3.3幂函数讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修第一册 夯实基础篇 13幂函数 第三章 函数的概念与性质 夯实基础篇-13幂函数 1、 问题导学 1. 我们学过一次函数,二次函数,反比例函数,高中还将要学习哪些基本初等函数呢? 2. 本节课我们就利用前面学习过的函数的概念及性质,认识一类基本初等函数-幂函数。 3. 幂函数的定义?幂函数有哪些性质?有哪些特殊的幂函数? 2、 知识构建 知识点一:幂函数的概念 一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数. 知识点二:五个幂函数的图象与性质 1.在同一平面直角坐标系内函数的图像 (1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) 观察上图,可以得到五个幂函数的性质如下: 2.五个幂函数的性质 函数 图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 知识点三:拓展结论-一般幂函数的性质 (1),当时,在单调 .; (2),当时,在单调 .. 3、 类型剖析 类型一:幂函数的概念的理解 类型二:利用幂函数概念求解析式或求值 类型三:幂函数的图象及性质 类型四:利用幂函数图像与性质比较大小 类型五:利用幂函数的单调性解不等式 三、类型应用 类型一-幂函数的概念 【例1】在函数①,②,③ ,④,⑤,⑥中,是幂函数的是( ) A.①②④⑤ B.③④⑥ C.①②⑥ D.①②④⑤⑥ 【跟踪训练1-1】下列函数中不是幂函数的是( ) A. B. C. D. 【跟踪训练1-2】现有下列函数:①;②;③;④;⑤;⑥;⑦,其中幂函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【例2】已知函数为幂函数,则实数的值为( ) A.或 B.或1 C. D.1 【跟踪训练2-1】已知幂函数的定义域为,则实数 . 【跟踪训练2-2】已知幂函数是偶函数,则 . 【跟踪训练2-3】已知幂函数在上为增函数,则实数m的值是 . 【跟踪训练2-4】已知幂函数的图像关于轴对称,则等于( ) A.1 B.2 C.1或2 D.3 类型二:利用幂函数概念求解析式或求值 【例3】已知幂函数过点,则该幂函数解析式为 . 【跟踪训练3-1】若幂函数的图象经过点,则f等于( ) A.4 B.2 C. D. 【跟踪训练3-2】已知幂函数的图象经过点,则( ) A. B.1 C.2 D.3 【跟踪训练3-3】幂函数的图象经过,,则m的值为( ) A.4 B. C.2 D. 【跟踪训练3-4】已知幂函数的图象过点,则等于( ) A. B.1 C. D.2 类型三-幂函数的图象及性质 【例4】右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象,已知n分别取,,2四个值,相应的曲线对应的n依次为( ) A.,,1,2 B.2,1,, C.,,2, D.2,,, 【跟踪训练4-1】幂函数,,,的图象如图,则将m,n,p,q的大小关系用“<”连接起来结果是_. 【跟踪训练4-2】函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 【例5】已知幂函数的图象过点,则下列关于的说法正确的是( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.的定义域为 D.在上单调递增 【跟踪训练5-1】下列幂函数中,在定义域内是偶函数且在上是减函数的是( ) A. B. C. D. 【跟踪训练5-2】设,则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为( ) A. B. C. D. 【例6】证明函数在上是增函数. 【跟踪训练6】根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性. 类型四-利用幂函数图像与性质比较大小 【例7】利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小: (1),;(2),. 【跟踪训练7-1】比较下列各组数中两个数的大小: (1) ; (2) 【跟踪训练7-2】比较下列各组数的大小: (1); (2) ; 类型五:利用幂函数的单调性解不等式 【例8】 【跟踪训练8-1】若幂函数图象过点,且,则的范围是( ) A. B. C. D. 【跟踪训练8-2】已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式; (2)若,求的取值范围. 4、 素养提升 1. 已知幂函数的图象过点,试画出的图象并指出该函数的定义域与单调区间. 2.画出函数的图象,并判断函数的奇偶性,讨论函数的单调性. 5、 数学情境 1. 幂函数为什么叫“幂函数”呢?幂,本义为方布.三国时的刘徽为《九章算术 方田》作注:“田幂,凡广(即长)从(即宽)相乘谓之乘.”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积;明代徐光启翻译《几何原本》时,自注曰:“自乘之数曰幂”.幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘,即,函数为幂函数,则 . 2.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率v,(单位:)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比. (1)写出气体流量速率v,关于管道半径r的函数解析式; (2)若气体在半径为3cm的管道中,流量速率为,求该气体通过半径为r的管道时,其流量速率v的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率(精确到). 六、随堂检测 1.下列函数中幂函数的是( ) A. B. C. D. 2.函数的大致图像是( ) A.B.C. D. 3.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 4.若幂函数的图象经过点,则=( ) A. B.2 C.4 D. 5.已知幂函数,则( ) A. B.1 C. D.2 6.幂函数在上是减函数,则实数的值为( ) A.2或 B. C.2 D.或 7.若幂函数图象过点,且,则的范围是( ) A. B. C. D. 8.幂函数在第一象限的图象如图所示,若,则 . 9.若幂函数的图像过点,则此函数的解析式是 . 10.幂函数在上单调递增,则 . 11.已知.若幂函数为奇函数,且在上递减,则 . 12. 下列幂函数中是奇函数且在上单调递增的是 (填序号). ①;②;③;④;⑤. 13.写出一个具有性质①②③的幂函数 . ①是奇函数;②在上单调递增;③. 13.比较下列各组数中两个数的大小. (1) ;(2) . 14.已知幂函数的图象过点. (1)求的值; (2)若,求实数a的取值范围. 15.已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式; (2)设函数,求在区间上的值域. 2 / 2 学科网(北京)股份有限公司 $$必修第一册 夯实基础篇 13幂函数 第三章 函数的概念与性质 夯实基础篇---13幂函数 1、 问题导学 1. 我们学过一次函数，二次函数，反比例函数，高中还将要学习哪些基本初等函数呢？ 2. 本节课我们就利用前面学习过的函数的概念及性质，认识一类基本初等函数---幂函数。 3. 幂函数的定义？幂函数有哪些性质？有哪些特殊的幂函数？ 2、 知识构建 知识点一：幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 知识点二：五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数的图像 (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 2．五个幂函数的性质 函数 图像 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 递增，递减 增函数 增函数 和递减 过定点 点 知识点三：拓展结论--一般幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2），当时，在单调递增； （3），当时，在单调递减. 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 3、 类型剖析 类型一：幂函数的概念的理解 类型二：利用幂函数概念求解析式或求值 类型三：幂函数的图象及性质 类型四：利用幂函数图像与性质比较大小 类型五：利用幂函数的单调性解不等式 三、类型应用 类型一---幂函数的概念 【例1】在函数①，②，③ ，④，⑤，⑥中，是幂函数的是(　　) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【答案】C 【解析】幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C. 【跟踪训练1-1】下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义逐个分析选项即可. 【详解】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确； 对于选项B，是幂函数，故B项正确； 对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立； 对于选项D，是幂函数，故D项正确. 故选：C. 【跟踪训练1-2】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可 【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个 故选：B 【例2】已知函数为幂函数，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C． D．1 【答案】C 【分析】直接根据幂函数的定义求解即可． 【详解】∵为幂函数， ∴， ∴，或， 又， ∴， 故选：C． 【跟踪训练2-1】已知幂函数的定义域为，则实数 . 【答案】3 【分析】根据题意，由幂函数的定义以及性质，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得或， 当时，，定义域为； 当时，，定义域为，不满足； 所以. 故答案为：3 【跟踪训练2-2】已知幂函数是偶函数，则 . 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义和奇偶性即可求解. 【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或. 当时，，是奇函数； 当时，，是偶函数，符合题意， 所以的值为1. 故答案为：1 【跟踪训练2-3】已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是 ． 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义求得，再由单调性确定最终结论． 【详解】由题意，解得或，时，在上递减，时，在上递增，所以． 故答案为：3. 【跟踪训练2-4】已知幂函数的图像关于轴对称，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】A 【分析】根据幂函数以及幂函数的对称性确定正确答案. 【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或. 当时，，是偶函数，图像关于轴对称，符合题意. 当时，，是奇函数，图像不关于轴对称，不符合题意. 所以的值为. 故选：A 类型二：利用幂函数概念求解析式或求值 【例3】已知幂函数过点，则该幂函数解析式为 . 【答案】 【分析】设幂函数解析式为，然后将点代入解析式求解即可. 【详解】设幂函数解析式为，将点代入得， 所以.所以该幂函数解析式为. 故答案为： 【跟踪训练3-1】若幂函数的图象经过点，则f等于（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】待定系数法设出幂函数的方程，根据经过点，可求出函数的解析式，进一步计算即可. 【详解】设，因为函数过点， 则，所以， 所以 则 故选： 【跟踪训练3-2】已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】设，由，得， ，则.故选：D 【跟踪训练3-3】幂函数的图象经过,,则m的值为( ) A.4 B. C.2 D. 【答案】B 【解析】设，因为的图象经过， 所以，解得, 所以， 又因为的图象经过， 所以. 故选B. 【跟踪训练3-4】已知幂函数的图象过点，则等于( ) A. B.1 C. D.2 【答案】C 类型三---幂函数的图象及性质 【例4】右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 【答案】B 【分析】利用幂函数的图象性质逐一观察判断即可. 【详解】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为； 对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为； 对应的图象为抛物线，对应的图象应为； 在第一象限内的图象是； 所以与曲线对应的n依次为2，1，，. 故选：B 【跟踪训练4-1】幂函数，，，的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________． 【答案】　n<q<m<p 【跟踪训练4-2】函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据幂函数的性质直接判断即可. 【详解】由幂函数性质知：的定义域为，且在第一象限内单调递减， ABC错误，D正确. 故选：D. 【例5】已知幂函数的图象过点，则下列关于的说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的定义域为 D．在上单调递增 【答案】D 【分析】求出幂函数的解析式，利用幂函数的基本性质逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】因为函数为幂函数，设，则，解得， 所以，，所以，函数的定义域为， 函数为非奇非偶函数，且该函数在上单调递增，ABC都错，D对. 故选：D. 【跟踪训练5-1】下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据初等函数的性质，结合奇偶性的定义与判定，以及初等函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为定义域上的偶函数， 再由幂函数的性质，可得函数在为减函数，所以A正确； 对于B中，函数，可得函数为定义域上的奇函数，所以B不正确； 对于C中，函数在为单调增函数，所以C错误； 对于D中，函数的定义域，其中定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，所以D不正确. 故选：A. 【跟踪训练5-2】设，则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查的是幂函数的性质，将分别代入判断函数的定义域与奇偶性即可. 【解析】 时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，偶函数，不符合题意；时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意. 故选：C. 【例6】证明函数在上是增函数. 【解析】 法一:任取,,且 ,则有,, 因为, 所以, 即函数在上是增函数. 方法二:任取,,且, 则有,且,,, 所以, 故在上为增函数. 【跟踪训练6】根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性. 【答案】证明见解析. 【分析】根据函数奇偶性的定义判断，利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可. 【详解】证明：的定义域为R. 任取，且，则. ，且，，. ，即. 在上为增函数. 又，为奇函数. 【点睛】本题考查幂函数的单调性及奇偶性的证明，属于基础题. 类型四----利用幂函数图像与性质比较大小 【例7】利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1），；（2），. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据的单调性比较大小； （2）根据在上的单调性比较大小. 【详解】解：（1）设，则在R上为增函数. ，. （2）设，则在上为减函数， ，. 【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题. 【跟踪训练7-1】比较下列各组数中两个数的大小： (1) ； (2) 【答案】（1）> （2）> 【解析】 (1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又>，所以0.3>0.3. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－<－，所以－1>－1. 【跟踪训练7-2】比较下列各组数的大小： (1)； (2) ； 【答案】（1）> （2）> 【解析】 (1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且＞， ∴0.5＞0.5. (2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3. 类型五：利用幂函数的单调性解不等式 【例8】 注意：构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小． 【答案】. 【解析】因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以 解得－1≤m<.故实数m的取值范围为. 【跟踪训练8-1】若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知条件可得，解得，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得.故选：B. 【跟踪训练8-2】已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是增函数，故， ，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又，的定义域为， ，解得， 的取值范围是． 4、 素养提升 1. 已知幂函数的图象过点，试画出的图象并指出该函数的定义域与单调区间. 【答案】图象见解析，定义域为，单调减区间为，单调增区间为. 【分析】将点代入函数中可求出的值，从而可求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质可得其单调区，图象和定义域. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得，所以 所以的图象如图所示，定义域为，单调减区间为，单调增区间为.    2.画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性. 【答案】图像见解析，偶函数，讨论见解析 【分析】将绝对值去掉，将函数解析式写出分段函数的形式，再根据幂函数的性质及图象画出函数图象，从而可以判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】解： 的图象如图所示，    设的定义域为R. ， 为偶函数. 当时，为增函数，证明如下： 设任意的，且，则. ，且即. 在上为增函数. 当时，为减函数，证明如下： 设任意的，且，则. ，且，即. 在上是减函数. 【点睛】本题考查分段函数及幂函数的图象及性质，属于中档题. 5、 数学情境 1. 幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布.三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘.”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”.幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即，函数为幂函数，则 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义进行求解即可得． 【详解】解：因为函数为幂函数， 所以可得，解得． 故答案为：1 2.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比. （1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1））设比例系数为，由题意可得：． （2）代入可得． （3）利用（2）的表达式即可得出． 【详解】解：（1）设比例系数为，气体的流量速率关于管道半径的函数解析式为. （2）将与代入中，有.解得， 所以，气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式为. （3）当时，.所以，当气体81通过的管道半径为5cm时，该气体的流量速率约为. 【点睛】本题考查了正比例函数的解析式及幂函数其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 六、随堂检测 1.下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 2.函数的大致图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的特点即可求解. 【详解】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像. 故选：A. 3.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】因为，则，可得， 故函数的定义域为. 故选：D. 4.若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可. 【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故选：C 5.已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出，得到解析式，代入求值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，即， 所以，. 故选：A. 6.幂函数在上是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 【答案】B 【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解的值. 【详解】由题意可知，，解得：或， 当时，，函数在上是减函数，成立， 当时，，函数在上是增函数，不成立， 所以. 故选：B 7.若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件求出的知，分析函数在上的单调性，由可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由已知条件可得，解得，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得. 故选：B. 8.幂函数在第一象限的图象如图所示，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据幂函数的图象与性质，结合题意，即可求解. 【详解】由幂函数的图象可得，函数在单调递增，且增长趋势越来越缓慢， 又由，则只有满足条件． 故答案为：． 9.若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【答案】 【分析】设，再代入求解即可. 【详解】设，由图像过点可得，解得. 故答案为： 10.幂函数在上单调递增，则 ． 【答案】 【分析】 利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】由幂函数在上单调递增，得，所以. 故答案为： 11.已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 . 【答案】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 12. 下列幂函数中是奇函数且在上单调递增的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤. 【答案】②④ 【分析】利用奇函数排除给定的部分函数，再利用单调性判断作答. 【详解】函数是偶函数，函数是非奇非偶函数，即①③不是； 函数是奇函数，但在上单调递减，⑤不是； 函数，都是奇函数，且在上单调递增，②④是. 故答案为：②④ 13.写出一个具有性质①②③的幂函数 ． ①是奇函数；②在上单调递增；③． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用幂函数的图象和性质，判断满足性质①②③的幂函数. 【详解】由幂函数的性质可知，同时满足性质①②③. 故答案为：（答案不唯一） 13.比较下列各组数中两个数的大小. (1) ；(2) . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据幂函数的单调性比较大小 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增，且， 所以， （2）因为幂函数在上单调递减，且， 所以. 14.已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，得到的值即可求出函数解析式，最后求函数值即可； （2）根据函数的定义域和单调性，得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）将代入可得，解得，故，所以； （2）因为在上单调递增，且， 所以，解得，即实数a的取值范围是. 15.已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）首先得到解析式，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，，函数图象关于轴对称，符合题意； 当时，，函数图象关于原点对称，不符合题意； 综上可得，. （2）因为，， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以， 即在区间上的值域为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$