第二章 对称图形—圆 单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

第二章 对称图形—圆 单元检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三个点可以确定一个圆 B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．长度相等的弧是等弧 5．（2024·广东深圳·三模）如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 6．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南漯河·二模）如图，的边与相切于点，点在上，经过圆心，且，为劣弧上一动点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则的长为（    ） A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏泰州·二模）已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为 ． 12．（2024·北京门头沟·一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ． 13．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，点A，B，C在上，若，则 . 14．（2024·四川南充·中考真题）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度． 15．（2024·河南安阳·二模）如图， 的直径为10，的直径为13，的圆心恰好在的圆周上，连接两圆交点所得弦的长为 ． 16．（2024·甘肃·中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用π表示） 17．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）如图，是半圆O的直径， 切半圆于点的平分线交于点D，若，则的长为 ． 18．（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，，是的半径，，点，分别是，的中点，与相等吗？为什么？ 20．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹） 21．（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸 22．（2024·江苏宿迁·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 23．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．（2024·江西·中考真题）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是半圆O的切线； (2)当时，求的长． 25．（2024·江苏镇江·二模）如图①，四边形是菱形，是的外接圆． (1)求证：圆心O在直线上； (2)如图②，当时，求证：与相切； (3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围． 26．（2022·浙江温州·一模）如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 27．（2024·河北唐山·二模）如图，在正方形中，， 以点C 为圆心，1为半径作圆，交于点E，P 是上的任意一点，将点P 绕点D 顺时针方向旋转，得到点Q，连接，． (1)连接，求证：； (2)当与相切于正方形外部时，求线段被所截弦的长； (3)当时，求劣弧的长度 ． 28．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 对称图形—圆 单元检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识． 点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解． 【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 2．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 3．（2024·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交； 故选：A． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三个点可以确定一个圆 B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识．根据垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、确定一个圆的条件判断各选项即可． 【详解】解：A、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项不符合题意； B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项符合题意； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意； D、同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．（2024·广东深圳·三模）如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 6．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 7．（2024·河南漯河·二模）如图，的边与相切于点，点在上，经过圆心，且，为劣弧上一动点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，连接，由切线的性质得出，求出所对的圆心角度数，再由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：连接，如解图所示，则． ． ． 点在劣弧上， 所对的圆心角为． ， 故选：A． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则的长为（    ） A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸 【答案】A 【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设圆O的半径的长为x，则， ∵， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 解得：， ∴（寸）． 故选：A． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，则， ∵ ，且，，， ∴， 解得， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：． 10．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、 勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据矩形的性质，证明，故可得在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时取最小值，利用勾股定理算出，即可算出． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图所示，连接交弧于点，此时取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故选． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏泰州·二模）已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了弧长公式，设这个扇形的半径为r，根据弧长公式列出方程求解即可：弧长公式为，其中n为扇形圆心角度数，r为扇形编辑． 【详解】解：设这个扇形的半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个扇形的半径为30， 故答案为：30． 12．（2024·北京门头沟·一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键． 根据圆周角定理进行判断即可． 【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案， 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 13．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，点A，B，C在上，若，则 . 【答案】/29度 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆心角是圆周角的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．（2024·四川南充·中考真题）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度． 【答案】75 【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，， ∴， ∴； 故答案为：75． 15．（2024·河南安阳·二模）如图， 的直径为10，的直径为13，的圆心恰好在的圆周上，连接两圆交点所得弦的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是利用两个直角三角形表达出同一条边列出方程解答即可．连接相交于点，在和中，表示出的长度，列方程求解即可． 【详解】解：连接相交于点， ，， 为，的共同弦， ， 设，则， 在中， ， ， 在中， ， ， 解得：， ， 或（舍去） ． 故答案为：． 16．（2024·甘肃·中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用π表示） 【答案】 【分析】根据扇形面积公式计算即可．本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 【详解】∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积是 故答案为：． 17．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）如图，是半圆O的直径， 切半圆于点的平分线交于点D，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，切线的性质，勾股定理，过点作于点，根据勾股定理求得，进而根据角平分线的性质以及三角形的面积公式得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是的切线， ∴ 在中， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 故答案为：． 18．（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，， 得出，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为点， ∵是的切线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∵， ∵，，， 即， ∴四边形是矩形， ∴，， 则， ∵是的切线，是的切线，是的切线， ∴，， ∴， ∵， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，，是的半径，，点，分别是，的中点，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质．由，，是的半径，，根据弧与圆心角的关系，可得，又由点，分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得． 【详解】解：，理由如下， 证明：，，是的半径，， ， 点，分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ． 20．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，根据圆周角定理确定两条直径，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 21．（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸 【答案】该圆材的直径为20寸 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，过点作 于点，交于点，连接，设半径为，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而求得圆的直径． 【详解】解：设该圆材的半径为寸． 如图所示，过点作 于点，交于点，连接， 则寸， 设寸，尺寸， 所以 寸． 在中， 即 解得， 则，即该圆材的直径为寸． 22．（2024·江苏宿迁·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的基本性质，切线定理，勾股定理的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，勾股定理的应用，即可． （1）连接，根据，求出，根据，则，即可； （2）根据，则，再根据，，求出，；根据勾股定理求出，根据三角形的外角，则，阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积，即可． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）∵是的切线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 23．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 24．（2024·江西·中考真题）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是半圆O的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，即可得，进而可证得结论； （2）连接，证明为等边三角形，求得，利用弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：是半圆O的直径， ， ， ， ， 是半圆O的切线； （2）解：如图，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ． 25．（2024·江苏镇江·二模）如图①，四边形是菱形，是的外接圆． (1)求证：圆心O在直线上； (2)如图②，当时，求证：与相切； (3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图①，连接，由菱形，可得，，由是的外接圆，可得，则是线段的垂直平分线，即，由，可知三点共线，进而结论得证； （2）如图②，连接，证明是等边三角形，，，同理（1）可知，是线段的垂直平分线，则，，即，进而结论得证； （3）由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点，当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点，进而可知当时，与菱形的边有五个公共点． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ∵菱形， ∴，， ∵是的外接圆， ∴， ∴是线段的垂直平分线，即， ∵， ∴三点共线，即圆心O在直线上； （2）证明：如图②，连接， ∵菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 同理（1）可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴与相切； （3）解：由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点， 当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点， ∴当时，与菱形的边有五个公共点， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质是解题的关键． 26．（2022·浙江温州·一模）如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，然后利用等角的补角相等得到结论； （2）连接并延长交于点，如图，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，设，则，则，解得，接着利用是的中位线得到，然后证明，从而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ； （2）解：连接并延长交于点，如图， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 解得， ，， 是的中位线， ； 点为的中点， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及勾股定理． 27．（2024·河北唐山·二模）如图，在正方形中，， 以点C 为圆心，1为半径作圆，交于点E，P 是上的任意一点，将点P 绕点D 顺时针方向旋转，得到点Q，连接，． (1)连接，求证：； (2)当与相切于正方形外部时，求线段被所截弦的长； (3)当时，求劣弧的长度 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)劣弧的长度为 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、圆的切线的性质及勾股定理的应用， （1）直接证明即可证明结论； （2）设与交于点F，连接，证明，根据勾股定理求出即可； （3）作交延长线于点H，设，则，在中， ，列方程并求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：如图： 在正方形中，， ， ， ， ； （2）设与交于点F，连接， 与相切于点P， 在中， ； （3）如下图，作交延长线于点H， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 劣弧的长度． 28．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）由圆周角定理得出，由勾股定理可求出答案； （）延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出，则为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出结论； （）连接，，证明，由全等三角形的性质得出 ，则点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上 (分左右两种情况)，求出的长，由弧长公式可得出答案． 【详解】（1）∵是的直径， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）， 证明如下：延长到，使，连接， ∵，， ∴， 在△ADF和△BDC中， ， ∴， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴； （3）连接，， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）： 设弧所在圆的圆心为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， ∴点的路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内心的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，弧长公式以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$