抛物线与 x 轴交点的个数来列关于判别式的等式或不等式，从而确定抛物线表达式中字母系数的取值范围是解答此类问题的关键. 2.5 二次函数与一元二次方程 -17- ■题型三 抛物线与直线结合 例 3 （衢州柯城区一模）如图，直线 y1＝- x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．过 A，B两点的抛物线 y2＝ax2+bx+c交x 轴于点C（-1，0）. （1）求 A，B 的坐标； （2）求抛物线的表达式； （3）求出当 y1＞y2 时，自变量 x 的取值范围． 2.5 二次函数与一元二次方程 -18- 解析：（1）利用一次函数的表达式确定 A，B 的 坐标； （2）利用待定系数法求抛物线表达式； （3）写出抛物线在直线下方时所对应的自变量的取值范围． 答案：解：（1）当 x＝0 时，y＝2，则 B（0，2）； 当 y＝0 时，- x+2＝0，解得 x＝4，则 A（4，0）； （2）设抛物线表达式为 y＝a（x+1）（x-4）. 把 B（0，2）代入，得 a（0+1）（0-4）＝2，解得 a＝- ， ∴ 抛物线表达式为 y＝- （x+1）（x-4）， 即 y＝- x2+ x+2； （3）当 y1＞y2 时，x 的取值范围为 x＜0 或 x＞4． 2.5 二次函数与一元二次方程 -19- 题型解法：对于求两个函数图象交点的问题，一般转化为方程（组）来求解，抛物线与直线交点横坐标的值就是二次函数的表达式与一次函数的表达式联立的方程（组）的解．结合图象求不等式的解集:当直线在抛物线上方时，抛物线对应的二次函数的值小；当直线在抛物线下方时，抛物线对应的二次函数值大；在交点处，两个函数值相等． 2.5 二次函数与一元二次方程 -1- ■考点 1 二次函数与一元二次方程的关系 1. 一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度 y（m）关于篮球运动的水 平距离 x（m）的函数解析式是y= - （x-2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离 3.05 m，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么 篮球运行的水平距离为 （ ） A． 1 m B． 2 m C． 4 m D． 5 m ▍考点集训/夯实基础 2.5 二次函数与一元二次方程 -2- 2.（教材 P57，T2 高仿）如图 1，是体育公园的圆形喷水池的水柱，如果曲线 APB 表示落地点 B 离点 O 最远的一条水流（如图 2），其上的水柱的高度 y（m）关于水平距离 x（m）的函数解析式为 y=-x2+4x+ 94 ，那么圆形水池的半径至少为 ________ m 时，才能使喷出的水流不落在水池外． 图 1 图 2 （第 2 题图） 2.5 二次函数与一元二次方程 -3- 3. 某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面 0.5 m 高的 A 处推出，达到最高点 B 时的高度是 2.5 m，推出的水平距离是 4 m，铅球在地面上点 C 处着地． （1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的表达式； （2）这个同学推出的铅球有多远？ （第 2 题图） 2.5 二次函数与一元二次方程 -4- ■考点 2 二次函数与 x 轴的交点 4.（教材 P52，T1 变式）抛物线 y=-x2+3x-5 与 x 轴的交点有 （ ） A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D． 3 个 5. 抛物线 y=x2+2x+m-1 与 x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值范围是 （ ） A． m＜2 B． m＞2 C． 0＜m≤2 D． m＜-2 6. 如图，y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c－3＝0 的根的情况是（ ） A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 有两个异号实数根 D． 没有实数根 （第 6 题图） 2.5 二次函数与一元二次方程 -5- 7. 二次函数 y=x2+bx+c 的图象如图所示，方程 x2+bx+ c=0 的解是 ________________. 8.（教材 P53，T2 高仿）已知关于 x 的二次函数 y=x2-（2m-1）x+m2+3m+ 4．试探究此二次函数的图象与 x 轴的交点的个数情况． （第 7 题图） 2.5 二次函数与一元二次方程 -6- 考点 3 利用函数图象求一元二次方程的近似根 9. 如图，点 A（2.18，-0.51），B（2.68，0.54），在二次函数 y=ax2+ bx+c（a≠0）的图象上，则方程 ax2+bx+c=0 的一个近似值可能是 （ ） A． 2.18 B． 2.68 C． -0.51 D． 2.45 （第 9 题图） x 8 9 10 11 12 132y=ax2+bx+c -4.56 -2.01 -0.38 1.2 3.4 2.5 二次函数与一元二次方程 -7- 10. 根据下列表格的对应值： 判断方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的一个解 x 的取值范围是 （ ） A． 8＜x＜9 B． 9＜x＜10 C． 10＜x＜11 D． 11＜x＜12 11. 在试验中我们常常利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线 y=x2 和直线 y=-x+3，观察两图象交点的横坐标来求得一元二次方程 x2+x-3=0 的解， 所以求方程 -x2+3＝0 的近似解也可以画出函数 y= 和 _________ 的图象，观察两图象交点的横坐标来求得． 2.5 二次函数与一元二次方程 -8- 12. 利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根． （1）x2-2x-1=0； （2）x2+5=4x． -32- 第二章 二次函数 2.5 二次函数与一元二次方程 1. C 提示：令 y=3.05 得：- （x-2.5）2+3.5= 3.05，解得：x=4 或 x=1（小于 2.5，舍去），所以篮球运行的水平距离为 4 m． 2. 提示：当 y=0 时，即-x2+4x+ =0，解得 x1= ，x2=- （舍去），即水池的半径至少 m 时，才能使喷出的水流不落在水池外． 3. 解：（1）设抛物线的表达式为 y=a（x-4）2+ 2.5， 由抛物线经过 A（0，0.5），得 0.5=a（0- 4）2+2.5，a=- ， ∴ 抛物线的表达式为：y=- （x-4）2+2.5； （2）当 y=0 时，0=- （x-4）2+2.5，解得：x1=4+2 ，x2=4-2 （舍去）． ∴ 这个同学推出的铅球有（4+2 ） m． -33- 第二章 二次函数 4. A 提示：Δ=b2-4ac=9-4×（-1）×（-5）=-11＜0， ∴ 抛物线与 x 轴无交点. 5. A 提示：∵ 抛物线 y=x2+2x+m-1 与 x 轴有两个不同的交点， ∴Δ=b2-4ac＞0，即 4-4（m-1）＞0，解得 m＜2． 6. B 提示：方程可变形为 ax2＋bx＋c＝3， ∵ 函数图象顶点的纵坐标为 3， ∴ 直线 y＝3 与函数图象只有一个交点， ∴ 方程 ax2＋bx＋c－3＝0 的根为两个相等的实数根． 7. x1=-3，x2=1 -34- 第二章 二次函数 8. 解：Δ=[-（2m-1）]2-4（m2+3m+4）=-16m-15， 当Δ＞0时，抛物线与 x 轴有 2 个交点，即-16m-15＞0，解得m＜- ； 当Δ=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点，即-16m-15=0，解得 m=- ； 当Δ＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点，即-16m-15＜0，解得 m＞- . 9. D 提示：∵ 图象上有两点分别为 A（2.18，-0.51）、B（2.68，0.54）， ∴ 当 x=2.18 时， y=-0.51；x=2.68 时，y=0.54， ∴ 当 y=0 时，2.18＜x＜2.68，只有选项 D 符合. 10. C 提示：依题意可知当 8＜x＜12 时，y 随 x 的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，∴ 方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的一个解 x 的取值范围是 10＜x＜11． 11. y=x2-3 -35- 第二章 二次函数 12. 解：（1）从图象看抛物线 y=x2-2x-1，结合不断缩小根所在范围的估计法可求得抛物线与 x 轴的交点大概是 2.4 与-0.4；所以一元二次方程 x2-2x-1=0 的近似解是 x1≈2.4，x2≈-0.4； （2）从图象可知，抛物线 y=x2-4x+5 与 x 轴没有交点，所以一元二次方程 x2+5=4x 无实数根． 13. B 提示：分为两种情况：①当 k-3≠0时，若函数图象与 x 轴有交点，则一元二次方程（k-3）x2＋2x＋1＝0 有实数根，即 Δ＝b2-4ac＝22-4（k-3）×1＝-4k＋16≥0，k≤4，∴k≤4 且 k≠3；②当 k-3＝0 时，函数 y＝2x＋1 的图象与 x 轴必有一交点，此时 k=3．综合①②可得，k≤4. $$