精品解析：上海市上海中学2023-2024学年高二下学期期终考试数学试题

上海中学2024年高二年级第二学期期终考试数学试题 高二_______班 学号 _________ 姓名 _________ 成绩 一、填空题 （每题 3 分， 共 36 分） 1. 已知事件 满足 ，则 ___________． 2. 把封不同的信投入个不同的信箱，不同的投法种数共有______种． 3. 已知 ，则 ___________． 4. 在的展开式中，的系数为 ___________(以数字作答) 5. 函数 的驻点为___________． 6. 若随机变量 服从正态分布 ，则 ___________． 7. 集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有___________个． 8. 从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面的概率为___________． 9. 若不等式对任意成立，则的取值范围是___________． 10. 对于在定义域上恒大于的函数 ，令 ． 已知 与 的导函数 满足关系式 ． 由此可知，函数 在 处的切线方程为 ___________． 11. 甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票， 因此 他们决定自行安排这些座位． 高铁列车的座位安排如图， 甲希望坐在靠窗的座位上， 乙 不希望坐在 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上 (中间不能隔着过道)， 则满足要求的座位安排方式共有___________种． 12. 将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 二、选择题 （每题 4 分， 共 16 分） 13. 设，则（ ） A. B. C. D. 14. 某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （ ） A. 二项分布 B. 超几何分布 C. 正态分布 D. 伯努利分布 15. 将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （ ） A. B. C. D. 16. 现有编号分别为 的小球各两个，每个球的大小与质地均相同．将这个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为 ，则 （ ） ① 对任意 都是偶数； ② ． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题 （本大题共 5 题， 共 48 分， 解答各题须写出必要的步骤） 17. 求函数 的单调区间． 18. 某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为 ，且这些消费者可以分为三类．其中类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占比，其在一年内再次购买产品的概率为． （1）求与的值． （2）若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是类消费者的概率． 19. 某学校举办知识竞赛， 该竞赛共有三道问题， 参赛同学须回答这些 问题， 以其答对的问题的得分之和作为最终得分． 每个问题的得分与参赛同学答对的概 率如下表 (每次回答是否正确相互独立)． 定义随机变量 为最终得分． 问题一 问题二 问题三 得分 20 30 50 答对概率 0.8 0.7 0.4 （1）求 ． （2）求 与 ． 20. 设函数 ，其中 ． 且 在 与 处 的切线分别为 ． （1）若 与 平行，求 的值． （2）记（1）中 的值为 ． 当 时，记 与 轴围成的三角形面积为 ． 当 取到最小值 时，求 的值． 21. 仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”为的展开式中的系数，即其中． （1）求的值： （2）对于给定的，计算以下两式的值：与 （3）对于，记中偶数的个数为，奇数的个数为．是否存在使得？若存在，请给出一个满足要求的并说明理由；若不存在，请给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学2024年高二年级第二学期期终考试数学试题 高二_______班 学号 _________ 姓名 _________ 成绩 一、填空题 （每题 3 分， 共 36 分） 1. 已知事件 满足 ，则 ___________． 【答案】0.7## 【解析】 【分析】根据计算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：0.7 2. 把封不同的信投入个不同的信箱，不同的投法种数共有______种． 【答案】 【解析】 【分析】每封信都有中不同的投法，由分步计数原理可得，封信共有种投法. 【详解】解：每封信都有中不同的投法，由分步计数原理可得， 封信共有种投法. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，属于基础题. 3. 已知 ，则 ___________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据组合数和排列数公式计算即可. 【详解】化简可得, , , 可得. 故答案为：11. 4. 在的展开式中，的系数为 ___________(以数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 所以， 即的系数为. 故答案为： 5. 函数 的驻点为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的导数，再求出驻点即可. 【详解】函数，求导得， 由，得或（舍去），所以函数的驻点为1. 故答案为：1. 6. 若随机变量 服从正态分布 ，则 ___________． 【答案】12 【解析】 【分析】由已知求得，再由方差的性质可求得． 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 又，所以． 故答案为：12. 7. 集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有___________个． 【答案】 【解析】 【分析】令，，求出集合的非空子集数，与集合的子集数，再由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】集合中的完全平方数有，，， 令，， 则集合的非空子集有个， 集合的子集有个， 则满足条件的集合为集合的非空子集与集合的子集的并集， 故一共有个. 故答案为： 8. 从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得12条棱中任选2条方法数，再求得异面的取法数，可求概率. 【详解】从12条棱中任选2条有中选法， 从12条棱中任选一条，其任11条中有3条与其平行，有4条与其相交， 只有4条与其异面，故异面直线有对， 所以从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面的概率为. 故答案为：. 9. 若不等式对任意成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，，依题意可得在上恒成立，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】令，， 依题意在上恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以，则，所以； 当时，令，解得， 若，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，则，满足题意； 若，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，所以， 综上可得，即的取值范围是. 故答案为： 10. 对于在定义域上恒大于的函数 ，令 ． 已知 与 的导函数 满足关系式 ． 由此可知，函数 在 处的切线方程为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，令，求导得，再通过点斜式方程求切线方程. 【详解】由题意可知，， 令， 又因为， 且， 所以， 又因为， 所以由点斜式方程得：， 故切线方程为：. 故答案为：. 11. 甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票， 因此 他们决定自行安排这些座位． 高铁列车的座位安排如图， 甲希望坐在靠窗的座位上， 乙 不希望坐在 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上 (中间不能隔着过道)， 则满足要求的座位安排方式共有___________种． 【答案】14 【解析】 【分析】根据特殊位置要求分类讨论各种情况即可. 【详解】丙和丁希望坐在相邻的座位上,分类讨论： 丙和丁在DF位置上，甲在A座位上， 乙 坐在 C 座位上，戊 坐在 B座位上共有种排法； 丙和丁在AB位置上，甲在F座位上， 乙 戊 坐在 CD座位上,共有种排法； 丙和丁在BC位置上，甲在F或A座位上， 乙 戊 坐在剩下的座位上,共有种排法； 则满足要求的座位安排方式共有种排法. 故答案为：14. 12. 将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 【答案】2,3,4,6,1,5 【解析】 【分析】通过比较各个位数得出后一个排列. 【详解】根据题意，已知排列与后一个排列位置关系应当由最后两个数进行大小比较得来的，但是将后两个数比较所得排列为2,3,4,5,1,6， 根据规则，此排列应该为已知排列的前一个排列。 因此，应当从第四个数开始比较，前三个数相同，第四个数比5大，然后要保证第五个数尽量小.即2,3,4,6,1,5. 故答案为：2,3,4,6,1,5. 二、选择题 （每题 4 分， 共 16 分） 13. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复合函数导数公式直接计算可得结果. 【详解】. 故选：B. 14. 某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （ ） A. 二项分布 B. 超几何分布 C. 正态分布 D. 伯努利分布 【答案】B 【解析】 【分析】由二项分布、超几何分布、正态分布、伯努利分布定义判断即可. 【详解】一次试验只包含两个试验结果，则称此试验分布为伯努利分布； 将一个伯努利试验重复做次，叫做重伯努利试验， 一般地，在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率记为， 在次试验中事件发生的次数记为，则服从二项分布； 件产品中包含件次品，从中抽取件产品，记件产品中次品数为， 则服从超几何分布； 若随机变量的概率分布密度曲线满足正态密度函数，则称机变量服从正态分布； 所以某班级共有40名同学，其中15人是团员，现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动， 设随机变量为其中团员的人数，则随机变量服从超几何分布. 故选：B 15. 将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先计算，再利用条件概率的公式，即可求得结论. 【详解】由题意，，， 则. 故选：C 16. 现有编号分别为 的小球各两个，每个球的大小与质地均相同．将这个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为 ，则 （ ） ① 对任意 都是偶数； ② ． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】注意到为的倍数，故易得为偶数；另一方面由插空法可以得到与间的不等式. 【详解】现有编号分别为的小球各两个，我们现在分两步将这个球排成一列并使得任意编号相同的球均不相邻. 第一步，将这个数分成对数，且每对数均不相邻，设有种分法； 第二步，将个小球中相同编号的两个小球分别放到第一步分得的每一对数对应的位置上，这相当于给这对位置分配这个数，故有种分配方法. 由乘法原理得，， 当时，为偶数；当时，因为为偶数，所以也为偶数. 故任意，都是偶数，①为真命题； 另一方面，若有编号分别为的小球各两个，将它们排成一列且任意编号相同的小球不相邻之后，从这个球产生的个空隙中选出个空隙放入两个编号为的小球，完成这两步由乘法原理有种方法，但完成这两步后这个球的排列满足同号球不相邻，所以.故②也是真命题. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先将个球的排列等同于分配到个位置上，任意编号相同的球均不相邻，所以可将个位置的任意两个位置作为一组放置相同编号的球，把两个位置不相邻的组数求出来，再依次选出组依次排列编号相同的两个球即可求解. 三、解答题 （本大题共 5 题， 共 48 分， 解答各题须写出必要的步骤） 17. 求函数 的单调区间． 【答案】单调递增区间为；单调递减区间为. 【解析】 【分析】通过对函数求导，根据导数的意义，令导数大于解得单调递增区间，小于解得单调递减区间. 【详解】由题可得：的定义域为， 则 由，得，解得或， 由，得，解得， 单调递增区间为，单调递减区间为. 18. 某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为 ，且这些消费者可以分为三类．其中类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占比，其在一年内再次购买产品的概率为． （1）求与的值． （2）若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是类消费者的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）记一年内再次购买产品为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，根据求出，再由全概率公式求出； （2）由条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 记一年内再次购买产品为事件，消费者是类消费者记为事件， 消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件， 则，，， ，，， 所以，解得， 则，解得； 【小问2详解】 依题意可得. 19. 某学校举办知识竞赛， 该竞赛共有三道问题， 参赛同学须回答这些 问题， 以其答对的问题的得分之和作为最终得分． 每个问题的得分与参赛同学答对的概 率如下表 (每次回答是否正确相互独立)． 定义随机变量 为最终得分． 问题一 问题二 问题三 得分 20 30 50 答对概率 0.8 0.7 0.4 （1）求 ． （2）求 与 ． 【答案】（1）0.36 （2） 【解析】 【分析】（1）将可能性均表示出来，结合互斥事件概率即可求解； （2）先求出的可能取值以及对应的概率，再列出分布列，进而求出期望和方差即可. 【小问1详解】 事件包含了2种可能性： ①答对问题一和问题二答错问题三 ②答错问题一答错问题二答对问题三 . 【小问2详解】 的所有可能取值为： . 所以随机变量的分布列为： 20 30 50 70 80 100 0.036 0.144 0.084 0.36 0.096 0.056 0.224 所以随机变量的期望为57. 20. 设函数 ，其中 ． 且 在 与 处 的切线分别为 ． （1）若 与 平行，求 的值． （2）记（1）中 的值为 ． 当 时，记 与 轴围成的三角形面积为 ． 当 取到最小值 时，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可得，即可求出a的值； （2）由（1），根据导数的几何意义可得，求出两直线的交点坐标，利用三角形面积公式可得，结合导数求出最小值即可. 【小问1详解】 ，则， 所以， 又，所以，即， 由，解得； 【小问2详解】 由（1）知，，又，则两切点为， 所以，由，解得， 即的交点坐标为， 所以，则， 对于方程，， 所以方程有两个不同的实根，且，又，故， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值. 21. 仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”为的展开式中的系数，即其中． （1）求的值： （2）对于给定的，计算以下两式的值：与 （3）对于，记中偶数的个数为，奇数的个数为．是否存在使得？若存在，请给出一个满足要求的并说明理由；若不存在，请给出证明． 【答案】（1）；； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）直接展开计算即可； （2）赋值，再两边同时求导，再次赋值即可； （3）利用构造法证明引理，再赋值即可. 【小问1详解】 因为， 所以,，. 【小问2详解】 ，取得： . 两边同时求导于是有 取得：. 【小问3详解】 引理：. 当时，成立. 若时命题成立，则当时， . 引理得证. 则取有 于是当时，有，，是奇数，其余时是偶数. 所以，，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对二项式定义的迁移与推广，需要充分理解题意并合理赋值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $