浙江省宁波市九校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 四棱锥至多有几个面是直角三角形？（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 3. 若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 1或2 4. 已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角分别为，其中，则此山的高度为（　　） A. B. C. D. 6. 已知复数是关于x的方程的一个根，若复数z满足，复数z在复平面内对应的点Z的集合为图形M，则M围成的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m，n，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 8. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列描述正确的是（ ） A. 若事件，相互独立，，，则 B. 若三个事件，，两两独立，则满足 C. 若，，则事件，相互独立与，互斥一定不能同时成立 D. 必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 复平面内对应的点位于第二象限 D. 11. 如图，已知四面体的各条棱长均等于2，E，F分别是棱，的中点.G为平面上的一动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 三棱锥体积为 B. 线段的最小值为 C. 当G落在直线上时，异面直线与所成角的余弦值最大为 D. 垂直于的一个面，截该四面体截得的截面面积最大为1 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知直线与平行，则实数________. 13. 已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则_______. 14. 已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点. （1）用，表示； （2）求线段的长. 16. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 17. “数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 18. 如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF，将四边形ADEF沿着AD翻折到四边形ADGH的位置，连接BH，CG，形成的多面体ABCDGH如图2所示. （1）求证：AD⊥CG； （2）若AH⊥CD，试求直线CH与平面ABCD所成角的正弦值； （3）若二面角的大小为，M是线段CG上的一个动点（M与C，G不重合），试问四棱锥与四棱锥的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由 19. 矩形中，P，Q为边的两个三等分点，满足，R点从点A出发.沿着折线段向点B运动（不包含A，B两点），记，. （1）当是等腰三角形时，求； （2）当R在线段（不包含A，D两点）上运动时，证明：； （3）当R在线段（包含C，D两点）上运动时，求的最大值. 宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BCD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 【12题答案】 【答案】. 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1），75 （2）（i）；（ii） 【18题答案】 【答案】（1） 如图，连接EC交AD于N，则N为CE的中点， 由正六边形的性质，⊥，可知AD⊥NG，AD⊥NC， 因为，NG，平面GNC. 故AD⊥平面GNC. 而平面GNC，所以AD⊥CG. （2） （3） 由（1）知AD⊥平面GNC， 所以∠GNC就是二面角的平面角，即， 过M作⊥NC，垂足为点，过M作，垂足为点. 因为AD⊥平面GNC，平面GNC， 所以，， 因为，平面，平面， 所以平面ABCD，平面ADGH， 设梯形的面积为，梯形的面积为， 所以 在△GNC中，，， 所以，， 得. 故. 即四棱锥M-ABCD与四棱锥M-ADGH的体积之和是定值. 【19题答案】 【答案】（1）或 （2）证明：不妨设，，， 要证，即证， 又有， 故， 所以. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $