1.6 利用三角函数测高 课件 --2023-2024学年北师大版数学九年级下册

测倾器测角 如图，分别表示用测倾器测量观测目标 P 的仰角和俯角，铅垂线所指的度数分别为 α，β，那么我们就说观察目标 P 的仰角为 α，俯角为 β 倾斜角 的应用 倾斜角的测量通常会和仰角、俯角，坡度等知识结合，解决问题的关键是把求角度的问题转化成解直角三角形的问题 1.6 利用三角函数测高 ■考点一 测量倾斜角 [考点解读] -1- 1.6 利用三角函数测高 -2- 典题精析 例 1 数学兴趣小组为了测量校园外一座建筑物的高度，自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大 4 倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图），推动自行车来测距．该小组在操场上选定 A 点，此时测量视线和铅垂线之间的夹角在量角器上度数为 37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了 10 圈达到 B 点，此时测量视线和铅垂线之间的夹角在量角器上度数为 53°．则∠DA′C′=_____；∠DB′C′=_____. 1.6 利用三角函数测高 -3- 解析：根据题中图形，结合图形利用三角形的边角关系列求出角的度数．在 Rt△A′C′D 中，∠DA′C′=90°-37°=53°，在 Rt△B′C′D 中，∠DB′C′=90°-53°= 37°. 答案：53° 37° 易错：37° 53° 错因：误认为视线和铅垂线之间的夹角就是所求的仰角，应该是夹角的 余角. 满分备考：做这类题时应仔细观察图形，寻找角之间的关系，清楚要求的角度和已知角度在图中的位置. 1.6 利用三角函数测高 -4- ■考点二 测量底部可以到达的物体高度 测量底部可以到达的物体高度，解题的关键是量出测倾器的高度和测点到物体的水平距离. 1.6 利用三角函数测高 -5- 典题精析 例 2 通信公司将移动信号收发塔建在某学校的科技楼上，李明同学利用测倾器在距离科技楼靠塔的一面 25 m 处测得塔顶 A 的仰角为 60°，塔底 B 的仰角为 30°，你能利用这些数据帮李明同学计算出该塔的高度吗？（ ≈1.73，结果精确到 0.1 m） 1.6 利用三角函数测高 -6- 解析：在 Rt△ACD 中，根据 CD 的值可以求得 AC 的值，在 Rt△BCD 中，根据 CD 的值可以求得 BC 的值，根据AB=AC-BC 即可求得AB的值，即可解题. 答案：解：在 Rt△ACD 中，AC=CD·tan60°=25× =25 （m）． 在 Rt△BCD 中，BC=CD·tan30°= 25× （m）． ∴AB=AC-BC=25 - ≈28.8（m）． 答：该塔的高度约为 28.8 m． 易错：解：在 Rt△ACD 中，AC=CD·tan60°=25× =25 （m）． 在 Rt△BCD 中，BC=CD·tan30°= 25× （m）． ∴AB=AC-BC=25 ≈30.8（m）． 1.6 利用三角函数测高 -7- 错因：30°角的正切值为 ，错记为其正弦值 . 满分备考：解决这类测高问题，关键是在图形中准确识别角，如果题中没有图形，还需要根据定义，准确画出图形；当题目中有多个直角三角形时，要注意找出联系各个直角三角形的关键“边”或“角”，再结合三角函数的相关知识求解问题. 1.6 利用三角函数测高 -8- ■考点三 测量底部不可以到达的物体的高度 测量底部不可以到达的物体的高度，解题的关键是量出测倾器的高度以及测点之间的距离. 1.6 利用三角函数测高 -9- 典题精析 例 3 如图，在一个 18 m 高的楼顶上有一信号塔 DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的 A 处测得信号塔下端 D 的仰角为 30°，然后他正 对塔的方向前进了 18 m 到达地面的 B 处，又测得信号塔顶端 C 的仰角为 60°，CD⊥ AB 于点 E，E，B，A 在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔 CD 的高度.（结果保留整数， ≈ 1.7， ≈1.4） 1.6 利用三角函数测高 -10- 解析：利用 30°角的正切值即可求得 AE 的长，进而可求得 CE 的长，CE 的长减去 DE 的长即为信号塔 CD 的高度． 答案：解：根据题意，得 AB=18 m，DE=18 m，∠A=30°，∠EBC=60°， 在 Rt△ADE 中，AE= （m）， ∴BE=AE-AB=（18 -18）（m）. 在 Rt△BCE 中，CE=BE·tan60°=（18 －18）× =（54－18 ）（m）， ∴CD=CE－DE=54－18 －18≈5（m）． 答：信号塔 CD 的高度约为 5 m. 1.6 利用三角函数测高 -11- 易错：解：根据题意，得 AB=18 m，DE=18 m，∠A=30°，∠EBC=60°， 在 Rt△ADE 中，AE= （m）， ∴BE=AE－AB=（12 －18） m. 在 Rt△BCE 中，CE=BE·tan60°=（12 －18）× =（36－18 ）（m）， ∴CD=CE－DE=36－18 －18≈ -13（m）． 错因：30°角的正切值为 ，错记为 . 满分备考：本题考查了解直角三角形——仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形.解题难点是充分找到并运用题中相等的线段． 1.6 利用三角函数测高 -12- [题型探究] ■题型 利用测高的相关方法测量一般物体长度 例 如图是安装在斜屋面上的热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为 25°，长为 2.1 米的真空管 AB 与水平线 AD 的夹角为 40°，安装热水器的铁架水平横管 BC 长 0.2 m，求： （1）真空管上端 B 到 AD 的距离；（结果精确到 0.01 m） （2）铁架垂直管 CE 的长．（结果精确到 0.01 m，参考数据：sin40° ≈0.643，cos40° ≈0.766，tan40°≈ 0.839，sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466） 1.6 利用三角函数测高 -13- 解析：（1）过点 B作 BF⊥AD于点 F，构建 Rt△ABF，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案； （2）根据 AB 的长可求出 AF 的长，再判定出四边形 BFDC 是矩形，可求出 AD 与 ED 的长，再用 CD 的长减去 ED 的长即可解答． 答案：解：（1）如答案图，过点 B 作 BF⊥AD 于 点 F． 在 Rt△ABF 中，sin∠BAF= ， ∴BF=AB·sin∠BAF=2.1×sin40°≈2.1×0.643≈1.35（m）． ∴ 真空管上端 B 到 AD 的距离约为 1.35 m； （2）在 Rt△ABF 中，cos∠BAF= ， ∴AF=AB·cos∠BAF=2.1×cos40°≈2.1×0.766≈1.609（m）． ∵BF⊥AD，CD⊥AD，又由题意可知 BC∥FD， ∴ 四边形 BFDC 是矩形，∴BF=CD，BC=FD， 1.6 利用三角函数测高 -14- ∴AD＝AF＋FD＝AF＋BC≈1.609＋0.2=1.809（m）. 在 Rt△EAD 中，tan∠EAD= ， ∴ED=AD·tan∠EAD=1.809×tan25°≈1.809× 0.466≈0.843（m）， ∴CE=CD－ED≈1.35－0.843=0.507≈0.51（m）， ∴ 铁架垂直管 CE 的长约为 0.51 m． 题型解法：利用解直角三角形的相关知识解决实际问题，首先要根据题意画出平面图形，把实际问题转化为解直角三角形的问题，再应用解直角三角形的相关知识求出数学问题的答案，即得实际问题的答案. 答案图 1.6 利用三角函数测高 -1- ■考点 1 测量倾斜角 1. 如图所示，分别表示用测倾器测量观测目标 P 的仰角和俯角，铅垂线所指的度数分别为 α，β，那么我们就说观察目标 P 的仰角为 α，俯角为 β，这种说法对吗？请说明理由． ▍考点集训/夯实基础 图 1 图 2 （第 1 题图） 1.6 利用三角函数测高 -2- ■考点 2 测量底部可以到达的物体高度 2. 在一次实践活动中，某课堂学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们进行了如下测量：（如图） （1）在测点 A 处安置测倾器，测得旗杆顶部 M 的仰角∠MBC=23°； （2）量出测点 A 到旗杆底部 N 的水平距离 AN=22.7 米； （3）量出测倾器的高度 AB=1.2 米，根据以上数据，请你求出旗杆的高度.（精确到 0.1 米，tan23°≈0.42） （第 2 题图） 1.6 利用三角函数测高 -3- 考点 3 测量底部不可以到达的物体的高度 3. 如图，学校教学楼上悬挂一块长为 3 m 的标语牌，即 CD=3 m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点 D 到地面的距离．测角仪支架高 AE= BF=1.2 m，小明在 E 处测得标语牌底部点 D 的仰角为 31°，小红在 F 处测得标语牌顶部点 C 的仰角为 45°，AB=5 m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点 D 到地面的距离 DH 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由.（图中点 A，B，C，D，E，F，H 在同一平面内，参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86） （第 3 题图） -28- 第一章 直角三角形的边角关系 1.6 利用三角函数测高 1. 解：说法正确.理由： ①∵BA 为水平线，AC 为铅垂线，∴∠BAC=90°，∴∠BAD+α=90°，∵∠PAB+ ∠BAD=90°，∴ 仰角∠PAB=α； ②∵AP⊥AD，∴β+∠CAP=90°， ∵∠PAB+∠CAP=90°，∴ 俯角∠PAB=β． 综上可得：α，β 就是观测目标 P 时的仰角和俯角． 2. 解：∵AN=22.7，∴BC=22.7， ∵∠MBC=23°，∴MC=BC·tan∠MBC=22.7×tan23°≈22.7×0.42=9.534， ∵AB=1.2，∴CN=1.2，∴MN=MC+CN=9.534+1.2≈10.7（米）. 答：旗杆的高度约为 10.7 米． -29- 第一章 直角三角形的边角关系 3. 解：能，理由如下：如图，延长 EF 交 CH 于 N，则∠CNF=90°，∵∠CFN=45°，∴CN=NF，设 DN=x m， 则 NF=CN=（x+3） m，∴EN=5+ （x+3）=（x+8）m， 在 Rt△DEN 中，tan∠DEN= ，则 DN=EN·tan∠DEN， ∴x≈0.60（x+8），解得 x=12，则 DH=DN+NH=12+1.2= 13.2（m）. 4. 40° 提示：在题图上过 A 点作 AC⊥OC 于 C， ∵∠AOC=50°，∴∠OAC=40°，故此时观察楼顶的仰角度数是 40°． $$