专题突破——二次函数 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册

专题突破——二次函数 ■专题一 与二次函数相关的图象信息题 1. 与二次函数相关的图象信息题的常考类型有两种：一是由表达式判断函数图象；二是根据几何图形运动情况选择函数图象.由表达式判断函数图象，是给出表达式或在表达式中设置各种条件，通过分析判断，找出正确的函数图象；根据几何图形运动情况选择函数图象，则是根据已给图形运动变化情况，分析其中变量与函数之间的变换关系所形成的函数图象. 2. 解决方法 （1）解决由表达式判断函数图象的问题，首先要分析表达式是否为分段函数，若表达式中有参数，分析是否需要分类讨论，根据分析出的不同分段或不同分类选择图象； （2）解决根据几何图形运动情况选择函数图象的问题，首先要分析题干中的已知条件，确定自变量和因变量所对应的几何量，再根据运动情况，结合图形性质把两个变量联系起来，根据这种联系列出函数表达式，找出符合该表达式的图象. -1- 专题突破——二次函数 -2- 典题精析 例 1 如图，点 A（m，n）是直线 y=2x 上的任意一点，AB 垂直于 x 轴，垂足为 B，那么三角形 ABO 的面积 S 关于 m 的函数关系的图象大致为（ ） 专题突破——二次函数 -3- 解析：因为 A（m，n）是直线 y=2x 上的任意一 点，所以 n=2m． 根据三角形面积公式，得 S= OB· AB= |m| ·2 |m|=m2， 该函数是二次函数，图象为抛 物线. 因为点 A（m，n）是直线 y=2x 上的任意一点， 所以点 A（m，n）在第一或第三象限，m 取全体实数. 答案：D 易错：C 错因：分析不全面，没有考虑到点 A（m，n）在第三象限. 满分备考：要注意题中是否有分类讨论的可能或分段变化的趋势，考虑要全面. 专题突破——二次函数 ■专题二 二次函数图象变换题 1. 二次函数图象变换问题，涉及函数图象的平移和翻折等问题，是几何变换在代数问题中的体现，具有一定的综合性. 2. 解决函数图象平移问题，要抓住函数图象平移的实质，即顶点的平移，据此寻找解题思路，然后再结合平移的性质解题；解决图象翻折问题，要把 握翻折的实质，即轴对称，据此寻找解题思路，然后再结合轴对称性质解题. -4- 专题突破——二次函数 -5- 典题精析 例 2 如图，将抛物线 l：y=ax2-2x+a2-4（a 为常数）向左并向上平移，使顶点 Q 的对应点 Q′，抛物线 l 与 x 轴的右交点 P 的对应点 P′分别在两坐标轴上，则抛物线 l 与 x 轴的左交点 E 的对应点的坐标为________. 专题突破——二次函数 -6- 解析：∵ 抛物线 y=ax2-2x+a2-4 经过原点，∴0=a2-4，解得 a=±2. ∵ 抛物线的开口方向向上，∴a＞0，则 a=2， ∴ 该抛物线的表达式为 y=2x2-2x+22-4=2x（x-1）= ， ∴ 该抛物线与x轴的交点是O（0，0），P（1，0），顶点坐标为 . 由图象可得，平移后抛物线的顶点 Q′在 x 轴上，点 P 的对应点 P′在 y 轴上， ∴抛 物线 l 向上平移了 个单位长度，向左平移了 1 个 单位长度， ∴ 抛物线 l 与 x 轴的交点 E（0，0）的对应点的 坐标为 ． 答案： 易错： 错因：平移规律弄错. 满分备考：函数图象的平移，即函数图象上每一点的平移，在这些点中，顶点的平移能够直接得出平移后的抛物线的顶点式，所以顶点平移是解决此类问题的关键点. 直线与抛物线相交问题（一次函数与二次函数综合题） 题目内容 抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与直线 y=mx+n（m≠0）的关系 解题思想 数形结合思想和方程思想 理论依据 两函数图象有两个交点 方程 ax2+bx+c= mx+n 有两个不相等的实数根； 两函数图象有一个交点 方程 ax2+bx+c= mx+n 有两个相等的实数根； 两函数图象没有交点 方程 ax2+bx+c=mx+n 没有实数根 特殊情况 （1）当直线为平行于坐标轴的直线时，其与抛物线相交情况需要单独画图分析，不能应用上述结论； （2）求线段与抛物线相交情况，不能完全应用上述结论，要结合线段端点的情况具体分析 专题突破——二次函数 ■专题三 直线与抛物线相交问题 -7- 专题突破——二次函数 -8- 典题精析 例 3 如图，抛物线 y=-2x2+8x-6 与 x 轴交于点 A，B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1 向右平移得 C2，C2 与 x 轴交于点 B，D.若直线 y=x+m 与 C1，C2 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是_______. 专题突破——二次函数 -9- 解析：由于直线 y=x+m 可由直线 y=x 平移得到，则将直线 y=x 画在图象中进行平移确定交点，找到临界状态，求出对应的值，确定 m 的取值范围即可.如图所示. 令 y=-2x2+8x-6=0，即 x2-4x+3=0，解得 x1=1，x2= 3， 则点 A（1，0），B（3，0），由于将 C1 向右平移 2 个单位长度得 C2，则 C2 表达式为 y=-2（x-4）2+2（3≤x≤ 5）， 当 y=x+m1 与 C2 只有一个交点时（如图）， 令 y=x+m1=-2（x-4）2+2， 即 2x2-15x+30+m1=0，Δ=-8m1-15=0， 解得 m1=- ； 当 y=x+m2 过点 B 时（如图），即 0=3+ m2，m2=-3. 由图可知，当直线在 y=x+m1 和 y=x+m2 之 间平移时，与 C1，C2 共有 3 个交点.∴ 当-3＜m＜- 时，直线 y=x+m 与 C1，C2 共有3 个不同的交点. 专题突破——二次函数 -10- 答案：-3＜m＜- 易错：-3＜m＜- 错因：临界点找错. 满分备考：直线与抛物线交点问题，要找好临界点，并且要确定临界位置是否在要求范围之内，找临界位置时，常常考虑直线与抛物线仅有一个交点的位置. 专题突破——二次函数 ■专题四 二次函数与几何图形小综合 1. 该专题常见的题型有： （1）综合几何图形求面积； （2）综合三角形或四边形求图形元素（边长、角度等）. 2. 解决方法： （1）解决综合几何图形求面积问题，主要利用抛物线的对称性及等积变换将不规则图形转化为规则图形求面积； （2）解决二次函数图象综合三角形或四边形等几何图形求图形元素问题， 则更为综合，需要把几何图形性质与抛物线特点有机结合起来，找到解题突破口，运用函数性质对图形问题辅助解答. -11- 专题突破——二次函数 -12- 典题精析 例 4 如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=a（x+2）2+k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一点，且 AB∥x 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为___________. 专题突破——二次函数 -13- 解析：如解析图，作 CD⊥AB 于点 D，交 x 轴于点 E，则∠CDA=90°． ∵AB∥x 轴，∴∠DAO=90°， ∴∠CDA＝∠DAO＝∠AOE＝90°， ∴ 四边形 DEOA 是矩形，∴OE=AD． ∵△ABC 是等边三角形，CD⊥AB， ∴BD=AD，AB=BC=AC． ∵ 抛物线 y=a（x+2）2+k 的对称轴为直线 x=-2， ∴E（-2，0），∴OE=2，∴AD=OE=2，∴AB=4， ∴ 等边三角形 ABC 的周长为 4×3=12． 答案：12 易错：18 错因：没有找到正确的解题思路. 满分备考：把抛物线性质与图形元素联系起来是解决此类问题的关键，如：本题就把抛物线对称性及对称轴与 x 轴交点坐标与求等边三角形边长联系起来，找到解题突破口. 解析图 专题突破——二次函数 ■专题五 二次函数最值问题 1. 二次函数的最大值或最小值是二次函数的一个重要特征量，要注意掌握二次函数取得最大值或最小值的条件，要时刻注意实际问题中自变量的意义和取值范围. 2. 二次函数图象的顶点有最高点或最低点，在最高点处有最大值，在最低点处有最小值，若出现了二次函数图象的顶点不在取值范围内，则在其取值范围内的端点处取最值. -14- 专题突破——二次函数 -15- 典题精析 例 5 某企业安排 65 名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产 2 件甲或 1 件乙，甲产品每件可获利 15 元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于 5 件，当每天生产 5 件时，每件可获利 120 元，每增加 1 件，当天平均每件利润减少 2 元．设每天安排 x 人生产乙产品． （1）根据信息填表： （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多 550 元，求每件乙产品可获得的利润； （3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产 1 件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利 30 元，求每天生产三种产品可获得的总利润 W（元）的最大值及相应的 x 值． 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 x x 专题突破——二次函数 -16- 解析：（1）根据题意列代数式即可； （2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润，再根据题意构造方程即可； （3）根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到 m 与 x 之间的关系式，用 x 表示总利润，利用二次函数性质讨论最值． 答案：解：（1）由已知，每天安排 x 人生产乙产品时，则生产甲产品的有（65-x）人，共生产甲产品 2（65-x）=（130-2x）（件）．在乙每件 120 元获利的基础上，增加（x-5）件，每件利润减少 2（x-5）元，则乙产品每件的利润为 120-2（x-5）=（130-2x）（元）. （2）由题意，得 15（130-2x）=x（130-2x）+550， ∴x2-80x+700=0，解得 x1=10，x2=70（不合题意，舍去），∴130-2x=110. 答：每件乙产品可获得的利润是 110 元. 专题突破——二次函数 -17- （3）设生产甲产品 m 人.由题意，得 W=x（130-2x）+15×2m+30（65-x-m）=-2（x-25）2+3 200. ∵2m =65 -x -m，∴m= . ∵x，m 都是非负整数，∴ 取 x=26 时，m=13，65-x-m=26， 即当 x=26 时，总利润最大，W 最大值=3 198. 答：安排 26 人生产乙产品时，可获得的最大利润为 3 198 元． 易错：（3）设生产甲产品 m 人，W=x（130-2x）+15×2m+30（65-x-m）=-2（x-25）2+3 200，最大利润为 3 200 元. 错因：没有根据实际情况考虑 x 的取值. 满分备考：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的表达式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围． 专题突破——二次函数 ■专题六 二次函数综合压轴题 二次函数综合压轴题，是二次函数综合问题中最难解决的问题，它通常综合其他数学知识，尤其是几何图形，步步设问，层层递进，通过图形与函数相结合，探究图形状态、函数状态、存在性、变化性、极端值等探究性问题.解决此类问题需从每一步骤的基础问题着手，根据已经求出的基础结论，结合题干进一步去探究更深层次的问题. -18- 专题突破——二次函数 -19- 典题精析 例 6 抛物线 y=ax2+bx-4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右侧），且 A，B 两点的坐标分别为（-2，0），（8，0），与 y 轴交于点 C，连接 BC，以 BC 为一边，点 O 为对角线中点作菱形 BDEC（如图），点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q，交 BD 于点 M． （1）求抛物线的表达式； （2）当点 P 在线段 OB 上运动时，试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形？ （3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点 N（不同于点 Q），使△BCN 的面积等于△BCQ 的面积？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 专题突破——二次函数 -20- 解析：（1）利用待定系数法即可求得； （2）根据题意分析可得，当 MQ=CD 时，四边形 CQMD 是平行四边形，根据 MQ=CD 列出关于 m 的方程，求得 m 的值； （3）要使△BCN 的面积等于△BCQ 的面积，则 N 点到 BC 的距离与 Q 点到 BC 的距离相等，而（2）中 MQ 正好平分 OB，MQ 过 BC 的中点，则点 M 到直线 BC 的距离与点 Q 到 BC 的距离相等，因此则可由直线 BC 平移过点 Q 或点 M 分别求得其与抛物线的交点即可. 答案：解：（1）∵ 抛物线 y=ax2+bx-4 与 x 轴交于 A（-2，0），B（8，0）两点， 0＝4a-2b-4， 0＝64a+8b-4， ∴ 抛物线的表达式为 y= x2- x-4； ∴ 解得 专题突破——二次函数 -21- （2）由（1），得 C（0，-4）. 由菱形的对称性可知，点 D 的坐标为（0，4）． 设直线 BD 的表达式为 y=kx+b′， b′＝4， 8k+b′＝0， ∴ 直线 BD 的表达式为 y=- x+4． ∵l⊥x 轴， ∴ 点 M 的坐标为 ， 点 Q 的坐标为 ． 如图，连接 CQ.当 MQ=DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形， ∴ ，化简，得 m2-4m=0， 解得 m1=0（不合题意，舍去），m2=4， ∴ 当 m=4 时，四边形 CQMD 是平行四边形； 则 解得 专题突破——二次函数 -22- （3）要使△BCN 的面积等于△BCQ 的面积，则点 N 到 BC 的距离与点 Q 到 BC 的距离相等. 由点 B（8，0），C（0，-4）可得，直线 BC 的表达式为 y= x-4. 由（2），得 M（4，2），Q（4，-6）. 设直线 BC 平移后的直线 l′的表达式 y= x+d. ①当直线 l′过点 Q（4，-6）时，可求得直线 l′的表达式为 y= x-8， 联立抛物线，得方程 x2- x-4= x-8，解得 x1=x2=4（与点 Q 重合，舍去）； 专题突破——二次函数 -23- ②当直线 l′过点 M（4，2）时，可求得直线 l′的表达式为 y= x， 联立抛物线，得方程 x2- x-4= x， 解得 x1=4+4 ，x2=4-4 ， 代入直线 y= x， 求得 N1（4+4 ，2+2 ），N2（4-4 ，2- 2 ）， 故符合条件的点 N 的坐标为（4+4 ，2+2 ）或（4-4 ， 2-2 ）． 易错：（3）N（4 ，2 ）. 错因：（3）没有找到关键一点，即直线 BC 平移过 M 点与抛物线的交点到直线 BC 的距离与点 Q 到直线 BC 的距离相等. 满分备考：求找一点建立新三角形与原三角形面积相等问题，若底边共线，则可考虑平移底边所在直线，使直线经过的点到底边的距离相等. $$