取整函数与小数函数（高斯函数）讲义-2025届高三数学一轮复习

取整函数与小数函数 1. 取整函数： 定义：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数。 函数y=[x]称为取整函数，也称高斯函数。 数学中的取整函数一般指向下取整。 例如[3.4]=3，[-2.7]=-3，而不是-2。 图象为台阶型线段； 图象与直线的交点个数(方程根的个数)：0个; 2. 小数函数 定义：{x}=x-[x]，表示x的非负纯小数。函数y={x}称为小数函数。 [x]实际上为x的整数部分，所以x-[x]就为x的小数部分。{3.4}=3.4-3=0.4，{-2.7}= -2.7-（-3）=0.3 3. 性质 性质1：对任意x∈R，y=[x]的值域为Z； y={x}值域为 性质2：对任意x∈R，[x]-1<[x]≤x<[x]+1；0≤{x}<1 性质3：取整函数是一个不减函数，即当x1<x2时，[x1]≤[x2]； 性质4：若x∈R，m∈Z，则有[x+m]=[x]+m；{x+m}={x}+m（“释放整数”） 性质5：加法性质 ①[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1 证明： 法一：由[x]≤x<[x]+1，[y]≤y<[y]+1，得[x]+[y]≤x+y<[x]+[y]+2 所以[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1 法二：因为x=[x]+{x}，x=[y]+{y}； 所以x+y=[x]+[y]+{x}+{y}, [x+y]=[[x]+[y]+{x}+{y}]=[x]+[y]+[{x}+{y}] 又0≤{x}<1，0≤{y}<1 所以0≤{x}+{y}<2 当0≤{x}+{y}<1时，x+y=[x]+[y] 当1≤{x}+{y}<2时，x+y=[x]+[y]+1 ②{x+y}≤{x}+{y} 证明：要证{x+y}≤{x}+{y}，只需证x+y-[x+y]≤x-[x]+y-[y]， 即证-[x+y]≤ -([x]+[y])，等价于[x]+[y]≤[x+y] ③推广：，特别的，若n∈N*，则n[x]≤[nx] ，特别的，若n∈N*，则n{x}n{x} 性质6：乘法性质 若x，y∈R*，则[x][y]≤[xy] 推广：若xi∈R*，则≤，特别得，若x∈R*，n∈N*，则[x]n≤[xn]，[]≤[x] 性质7：除法性质 若x，y∈R*，则[] ≤ 性质8：若n∈N*，则=[ 证明：设[=m,则m≤ <m+1，mn≤x<mn+n，则mn≤ x <(m+1)n 因为mn∈Z，所以mn≤ [x]<(m+1)n， 则m≤<(m+1)，所以=m=[ 【例1】高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设，用符号表示不大于x的最大整数，如，称函数叫做高斯函数．给出下列关于高斯函数的说法：①  ②若，则  ③函数的值域是  ④函数在上单调递增．其中错误说法的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【例3】对于任意实数，均能写成的整数部分与小数部分的和，其中称为的整数部分函数，称为的小数部分函数，即. 比如，其中；，，则下列的结论正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得. 【例4】高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉.高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（    ） A．的值域是 B．方程有无数组解 C．是单调函数 D．方程有3个根 跟踪训练 1．函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 4．（多选），表示不超过的最大整数，我们把，称为取整函数，以下选项关于“取整函数”正确的是（    ） A．， B．， C．， D．，，则 5．（多选）高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，.下列结论正确的是（    ） A．对，若，则 B．函数是上的奇的数 C．对任意实数， D．对任意实数， 6. （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.下列说法正确的是（    ） A．对于，，有 B．如果，，则 C．，，且1至之间的整数中，有个是的倍数 D．方程共有2个不等的实数根 7．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为 ． 8．已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 取整函数与小数函数 1. 取整函数： 定义：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数。 函数y=[x]称为取整函数，也称高斯函数。 数学中的取整函数一般指向下取整。 例如[3.4]=3，[-2.7]=-3，而不是-2。 图象为台阶型线段； 图象与直线的交点个数(方程根的个数)：0个; 2. 小数函数 定义：{x}=x-[x]，表示x的非负纯小数。函数y={x}称为小数函数。 [x]实际上为x的整数部分，所以x-[x]就为x的小数部分。{3.4}=3.4-3=0.4，{-2.7}= -2.7-（-3）=0.3 3. 性质 性质1：对任意x∈R，y=[x]的值域为Z； y={x}值域为 性质2：对任意x∈R，[x]-1<[x]≤x<[x]+1；0≤{x}<1 性质3：取整函数是一个不减函数，即当x1<x2时，[x1]≤[x2]； 性质4：若x∈R，m∈Z，则有[x+m]=[x]+m；{x+m}={x}+m（“释放整数”） 性质5：加法性质 ①[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1 证明： 法一：由[x]≤x<[x]+1，[y]≤y<[y]+1，得[x]+[y]≤x+y<[x]+[y]+2 所以[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1 法二：因为x=[x]+{x}，x=[y]+{y}； 所以x+y=[x]+[y]+{x}+{y}, [x+y]=[[x]+[y]+{x}+{y}]=[x]+[y]+[{x}+{y}] 又0≤{x}<1，0≤{y}<1 所以0≤{x}+{y}<2 当0≤{x}+{y}<1时，x+y=[x]+[y] 当1≤{x}+{y}<2时，x+y=[x]+[y]+1 ②{x+y}≤{x}+{y} 证明：要证{x+y}≤{x}+{y}，只需证x+y-[x+y]≤x-[x]+y-[y]， 即证-[x+y]≤ -([x]+[y])，等价于[x]+[y]≤[x+y] ③推广：，特别的，若n∈N*，则n[x]≤[nx] ，特别的，若n∈N*，则n{x}n{x} 性质6：乘法性质 若x，y∈R*，则[x][y]≤[xy] 推广：若xi∈R*，则≤，特别得，若x∈R*，n∈N*，则[x]n≤[xn]，[]≤[x] 性质7：除法性质 若x，y∈R*，则[] ≤ 性质8：若n∈N*，则=[ 证明：设[=m,则m≤ <m+1，mn≤x<mn+n，则mn≤ x <(m+1)n 因为mn∈Z，所以mn≤ [x]<(m+1)n， 则m≤<(m+1)，所以=m=[ 【例1】高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设，用符号表示不大于x的最大整数，如，称函数叫做高斯函数．给出下列关于高斯函数的说法：①  ②若，则  ③函数的值域是  ④函数在上单调递增．其中错误说法的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【解析】对①，由高斯函数的定义，可得，故①正确； 对②，若，则，而表示不大于x的最大整数， 则，即，故②正确； 对③，函数，当时，，故③错误； 对④，函数，即函数为分段函数， 在上单调递增，故④正确. 故选：C 【例2】对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【解析】对于A：当时，，当时，， 所以，不是奇函数，即函数的图象不是关于原点对称，故A错误； 对于B：由取整函数的定义知， ，所以， ，函数的值域为，故B正确； 对于C：由取整函数的定义知，，， 所以，故C正确； 对于D：由得，解得， 结合取整函数的定义可得，故D正确. 故选：BCD. 【例3】对于任意实数，均能写成的整数部分与小数部分的和，其中称为的整数部分函数，称为的小数部分函数，即. 比如，其中；，，则下列的结论正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得. 【解析】A. 因为称为的小数部分，所以，故正确； B. 因为称为的小数部分，所以，故正确； C. 当时， ，故，故错误； D.当时，，故正确. 故选：ABD 【例4】高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉.高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（    ） A．的值域是 B．方程有无数组解 C．是单调函数 D．方程有3个根 【解析】因为表示不超过的最大整数，设，则， 则,，即的值域为,，故A正确． 当，，且时, ，所以，故B正确； 当时，此时，故C错误； ， 当，则， 当，则（不符合题意，舍去）， 当，则， 当时，，故D正确， 故选：ABD 跟踪训练 1．函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解，即可根据取整函数的定义求解. 【详解】，当且仅当时取等号， 由可得， 所以，故， 故选：C 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性可判断为奇函数，结合高斯函数的定义以及不等式求出的值域，利用的意义进行计算即可． 【详解】在上单调递减， 又故为奇函数， 当时，，，进而 所以，，又，此时 当时，，，故，所以， 所以，，此时 时，． 综上可得的值域是， 故选：C 3．（多选）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 【答案】BCD 【分析】举出反例可判断A，举例可判断B，设，则，，求出的范围可判断C；根据取值特征可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设，则 ，故B正确； 对于C，设，则，，则，所以，故C正确； 对于D，时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由， 可得时，成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解. 4．（多选），表示不超过的最大整数，我们把，称为取整函数，以下选项关于“取整函数”正确的是（    ） A．， B．， C．， D．，，则 【答案】ABC 【分析】可取特殊值判断AC，利用不等式性质及取整数的意义推理可判断选项BD. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，设 则 所以或， 当时，， 此时，即； 当时， 此时即； 综上，，故B正确； 对于C ，当时，， 所以，故C正确； 对于D，若，设,则， 所以从而，故D错误； 故选：ABC. 5．（多选）高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，.下列结论正确的是（    ） A．对，若，则 B．函数是上的奇的数 C．对任意实数， D．对任意实数， 【答案】AD 【分析】利用函数定义及单调性的定义判断A；通过举例来判断BC；设，其中为的整数部分，为的小数部分，，分，讨论计算来判断D. 【详解】对于A：对，若，则，即，故A正确； 对于B：例如，，即， 故函数不是奇函数，故B错误； 对于C：取，，，不满足， 故C错误； 对于D：设，其中为的整数部分，，为的小数部分，， 则，， 若，可得，， 若，可得，， 所以对任意实数，，故D正确； 故选：AD. 6. （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.下列说法正确的是（    ） A．对于，，有 B．如果，，则 C．，，且1至之间的整数中，有个是的倍数 D．方程共有2个不等的实数根 【答案】ABC 【详解】A：设，其中分别是x，y的整数部分，分别是x，y的小数部分， 则， 所以，故A正确； B：，所以，故B正确； C：因为，所以，故C正确； D：由，得，则. 当时，，此时； 当时，，代入原方程，得， 即或（舍去），解得； 当时，，代入原方程，得，即，不符合题意； 当时，，代入原方程，得， 即或（舍去），解得， 综上，原方程共有3个不同的实根，故D错误. 故选：ABC 【点睛】对于函数的新定义试题的求解：根据函数的定义，可通过举例说明不正确；也可以充分理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解. 7．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】根据题意，设， 则， 当时，，所以，即，所以，此时的取值为1； 当时，，所以，即，所以，此时的取值为； 综上，的值域为， 故答案为：. 8．已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出，将两式和做差，得出关于的隔项关系式，根据累加求和，求得通项即可； （2）由于……，给出“当时，，……”等结论，分组计算数列的前项和即可. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以，将两式相减，得：， 所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列. 当为奇数时，，，……，且， 则， 当为偶数时，则， 所以. （2）设的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$