1.5 三角函数的应用 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册

1.5 三角函数的应用 ■考点 方向角问题 1. 以观察点为中心（方向角的顶点），正北或正南为始边，旋转到目标方向线所成的锐角称为方向角.如图，A 点位于 O 点的北偏东 30°方向，B 点位于 O 点的南偏东 60°方向. -1- 第一课时 方向角问题 [考点解读] 1.5 三角函数的应用 -2- 2. 方向角通常以南北方向线为主，分南偏和北偏，即“北偏东××度”“北偏西××度”，一般不表示为“东（或西）偏北（或南）××度”. 3. 观测点不同，所得的方向角是不同的，但各个观测点的南北方向线是互相平行的. 1.5 三角函数的应用 -3- 典题精析 例 如图，在 A 处的正东方向有一港口 B．某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60°方向巡逻，到达 C 处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以 20 海里/时的速度行驶3 小时到达港口 B．求 A，B间的距离．（ ≈1.73， ≈1.41，结果保留一位小数） 1.5 三角函数的应用 -4- 解析：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，通过解直角三角形可求出 BD，AD 的长，将其相加即可求出 AB 的长． 答案：解：如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D， 则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°. 在 Rt△BCD 中，sin∠BCD＝ ，cos∠BCD＝ ， ∴BD＝BC·sin∠BCD＝20×3× ≈42.3（海里）， CD＝BC·cos∠BCD＝20×3× ≈42.3（海里）. 在 Rt△ACD 中，tan∠ACD＝ ， ∴AD＝CD·tan∠ACD=42.3× ≈73.2（海里）， ∴AB＝AD+BD=73.2+42.3＝115.5（海里）， 即 A，B 间的距离约为 115.5 海里． 1.5 三角函数的应用 -5- 易错：AB= =120（海里）. 错因：没有找出正确地作辅助线的方法，误认为 AB=2BC. 满分备考：方向角问题有时候需要转化在直角三角形中解答，有时候可转化在等腰三角形中解答，需根据题目灵活选择解答方法. 1.5 三角函数的应用 -6- [易错分析] ■仅通过形象观察而非计算得到解题条件 例 如图，河宽 CD 为 100 m，在 C 处测得对岸 A 点在 C 点南偏西 30°方向，对岸 B 点在 C 点南偏东 45°方向，则 A，B 两点间的距离是 ___ m．（结果保留根号） 1.5 三角函数的应用 -7- 解析：根据正切的定义求出 AD，根据等腰直角三角形的性质求出 BD，进而得到 AB 的长． 在 Rt△ACD 中，tan∠ACD= ， 则 AD=CD·tan∠ACD=100 × =100（m）. 在 Rt△CDB 中，∠BCD=45°， ∴BD= CD=100 m，∴AB=AD+BD=（100+100 ）（m）. 答案：100+100 易错：100 错因：根据图示误认为∠ACB=90°，先求得AC= 200，BC=100 ，然后根据勾股定理得到 AB= . 易错警示：在解决方向角问题时，不论是题目中自带的图，还是我们自己根据题意画出的图，都一定要将角度标注清楚，并在做题过程中牢牢记住这些度数，不要被图误导. 1.5 三角函数的应用 -8- [题型探究] ■题型 航海问题 例 一艘货轮以 18 km/h 的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至 A 处时，发现它的东南方向有一灯塔 B，货轮继续向东航行 30 分钟后到达 C 处，发现灯塔 B 在它的南偏东 15°方向，则此时货轮与灯塔 B 的距离是 _____ km. 1.5 三角函数的应用 -9- 解析：如解析图，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E.30 分钟= 小时. 由题意，知 AC=18 （km），∠CAB=45°，∠NCB=90°-15°=75°，∴CE=AC·sin∠CAB= =9（km），∠B=∠NCB-∠CAB=30°， ∴BC= ＝18（km）. 答案：18 题型解法：解决航海问题的实质是解直角三角形，当图中没有直角三角形时，通过作辅助线构造直角三角形，然后再求解，同时航海问题中通常涉及速度、时间、路程问题，在计算时注意单位的统一. 解析图 1.5 三角函数的应用 ■考点 仰角、俯角问题 1. 俯角、仰角的定义 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. 2. 俯角、仰角的应用 运用解直角三角形的知识解决仰角、俯角的问题，首先要分清楚仰角和俯角分别是哪个角，然后作辅助线构建直角三角形，在直角三角形中求解. -10- 第二课时 仰角、俯角问题 [考点解读] 1.5 三角函数的应用 -11- 典题精析 例 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45°和 30°．若飞机离地面的高度 CH 为 1 200 m，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为 _______ m.（结果保留根号） 1.5 三角函数的应用 -12- 解析：由题意，知 CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°. 在 Rt△ACH 中，∵∠CAH=45°，∴△ACH 是等腰直角三角形， ∴AH=CH=1 200 m. 在 Rt△HCB 中，∵tanB= ， ∴HB= （m）， ∴AB=HB-HA=1 200 -1 200=1 200（ - 1）（m）. 答案：1 200（ -1） 易错：1 200 错因：误认为 AB=CH=1 200 m. 满分备考：实际问题中遇到仰角或俯角时，要放到直角三角形中或通过作水平线或铅垂线转化到直角三角形中运用，注意确定水平线. 1.5 三角函数的应用 -13- [易错分析] ■记反仰角、俯角的概念 例 小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌 CD．她在 A 点测得标语牌顶端 D 处的仰角为42°，测得隧道底端 B 处的俯角为 30°（B，C，D 在同一条直线上），AB=10 m，隧道高 6.5 m（即 BC=6.5 m）， 求标语牌 CD 的长．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90， ≈1.73） 1.5 三角函数的应用 -14- 解析：作 AE⊥BD 于 E．分别求出 BE，DE，可得 BD 的长，再根据 CD=BD-BC 计算即可. 答案：解：如答案图，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E． 由题意，知∠DAE=42°，∠BAE=30°. 在 Rt△AEB 中，∵∠BAE=30°，AB=10 m， ∴BE= AB=5 m，AE=AB·cos∠BAE=10×cos30°=5 （m）， ∴ 在 Rt△ADE 中，DE=AE·tan∠DAE=5 ×tan42°≈7.8（m）， ∴BD=DE+BE≈12.8（m），∴CD=BD-BC≈12.8-6.5= 6.3（m）， 即标语牌 CD 的长为 6.3 m. 易错：标语牌 CD 的长为 4.5 m. 错因：误认为∠DAE=30°，∠BAE=42°，从而计算出 BD≈11 m，故 CD=BD-BC=4.5（m）. 易错警示：仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”. 答案图 1.5 三角函数的应用 -15- [题型探究] ■题型 解决求长（高、距离）的问题 例 如图，海面上一艘船由西向东航行，在 A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点 C 的仰角为 31°，再向东继续航行 30 m 到达 B 处，测得该灯塔的最高点 C 的仰角为 45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度 CD．（结果取整数，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60） 1.5 三角函数的应用 -16- 解析：根据正切的定义用 CD 表示出 AD，根据题意列出方程，解方程得到答案. 答案：解：在 Rt△CAD 中，tan∠CAD＝ ，AD＝ CD. 在 Rt△CBD 中，∠CBD＝45°，∴BD＝CD. ∵AD＝AB+BD，∴ CD＝30+CD，解得 CD=45. 答：这座灯塔的高度 CD 约为 45 m． 题型解法：应用直角三角形解决实际问题时，首先将实际问题转化为解直角三角形的问题，再应用相关知识求解. 1.5 三角函数的应用 ■考点 坡度问题 -17- 第三课时 坡度问题 [考点解读] 坡度与坡角的区别与联系 联系 ①坡度表示斜坡的倾斜程度，坡度越大，坡角也越大，坡面越陡； ②坡度（或坡比）是坡角的正切值 区别 坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是斜坡与水平面的夹角，是个角度，其单位是度、分、秒；而坡度是坡角的正切值，是个比值，没有单位 1.5 三角函数的应用 -18- 典题精析 例 如图，小华站在河岸上的 G 点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船 C 的俯角是∠FDC=30°.若小华的眼睛与地面的距离是 1.6 m，BG=0.7 m，BG 平行于 AC 所在的直线，迎水坡 i=4∶3，坡长 AB=8 m，点 A，B，C，D，F，G 在同一平面内，求此时小船 C 到岸边的距离 CA 的长．（结果保留根号） 解析：把 AB 和 CD 都构造为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得到相关边长，进而利用俯角的正切值可求得 CH 的长度，CH-AH 即为 CA 长度. 1.5 三角函数的应用 -19- 答案：解：如图，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E，延长 DG 交 CA 于点 H，得 Rt△ABE 和矩形 BEHG． ∵i= ，AB=8 m， ∴ 设 BE＝4x，AE＝3x，则由 AB2＝BE2＋AE2，得 64＝（4x）2+（3x）2， 解得 x= （负值舍去），∴BE= m，AE= m，∴GH＝BE＝ m. ∵DG=1.6 m，BG=0.7 m， ∴DH=DG+GH=1.6+ =8（m）， AH=AE+EH=AE+BG= +0.7=5.5（m）． 在 Rt△CDH 中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=8 m， tan30°= ， ∴CH=8 m. 又 ∵CH=CA+5.5，即 8 =CA+5.5， ∴CA=（8 -5.5）（m）． 答：CA 的长是（8 -5.5） m． 1.5 三角函数的应用 -20- 易错：解：过点 B 作 BE⊥AC 于点 E，延长 DG 交 CA 于点 H，得 Rt△ABE 和矩形 BEHG． ∵i= ，AB=8 m， ∴BE= m，AE= m． 求得 CA 的长是 m． 错因：坡度是指坡角的垂直高度与水平长度之比，解题中，错认为坡度是指坡角的水平长度与垂直高度之比. 满分备考：此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点.利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键． 1.5 三角函数的应用 -21- [易错分析] ■弄反坡比导致错误 例 如果一段斜坡的水平宽度为 4 m，坡度 i= 1∶2，那么这段斜坡的铅直高度为 _____ m． 解析：直接利用坡度的定义进行解答即可． ∵斜坡的坡度 i= =1∶2，水平宽度为 4 m， ∴ 铅直高度= ×水平宽度= ×4=2（m）. 答案：2 易错：8 错因：弄反坡度的比，误认为斜坡的坡度= ，正确关系应是：坡度= . 易错警示：解答有关坡度、坡角的问题时，一定要弄清基础概念，必要时可以画出图形帮助解题，因为一旦弄反或记忆有偏差，结果一定出错. 1.5 三角函数的应用 -22- [题型探究] ■题型 坡度与仰角、俯角结合问题 例 如图，一座山的一段斜坡 BD 的长度为 600 m，且这段斜坡的坡度 i=1∶3（沿斜坡从 B 到 D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面 B 处测得山顶 A 的仰角为 33°，在斜坡 D 处测得山顶 A 的仰角为 45°．求山顶 A 到 地面 BC 的高度 AC 是多少米.（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可） 解析：作 DH⊥BC 于点 H．设 AE=x．在 Rt△ABC 中，根据 tan∠ABC= ，构建方程即可解决问题. 1.5 三角函数的应用 -23- 答案：解：如图，过点 D 作 DH⊥BC 于点 H ，则四边形 DHCE 是矩形， ∴HC=DE，EC=DH.设 AE=x m，∵ 坡度 i=DH∶BH=1∶3，∴BH=3DH. 在 Rt△BDH 中，DH2+（3DH）2=6002，∴DH=60 m，BH=180 m. 在 Rt△ADE 中，∵∠ADE=45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE=AE=xm. ∵HC=DE，EC=DH，∴HC= x m，EC=60 m， ∴BC=BH+HC=（180 +x） m，AC=AE+EC=（x+60 ） m， ∴ 在 Rt△ABC 中，tan 33°= ， ∴x= ， ∴AC=AE+EC= m． 答：山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是 m. 1.5 三角函数的应用 -24- 易错：AC =AE+EC = m． 答：山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是 m. 错因：坡度和正切的比值弄错. 满分备考：（1）坡度是两条线段的比值，不是度数； （2）坡度一般写成 1∶n 的形式（比例的前项是 1，后项可以是小数）； （3）解决坡角、坡度问题时要注意坡比所对应的三角函数，不要弄错. 1.5 三角函数的应用 -1- ■考点 方向角问题 1. 在数学活动课上，九（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭子 A（如图）与它正东方向的亭子 B 之间的距离．现测得亭子 A 位于点 P 北偏西 30°方向，亭子 B 位于点 P 北偏东 α 方向，测得点 P 与亭子 A 之间的距离为 200 米．则亭子 A 与亭子 B 之间的距离为 （ ） A．（100+100 sinα）米 B．（100+100 tanα）米 C． 米 D． 米 ▍考点集训/夯实基础 第一课时 方向角问题 （第 1 题图） 1.5 三角函数的应用 -2- 2. 如图，一艘船由西向东航行，上午 8 时到达 B 处，看到有一灯塔在它的北偏东 60°方向，距离为 72 海里的 A 处，上午 10 时到达 C 处，看到灯塔在它的正北方向，则这艘船航行的速度约为 （ ） A． 30 海里/时 B． 31 海里/时 C． 32 海里/时 D． 33 海里/时 3. 如图，一艘轮船以 40 海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到 A 处时， 发现它的北偏东 30°方向有一灯塔 B．轮船继续向北航行 2 小时后到达 C 处，发现灯塔 B 在它的北偏东 60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过 ______ 小时轮船离灯塔最近. （第 3 题图） 1.5 三角函数的应用 -3- 4. 如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区 C 游玩，到达 A 地后，导航显示车辆应沿北偏西 60°方向行驶 8 千米至 B 地，再沿北偏东 45°方向行驶一段距离到达景区 C，小明发现景区 C 恰好在 A 地的正北方向，则 B，C 两地的距离为 _______ 千米. 5.“奔跑吧！”节目组预设计一个新游戏：“奔跑”路线 A、B、C、D 四地，如图，A、B、C 三地在同一直线上，D 在 A 北偏东 30°方向，在 C 北偏西 45°方向，C 在 A 北偏东 75°方向，且 BD=BC=40 m，从 A 地到 D 地的距离是 ________ m． （第 4 题图） （第 5 题图） 1.5 三角函数的应用 -4- 6.（教材 P21，T4 高仿）如图，某渔政船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在 A 地观测到一渔船 C 在东北方向上．若渔政船航向不变，航行半小时后到达 B 处，此时观测到该渔船 C 在北偏东 30°方向上．问渔政船再航行多久，离渔船 C 的距离最近？ （第 6 题图） 1.5 三角函数的应用 -5- ■考点 仰角、俯角问题 1. 直角梯形 ABCD 如图放置，AB、CD 为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA= 67°，从低处 A 处看高处 C 处，那么 点 C 在点 A 的 （ ） A． 俯角 67°方向 B． 俯角 23°方向 C． 仰角 67°方向 D． 仰角 23°方向 ▍考点集训/夯实基础 第二课时 仰角、俯角问题 （第 1 题图） 1.5 三角函数的应用 -6- 2.如图，小芳在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列表示旗杆高 CD 的正确式子的是 （ ） A． CD=bsin33°+a B． CD=bcos33°+a C． CD=btan33°+a D． CD= +a 3. 南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此展开测量活动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为 α，大桥主架的顶端 D 的仰角为 β，已知测量点与大桥主架的水平距离 AB=a，则此时大桥主架顶端离水面的高 CD 为 （ ） A． asinα+asinβ B． acosα+acosβ C． atanα+atanβ D． （第 2 题图） （第 3 题图） 1.5 三角函数的应用 -7- 4.（教材 P21，T2 高仿）如图，在塔 AB 前的平地上选择一点 C，测出看塔顶的仰角为 30°，从 C 点向塔底走 100 米到达 D 点，测出看塔顶的仰角为 45°，则塔AB 的高度为 ________ 米. 5. 如图，在高度为 10 米的平台 CD 上测得一高层建筑物 AB 的顶端 A 的仰角为 60°，底端 B 的俯角为 30°，则高层建筑物的高 AB=_________ 米. （第 4 题图） （第 5 题图） 1.5 三角函数的应用 -8- 6. 如图，在高为 h 的山顶 A 处，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为 30°和 60°，用含 h 的式子表示建筑物的高为 _______________． 7. 如图，空中有两只风筝，现已知风筝 A 的引线（线段 AC）长 20m，风筝 B 的引线（线段 BC）长 24m， 在 C 处测得风筝 A 的仰角为 60°，风筝 B的仰角为 45°．试通过计算，比较风筝 A 与风筝 B 哪个离地面更高.（参考数据： ≈1.414， ≈1.732） （第 6 题图） （第 7 题图） 1.5 三角函数的应用 -9- ■考点 坡度问题 1. 某水坝的坡度为 1∶ ，坡长 AB=20 米，则坝的高度为 （ ） A. 10 米 B. 20 米 C. 40 米 D. 20 米 2. 小明想测量一棵树的高度，他发现树影恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为 8米，坡面上的影长为 4 米．已知斜坡的坡角为 30°，同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆的影长 为 2 米，则树的高度为 （ ） A．（6+ ）米 B． 12 米 C．（4-2 ）米 D． 10 米 30° ▍考点集训/夯实基础 第三课时 坡度问题 （第 2 题图） 1.5 三角函数的应用 -10- 3. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图自动扶梯 AB 的坡度 i=1∶姨3 ，则坡角 α 为 ________. 4. 如图，河堤的横断面为梯形，上底为 4 m，高为 6 m，斜坡 AD的坡度为 1∶3，斜坡 CB 的坡角为 45°，则河堤横断面的面积为 ______ m2． （第 3 题图） （第 4 题图） 1.5 三角函数的应用 -11- 5.（教材 P21，T1 高仿）如图，施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离 AB＝4 米，斜面距离 BC＝4.25 米．求坡角∠D 的度数.（结果精确到 1°，参考数据：cos20°≈ 0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95） （第 5 题图） 1.5 三角函数的应用 -12- 6. 在学校的校园内有一小山坡 AB（如图），经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡 AB 长为 12 米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使开挖后斜坡 BD 的坡度是 1∶3（即为 CD 与 BC 的长度之比）．A，D 两点处于同一铅垂线上.求开挖后小山坡下降的高度 AD． （第 6 题图） -18- 第一章 直角三角形的边角关系 1.5 三角函数的应用 第一课时 方向角问题 1. B 提示：如图，过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，由题意可得∠APC=30°，PA=200 米，∠CPB= α，则 AC= AP=100 米，PC=PAcos30°=100 米， 故 tanα= ，则 BC=100 tanα 米， 故 AB=AC+BC=（100+100 tanα）米． 2. B 提示：∵∠A=60°，AB=72 海里，∴ sin60 °， ∴BC=AB·sin60 °=72× = 36 （海里），速度为每小时 36 ÷（10-8）=18 （海里），18×1.732≈31 （海里/时）． -19- 第一章 直角三角形的边角关系 3. 1 提示：如图，作 BD⊥AC 于点 D，当轮船航行到点 D 时，离灯塔最近，∠DAB= 30 ° ，∠DCB=60°，则∠CBD=∠CBA=30°．∴AC= BC，∵ 轮船以 40 海里/时的速度在海面上航行，∴BC=AC=2×40=80（海里）， ∴CD= BC=40 海里．故该船需要继续航行的时间为40÷40=1（小时）． 4. 4 提示：过 B 作 BD⊥AC 于点 D．在 Rt△ABD 中，BD=AB·sin∠BAD=8× =4 （千米），∵ 在△BCD 中，∠CBD=45°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴CD=BD= 4 千米， ∴BC= BD=4 千米． -20- 第一章 直角三角形的边角关系 5. 20 提示：如图，过点 D 作 DE⊥BC 于 E，如图． 由题意可知：∠DAC=75°-30°=45°，∠BCD=180°-75°-45°=60°． 又 ∵BC=BD=40 m，∴△BCD 为等边三角形，∴DE= BD=20 m． 在 Rt△ADE 中，∠AED=90°，∠DAE=45°，∴∠ADE=45°， ∴AE=DE=20 m，AD= m． -21- 第一章 直角三角形的边角关系 6. 解：如图，作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D， 设 BD=x，∵∠BCD=30°，∴CD= = x， 因为∠CAD=45°，∴AD=CD= x， ∴AB= x-x， 设渔政船航行速度为v ，依据题意， 有 x-x=0.5v，化简得 （小时）. 答：渔政船再航行 小时，离渔船 C 的距离最近. 7. 40 海里 -22- 第一章 直角三角形的边角关系 第二课时 仰角、俯角问题 1. D 提示：∵BC⊥AB，∠BCA=67°，∴∠BAC=90°-∠BCA=23°，从低处 A 处看高处 C 处，那么点 C 在点 A 的仰角 23°方向. 2. C 提示：由题意得 AE=BD，即 AE=b． 在 Rt△AEC 中，∠CAE=33°，tan33°= ，∴CE=AEtan33°=btan33°．则 CD=CE+ED=btan33°+a． 3. C 提示：在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中，AB=a，tanα= ，tanβ= ，∴BC=atanα，BD= atanβ， ∴CD=BC+BD=atanα+atanβ. -23- 第一章 直角三角形的边角关系 4. 50（ +1） 提示：在 Rt△ABD 中，∵∠ADB=45°，∴ BD=AB．在 Rt△ABC 中，∵∠ACB=30°，∴ ，∴BC= AB． 设AB=BD=x，∵CD=100，∴BC=x+100．∴ x+100= x， ∴ x= =50（ +1）米． 5. 40 提示：在 Rt△BCE 中，有 CE= 10 米，在 Rt△ACE 中，可得 AE=CE· tan60°=30 米，故 AB=AE+EB=30+10=40（米）. 6. h 提示：如图，作 CE⊥AB 于点 E，∵∠DAB=90°-60°=30°， ∴tan30°= ， ∴CE=BD= h， ∵∠ACE=30°，∴AE=CEtan30°= h， ∴CD=BE=AB-AE= h. -24- 第一章 直角三角形的边角关系 7. 解：如图，分别过 A，B 作地面的垂线，垂足分别为 D，E． 在 Rt△ADC 中， ∵AC=20，∠ACD=60°， ∴AD=20×sin60°=10 ≈17.32， 在 Rt△BEC 中，∵BC=24，∠BCE=45°， ∴BE=24×sin45°=12 ≈16.97． ∵17.32＞16.97，∴ 风筝 A 离地面更高． 8. 50-10 提示：如图，过点 E 作 EG⊥ AB 于 G，过点 F 作 FH⊥AB 于 H，则四边形 ECBG，HBDF 是矩形，∴EC =GB =20，HB=FD， ∵B 为 CD 的中点，∴EG=CB=BD=HF， 由已知得：∠EAG=90°-60°=30°，∠AFH= 45°. 在 Rt△AEG 中，AG=AB-GB=50-20= 30（米）， ∴EG=AG·tan30°=30× =10 （米）， 在 Rt△AHF 中，AH=HF=10 米， ∴FD=HB=AB-AH=（50-10 ）米． -25- 第一章 直角三角形的边角关系 第三课时 坡度问题 1. A 提示：如图，∵ 坡 AB 的坡度为 1∶ ， ∴ 设 AC=x，BC= x，根据勾股定理得， AC2+BC2=AB2，即 x2+（ x）2=202，解得 x=10，即坝的高度为 10 米. 2. A 提示：如图，延长 AC 交 BF 的延长线于 D 点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于点E，在Rt△CFE 中，∠CFE=30°，CF=4 米， ∴CE=2 米，EF=4×cos30°=2 （米），∵ 同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面 放置的标杆在地面上的影长为 2 米，∴ 在 Rt△ABD 和 Rt△CED 中， AB∶BD=CE∶DE=1∶2，∴DE=4 米，∴BD=BF+EF+ED=（12+2 ）米， 在 Rt△ABD 中，AB= BD= ×（12+2 ）=（6+ ）米. -26- 第一章 直角三角形的边角关系 3. 30° 提示：∵ 自动扶梯 AB 的坡度 i=1∶ ，∴ ， 在 Rt△ABC 中，tanα= ，∴α=30°. 4. 96 提示：由题得 DC＝4 m，DE＝CF＝6 m，tanA＝ ，∠B＝45°． ∵tanA＝ ，∴AE＝3DE＝18 m． ∵DC∥AB，DE⊥AB， ∴ 四边形 EFCD 为矩形，∴CD＝EF＝4 m． ∵CF⊥AB，∠B＝45°，∴BF＝CF＝6 m． ∴AB＝AE＋EF＋BF＝18＋4＋6＝28（m）． ∴ 河堤横断面的面积＝（4 ＋28）×6 ÷2 ＝ 96（m2）． 5. 解：∵cosD＝cos∠ABC＝ ≈0.94， ∴∠D≈20°， 故坡角∠D 的度数约为 20°． -27- 第一章 直角三角形的边角关系 6. 解：在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°， ∴AC＝AB·sin∠ABC＝12× =6，BC＝AB·cos∠ABC＝12× ， ∵ 斜坡 BD 的坡度是 1∶3，即 ， ∴CD＝ BC＝2 ，∴AD＝AC－CD＝6－2 ． 答：开挖后小山坡下降的高度 AD 为（6－2 ）米． 7. 2∶3 提示：斜面 AB 的坡度为 =2∶3. $$