安徽省安庆市石化第一中学2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷

石化一中八年级第二学期期末数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，选出符合题目的一项） 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1和2 D．﹣1和2 4．已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1 5．有下列各组数：①6，8，10；②32，42，52；③，，1；④12，16，20；⑤0.5，1.2，1.3．其中勾股数有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　） A．7米 B．8米 C．9米 D．12米 7．某射击小组有20人，成绩如表所示： 这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．8；8 B．7；8 C．7；7.5 D．8；7.5 8．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 9．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．下列条件中正确的是（　　） A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠F＝∠CDE D．∠A＝∠C 10．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，点F在BC的延长线上，且满足BF＝BE＝8，过点C作CE的垂线交BE于点G，若CE恰好平分∠BEF，则BG的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．2 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．当x＝+1时，式子x2﹣2x+2的值为　 　． 12．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　 　． 13．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6．则∠ACD＝　 　度． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AB的中点，点F为BC边上任意一点，将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为B′，则当△B′CD面积最小时折痕EF的长为　 　． 三．解答题（本大题共90分） 15．（本题8分）计算：． 16．（本题8分）解方程：x（x﹣3）＝6﹣2x 17．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣2＝0有两个实数根． （1）求实数a的取值范围； （2）若x12x22+4x1+4x2＝1，求a的值． 18．（本题8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝BD，点E在BD上，∠A＝∠BEC＝90°． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若AD＝4，CE＝3，求CD的长． 19．（本题10分）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵a＝＝＝2﹣， ∴a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）＝　 　； （2）化简+++……+； （3）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 20．（本题10分）某中学为了了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了部分学生一周参加体育锻炼的时间，得到如图的条形统计图，根据图形解答下列问题： （1）这次抽查了 　 　名学生； （2）所抽查的学生一周平均参加体育锻炼多少小时？ （3）已知该校有1200名学生，估计该校有多少名学生一周参加体育锻炼的时间超过6小时？ 21．（本题12分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？ （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？ 22．（本题12分）如图，已知平行四边形ABCD，点O为BD中点，点E在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长． 23．（本题14分）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）连接AC、BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH． （3）在（2）的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN： ①M点的坐标为　 　； ②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积（图中阴影部分） 石化一中八年级第二学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，选出符合题目的一项） 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的意义，将每个选项化简，即可得出正确结论． 【解答】解：A、＝3，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、＝2，与被开方数相同，是同类二次根式； C、＝，与被开方数不同，不是同类二次根式； D、＝，与被开方数不同，不是同类二次根式． 故选：B． 2．在下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的性质以及平方根的定义分别分析得出答案． 【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意； B．±＝±3，故此选项不合题意； C.，二次根式无意义，故此选项不合题意； D.＝4，故此选项符合题意． 故选：D． 3．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1和2 D．﹣1和2 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：x（x﹣2）＝2﹣x， x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝0， x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， x1＝2，x2＝﹣1， 故选：D． 4．已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1 【分析】首先把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0解方程可得m1＝3，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值． 【解答】解：把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0解得： 2m+2+1﹣m2＝0， m2﹣2m﹣3＝0， 解得：m1＝3，m2＝﹣1， ∵（2m+2）x2+x﹣m2＝0， ∴2m+2≠0， ∴m≠﹣1， ∴m＝3， 故选：C． 5．有下列各组数：①6，8，10；②32，42，52；③，，1；④12，16，20；⑤0.5，1.2，1.3．其中勾股数有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】根据勾股数的概念即：能够构成直角三角形三边的正整数，满足a2+b2＝c2． 【解答】解：62+82＝102，故①是勾股数； （32）2+（42）2≠（52）2，故②不是勾股数； 、不是正整数，故③不是勾股数； 122+162＝202，故④是勾股数； 0.5，1.2，1.3不是正整数，故⑤不是勾股数； 所以勾股数有①、④，共2组． 故选：B． 6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　） A．7米 B．8米 C．9米 D．12米 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处， ∴折断的部分长为＝5（米）， ∴折断前高度为5+4＝9（米）． 故选：C． 7．某射击小组有20人，成绩如表所示： 这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．8；8 B．7；8 C．7；7.5 D．8；7.5 【分析】根据表格中的数据可以求得这组数据的众数和中位数，从而可以解答本题． 【解答】解：由表格中的数据可得， 这组数据的众数是8，中位数是：（7+8）÷2＝7.5， 故选：D． 8．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC， ∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°， ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴∠E＝70°． 故选：D． 9．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．下列条件中正确的是（　　） A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠F＝∠CDE D．∠A＝∠C 【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，C为正确选项．添加C选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB． 【解答】解：添加：∠F＝∠CDE， 理由： ∵∠F＝∠CDE， ∴CD∥AB， 在△DEC与△FEB中， ， ∴△DEC≌△FEB（AAS）， ∴DC＝BF， ∵AB＝BF， ∴DC＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故选：C． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，点F在BC的延长线上，且满足BF＝BE＝8，过点C作CE的垂线交BE于点G，若CE恰好平分∠BEF，则BG的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．2 【分析】延长EF，GC两条线相交于点H，过点G作GP∥EF交BC于点P，根据平行四边形的性质证明△ECG≌△ECH，可得CG＝CH，再证明△PCG≌△FCH，可得CP＝CF＝2，再根据等腰三角形的性质证明BG＝BP即可． 【解答】解：如图，延长EF，GC两条线相交于点H，过点G作GP∥EF交BC于点P， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝6， ∵BF＝BE＝8， ∴CF＝BF﹣BC＝2， ∵CE平分∠BEF， ∴∠GEC＝∠HEC， ∵CE⊥GC， ∴∠ECG＝∠ECH＝90°， 在△ECG和△ECH中， ， ∴△ECG≌△ECH（ASA）， ∴CG＝CH， ∵GP∥EF， ∴∠PGC＝∠FHC， 在△PCG和△FCH中， ， ∴△PCG≌△FCH（ASA）， ∴CP＝CF＝2， ∴BP＝BF﹣PF＝8﹣4＝4， ∵BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE， ∵GP∥EF， ∴∠BGP＝∠BEF，∠BPG＝∠BFE， ∴∠BGP＝∠BPG， ∴BG＝BP＝4． 故选：C． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．当x＝+1时，式子x2﹣2x+2的值为　4　． 【分析】原式配方后，利用完全平方公式化简，把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+1 ＝（x﹣1）2+1， 当x＝+1时， 原式＝（+1﹣1）2+1 ＝3+1 ＝4． 故答案为：4． 12．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　2　． 【分析】利用直接开平方法解方程x2＝a得到方程的两根互为相反数，则2m﹣1+m﹣5＝0，则可计算出m＝2即可． 【解答】解：根据题意得2m﹣1+m﹣5＝0， 解得m＝2， 故答案为：2． 13．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6．则∠ACD＝　45　度． 【分析】根据勾股定理求出BC，根据勾股定理的逆定理得到∠BCD＝90°，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝4， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， 在Rt△ABC中，BC＝＝4， CD2+BC2＝22+（4）2＝36，BD2＝62＝36， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝45°， 故答案为：45． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AB的中点，点F为BC边上任意一点，将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为B′，则当△B′CD面积最小时折痕EF的长为　3　． 【分析】当△B′CD面积最小时，B′到CD的距离最小，即B′到AB的距离最大，当B′到AB的距离＝EB′时，此时B′到AB的距离最大，即EB′⊥AB，根据折叠的性质得到BE＝B′E，∠B＝∠EB′F＝∠B′EB＝90°，推出四边形EBFB′是正方形，得到EF＝BE，于是得到距离． 【解答】解：当△B′CD面积最小时，B′到CD的距离最小，即B′到AB的距离最大， ∴当B′到AB的距离＝EB′时，此时B′到AB的距离最大， 即EB′⊥AB， ∵将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为B′， ∴BE＝B′E，∠B＝∠EB′F＝∠B′EB＝90°， ∴四边形EBFB′是正方形， ∴EF＝BE， ∵点E为AB的中点， ∴BE＝3， ∴EF＝3， ∴当△B′CD面积最小时折痕EF的长为3， 故答案为：3． 三．解答题（共10小题） 15．（本题8分）计算：． 【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法运算，然后再合并同类二次根式即可． 【解答】解： ＝ ＝． 16．（本题8分）解方程：x（x﹣3）＝6﹣2x 【分析】根据因式分解法即可求出答案． 【解答】解：∵x（x﹣3）＝6﹣2x， ∴x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）， ∴（x+2）（x﹣3）＝0， ∴x＝3或x＝﹣2． 17．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣2＝0有两个实数根． （1）求实数a的取值范围； （2）若x12x22+4x1+4x2＝1，求a的值． 【分析】（1）由关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣2＝0有两个实数根，可得△≥0，继而求得实数a的取值范围； （2）由方程的两个实数根为x1、x2，且x12x22+4x1+4x2＝1，可得方程，继而求得答案． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣2＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（a﹣2）≥0， 解得a≤3； （2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝a﹣2， 则（a﹣2）2+4×（﹣2）＝1， 解得a1＝5，a2＝﹣1， ∵a≤3， ∴a的值为﹣1． 18．（本题8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝BD，点E在BD上，∠A＝∠BEC＝90°． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若AD＝4，CE＝3，求CD的长． 【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠ADB＝∠CBE，进一步根据AAS证明全等即可； （2）根据全等三角形的性质，可得BE＝AD＝4，根据勾股定理，可得BC＝5，进一步在△CED中根据勾股定理，即可求出CD的长． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBE， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（AAS）； （2）∵△ABD≌△ECB（AAS）， ∴BE＝AD＝4， ∵CE＝3，∠BEC＝90°， 根据勾股定理，得BC＝5， ∴BD＝5， ∴ED＝1， 在△CED中，根据勾股定理， 得CD＝＝． 19．（本题10分）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵a＝＝＝2﹣， ∴a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）＝　﹣　； （2）化简+++……+； （3）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用a＝+2得到a﹣2＝，两边平方得到a2﹣4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）＝＝﹣； 故答案为﹣； （2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣ ＝﹣1 ＝13﹣1 ＝12； （3）∵a＝＝+2， ∴a﹣2＝， ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1． ∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3 ＝a2×1﹣4a+3 ＝a2﹣4a+3 ＝1+3 ＝4． 20．（本题10分）某中学为了了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了部分学生一周参加体育锻炼的时间，得到如图的条形统计图，根据图形解答下列问题： （1）这次抽查了 　60　名学生； （2）所抽查的学生一周平均参加体育锻炼多少小时？ （3）已知该校有1200名学生，估计该校有多少名学生一周参加体育锻炼的时间超过6小时？ 【分析】（1）把各段的﹣人数相加即可求解； （2）根据平均数的计算公式即可求解； （3）1200乘以样本中超过6小时的人数所占的比例即可求解． 【解答】解：（1）15+10+15+20＝60． 故答案为：60； （2）＝6.25（小时）． 答：所抽查的学生一周平均参加体育锻炼6.25（小时）． （3）1200×＝700（人）． 答：估计该校有700名学生一周参加体育锻炼的时间超过6小时． 21．（本题12分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？ （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？ 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可． 【解答】解：（1）当每件盈利50元时，每件商品降价：60﹣50＝10（元）， 商场每天可多销售：10×2＝20（件）， 每天销售：40+20＝60（件）， 答：当每件盈利50元时，每天可销售60件； （2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元， 则商场每天多销售2x件， 根据题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3150， 整理得：x2﹣40x+375＝0， 解得：x1＝15，x2＝25， ∵为了尽快减少库存， ∴x＝25， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元． 22．（本题12分）如图，已知平行四边形ABCD，点O为BD中点，点E在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长． 【分析】（1）只需推知ED∥BF且ED＝BF即可证得四边形BEDF是平行四边形； （2）如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H，构造等腰直角三角形△ABH，设AE＝x，由该三角形的性质和菱形的性质求得EB＝ED＝6﹣x，在Rt△BHE中，根勾股定理得到：BH2+HE2＝BE2，借助于方程求得x即AE的长度即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠ADB＝∠CBD， 又∵点O为BD中点， ∴BO＝OD ∵在△DOE和△BOF中， ∴△DOE≌△BOF（ASA）， ∴ED＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H， ∵∠BAD＝135°， ∴∠BAH＝45° 在Rt△ABH中，AB＝3， ∴BH＝HA＝3， 设AE＝x， ∵四边形BEDF为菱形， ∴EB＝ED＝6﹣x 在Rt△BHE中，BH2+HE2＝BE2， ∴32+（3+x）2＝（6﹣x）2 解得：x＝1， ∴AE＝1． 23．（本题14分）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）连接AC、BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH． （3）在（2）的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN： ①M点的坐标为　（2+4，2）　； ②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积（图中阴影部分） 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得DO＝DA，推出∠AEO＝60°，进一步得出BC∥AE，BC∥AE，可得结论； （2）先计算出OA＝4，推出PB＝2，利用勾股定理求出AP＝2，再利用面积法计算即可； （3）①求出直线PM的解析式为y＝x﹣3，再利用两点间的距离公式计算即可； ②易得直线BC的解析式为y＝﹣x+4，联立组成方程组，求得点G的坐标，再利用三角形面积公式计算． 【解答】（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点， ∴AD＝OB，OD＝BD＝OB， ∴DO＝DA， ∴∠DAO＝∠DOA＝30°，∠EOA＝90°，∴∠AEO＝60°， 又∵△OBC为等边三角形， ∴∠BCO＝∠AEO＝60°，∴BC∥AE， ∵∠BAO＝∠COA＝90°，∴CO∥AB， ∴四边形ABCE是平行四边形； （2）解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OB＝8， ∴AB＝4， ∴OA＝4， ∵四边形ABCE是平行四边形， ∴PB＝PE，PC＝PA， ∴PB＝2， ∴由勾股定理，AP＝2， ∴×AC×BH＝×AB×BE，即×4×BH＝×4×4， 解得BH＝； （3）①∵C（0，4）， 设直线AC的解析式为y＝kx+4， ∵P（2，0）， ∴0＝2k+4， 解得，k＝﹣， ∴y＝﹣x+4， ∵∠APM＝90°， ∴直线PM的解析式为y＝x+m， ∵P（2，0）， ∴0＝×2+m， 解得，m＝﹣3， ∴直线PM的解析式为y＝x﹣3， 设M（x，x﹣3）， ∵AP＝2， ∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝（2）2， 化简，x2﹣4x﹣4＝0， 解得，x1＝2+4，x2＝2﹣4（不合题意舍去）， 当x＝2+4时，y＝×（2+4）﹣3＝2， ∴M（2+4，2）， 故答案为（2+4，2）； ②易得直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 根据题意得：， 解得，， ∴阴影部分的面积＝×2×4+×2×＝． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$