1.5.1 全称量词与存在量词课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 1 .“南使孤帆远，东风任意吹” 2 . 咱们会经常听到“全体起立”、“所有的同学都到了”、 “有的同学 没有交作业”、 “存在不是有理数的实数” ； 这里出现了一些在数学中非常重要的量词，“任意，所有的，全体，有的，存在”等，今天我们就对含有这些量词的命题进行研究学习. 导 入 全称量词 (1)x>3 (2)2x+1是整数 (3)对所有的x R,x>3 (4)对任意一个x Z,2x+1是整数 是 是 不是 不是 (3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量 x进行限定; 关系: (3)(4) 全称量词命题 (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定. 问题1 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? 【1】常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”“全部的”“只要是”“任意的”“凡是”等等 全称量词命题中一般含有全称量词，但是有些全称量词命题中的全称 量词是省略的，理解时需要把它补充出来。 例如“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分” 想一想： “三角形内角和是180°”是全称量词命题吗？ 关系: 存在量词 问题讨论2 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句; 不是 不是 是 是 (4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使 (4)变成了可以判断真假的语句. (3)(4) 存在量词命题 常见的存在量词还有“对某个”“对某些”“有一个”“有的”等等 小试牛刀 × × × √ √ 二、迁移应用 题型一 全称量词命题与存在量词命题的辨析 解： (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题． (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． (4)含有量词“存在”，是存在量词命题． 总结 全称量词命题与存在量词命题的判断 练习1 解：  题型二　全称量词命题和存在量词命题的真假判断 总结 全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧 1.全称量词命题真假的判断: 要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出限定集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). 2.存在量词命题真假的判断: 要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题. 练习2 解： 例3.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠∅,若命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,求实数m的取值范围.  题型三　含有一个量词的命题求参数问题 总结 课堂小结 一．易错提醒 1.注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化. 2.注意省略量词的命题的真假判断. 二．判断全称、存在量词命题真假的方法: 1.若全称量词命题为真，则给定集合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一反例即可. 2.若存在量词命题为真，则给定集合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题. 堂测 解： （1）∃x<0，(1＋x)(1－9x)>0 （2）∀x≤0， ≤0 3. 已知方程 （1）若，使方程有一个实根，求的取值范围. （2）若，方程无解，求集合M ∀ 全称量词 ∀x∈M，p(x) 1．全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做　　　　，并用符号“　”表示． (2)含有　　　　的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为　　　　　　　． 全称量词 ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 2．存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做　　　　，并用符号“　”表示． (2)含有　　　　的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“　　　　　　　”． 存在量词 思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　　) (2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．(　　) (3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．(　　) (4) “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　 　) (5)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( 　) 例1判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． (4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点． 将下列命题用“∀”或“∃”表示． (1)实数的平方是非负数； (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根。 (1)∀x∈R，x2≥0. (2)∃x0<0，axeq \o\al(2,0)＋2x0＋1＝0(a<0)． 例2 判断下列命题的真假． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)存在对角线不互相垂直的菱形． (1)因为eq \r(2)是无理数，但(eq \r(2))2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． (2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． (3) 由于所有菱形的对角线都互相垂直．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． 判断下列命题的真假． (1)有的集合中不含有任何元素． (2) ∀x∈R，有|x＋1|>1． (3)∃x∈R，满足3x2＋2>0. (4)有些整数只有两个正因数． (1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题． (2) 当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“∀x∈R，有|x＋1|>1”为假命题． (3)∀x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“∃x∈R,3x2＋2>0”是假命题． (4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题． 解：因为命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,所以B⊆A,又B≠∅, m+1≤2m-1 m+1≥-2 2m-1≤5 解得2≤m≤3. 故实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}. 解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数范围问题. 5.将下列命题用“∀”或“∃”表示． (1)“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”； (2）“任意一个不大于0的数的立方不大于0”. 1.四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2； ③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为________． 0 解析： ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题； ②因为x＝±eq \r(2)时，x2＝2，而±eq \r(2)为无理数，故②为假命题； ③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题； ④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题． $$